Algebra lineare e geometria - Appunti

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Bertani Laura

Università Università degli Studi di Parma

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Appunti di Algebra lineare e geometria, in cui è presente tutta la teoria di un corso di Geometria e\o Algebra Lineare del primo anno di fisica, ingegneria e prima parte di un corso di Geometria 1 per matematica. Tutti i teoremi sono dimostrati. Argomenti trattati: numeri complessi, matrici e determinanti, sistemi lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari, geometria analitica affine nel piano e nello spazio, cambiamenti di base di endomorfismi, autovalori e autovettori, diagonalizzabilità di endomorfismi, forme bilineari e prodotti scalari, endomorfismi simmetrici e teorema spettrale reale, isometrie lineari e loro classificazione nel piano e nello spazio, proiezioni e triangolarizzabilità di endomorfismi.

…continua

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Estratto del documento

Proprietà del prodotto di matrici

P∈ · a b con le proprietá:

C K(m p) con c = ij ik kjk=1
associativa
distributiva del prodotto rispetto alla somma ∈ ·
n.b.: non vale la proprieta’ commutativa (e, tranne nel caso in cui A K(m n) e∈ ·B K(n m), se e’ definito AB non sara’ definito BA)

Definizione 3.5. Determinante di una matrice quadrata

Si definisce determinante di una matrice quadrata una funzione che associa ad una matrice quadrata un numero del campo con determinate proprieta’ (mul-· →tilinearitá, alternanza, normalizzazione per la matrice identitá) f : K(n n) K,

|A detA =|

An=1 A = (a ) detA = a11 11

a a11 12 −n=2 A = detA = a a a a11 22 12 21

a a21 22

A = sottomatrice ottenuta cancellando l’i-esima riga e la j-esima colonna

ij1’ formula di Laplace n i+kP• (−1) a detArispetto alla riga i detA = ik ikk=1

n j+kP• rispetto alla colonna j detA = (−1) a detAkj kjk=12’ formula di Laplace nX k+r(−1)

dopo aver verificato il caso banale n=1, si suppone vera la proprietà per ordine n-1 e si dimostra essere vera per ordine n.

Osservazione 1. La seconda formula di Laplace implica che se una matrice ha due righe uguali allora il determinante è nullo.

Proprietà del determinante

a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

... ... ... ...

a_n1 a_n2 ... a_nn

A = a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

... ... ... ...

a_n1 a_n2 ... a_nn

• ρ(A) = ρ(det(A))

• ρ(A^-1) = ρ(det(A^-1))

• ρ(A^T) = ρ(det(A^T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^-1T) = ρ(det(A^-1T))

• ρ(A^{-1dopo aver verificato il caso banale n=1, si supponevera la proprietá per ordine n-1 e si dimostra essere vera per ordine n.}

A 1 ... n

i+k P A + B (−1) (a + b )detA

con i = j=P3. det

A n

A n

Dimostrazione. Si verifica applicando le proprietá precedenti alla seguente matrice con determinante nullo (avendo due righe uguali)
7
A

A

A

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P1: Il determinante di una matrice identità è sempre uguale a 1.

P2: Il determinante non cambia se si somma ad una riga una combinazione lineare delle rimanenti righe.

P3: Non è specificata nessuna proprietà P3 nel testo fornito.

P4: Il determinante della matrice identità (A(nxn) tale che a = δ, dove δij è il delta di Kronecker, uguale a 1 se i = j e uguale a 0 se i ≠ j) vale 1.

enunciate per le righe valgono ugualmente per le colonne e in particolare vale anche che detA = det A

Teorema 3.0.3 (di Binet). det(AB) = det(A)det(B) det(AB)· → 6 ∀ ∈ ·

Dimostrazione. f : K(n n) K fissata B con detB = 0 A (n n) f (A) = det(B)f (A) gode delle proprietá P1, P2, P3, P4 e quindi f (A) = det(A)det(AB) ⇐⇒det(A) = det(AB) = det(A)det(B)det(B)il teorema, come si proverá pi avanti, continua a valere anche se det(B) = 06

Teorema 3.0.4 (di invertibilitá). A é invertibile se e solo se detA = 0−1 −1⇒ 6

Dimostrazione. Hp)∃ A /AA = I Ts) detA = 0−1 −1det(AA ) = det(I) = 1, per il teorema di Binet det(A)det(A ) = 1 e per la legge di6annullamento del prodotto deve essere detA = 0−1 −1⇐ 6 ∃Hp)detA = 0 Ts) A /AA = IdetAi+j ijconsidero B = (b ) = ((−1) )ij detA detA detA1+n   a a . . . a . . . . . . (−1)11 n111 12 1n detA detA... ...   A = B = 
^{ ... ...   detA detA1+na a . . . a (−1) ......1n nnn1 n2 nn detA detAAB =⇒• i-esima riga di A per i-esima colonna di B, per la prima formula di Laplace é ugualea1 8• 6i-esima riga per j-esima colonna (i = j), per la seconda formula di Laplace é nullo−1AB é quindi uguale alla matrice identitá, perci B = A .Si é quindi trovata esplicitamente l’espressione dell’inversa di una matrice con determi-nante non nullo.} ^{Sistemi lineariPrendiamo in considerazione un sistema quadrato (detto di Cramer) di n equazioni in nincognite} ^{a₁x₁ + . . . . . . + a_1nx_n = b₁} ^ ^...... ^{a_nx₁ + . . . . . . + a_nnx_n = b_n} ^{il sistema pu essere scritto in forma matriciale} ^{  x}_b^a₁₁_a₁₂^{... a_1n}_...^{... ...}_{a_nn}^{  AX = BX =B =A =   . . .. . ....} ^{  x}_b^a_nn1_{a_nn2}^{... a_nnn}_...^{... ...}_{a_nnn}^{detA detA1+n} ^{   b}_...⁽⁻¹⁾₁₁ⁿ₁^{detA detA . . .. . .−1}

Se detA = 0 si può scrivere X = A^-1 B

Ciascuna delle incognite x sarà quindi uguale a (regola di Cramer)

Definizione 3.6. Si definisce rango di una matrice ρ(A) = p N:

Esiste una sottomatrice di ordine p con determinante non nullo

Ogni sottomatrice di ordine superiore a p ha determinante nullo

Definizione 3.7. In una matrice A, r righe si dicono linearmente indipendenti se l'unica loro combinazione lineare che fornisce la riga nulla è quella a coefficienti tutti nulli.

Definizione 3.8. In una matrice A, r righe si dicono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che fornisce la riga nulla e in questo caso è possibile esplicitare una riga il cui coefficiente è non nullo come combinazione lineare delle rimanenti.

Proprietà del rango: 0 →
<p>&le;A&rsquo; sottomatrice di A &rho;(A ) &rho;(A)t&bull; &rho;(A) = &rho;( A) 9&bull; scambiando due righe o colonne il rango non cambia</p>
<p>Osservazione 2. Se A , A , . . . , A indipendenti&rArr; ogni sottinsieme é linearmente indi-1 2 npendente. &rArr;Osservazione 3. Se A , A , . . . , A dipendenti se si aggiungono righe, restano dipen-1 2 ndenti. &isin; &middot;Teorema 3.0.5 (degli orlati). Sia A K(m n). Se &rho;(A) = p allora esistono p ri-ghe (e colonne) linearmente indipendenti e ogni altra e’ combinazione lineare delle pindipendenti.</p>
<p> a . . . a . . . a11 1p 1n...
  a . . . a . . . a
  ...
 a . . . . . . . . . am1 mn</p>
<p>B sottomatrice di A di ordine p con determinante diverso da 0 perché il rango di A é p&rArr; 6 &rArr;righe(righe dipendenti detB = 0)&hArr; (detB = 0 indipendenti)</p>
<p> a ... a a11 1p 1,p+1. . . . . . ...0
 B =  a ... a ...p1 pp
 a . . . a ap+1,1 p+1,p p+1,p+1</p>
<p>B&rsquo; e&rsquo; orlata</p>
con una riga in più scelta tra le rimanenti e una colonna qualunque: ⁰• ∀^1’ caso i > p j = 1, ..., p 2 colonne uguali quindi detB = ⁰• ∀^2’ caso i > p j = p + 1, ..., n B’ sottomatrice di A di ordine p+1 ma il rango di0A é p quindi detB = 001+j i+j 60 = (−1) detB + . . . + (−1) a detB = 0 con detB = 0ij1j 01+j(−1) a detBij 1j∀ ⇒ −i > p∀ j = 1, ..., n a a = + . . . = λ a + . . . + λ a =ij ij 1 1j p pjdetBpP

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Publisher

divo.poma

A.A. 2012-2013

45 pagine

SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/03 Geometria

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher divo.poma di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Parma o del prof Bertani Laura.

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