Appunti di Algebra lineare e geometria, in cui è presente tutta la teoria di un corso di Geometria e\o Algebra Lineare del primo anno di fisica, ingegneria e prima parte di un corso di Geometria 1 per matematica. Tutti i teoremi sono dimostrati. Argomenti trattati: numeri complessi, matrici e determinanti, sistemi lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari, geometria analitica affine nel piano e nello spazio, cambiamenti di base di endomorfismi, autovalori e autovettori, diagonalizzabilità di endomorfismi, forme bilineari e prodotti scalari, endomorfismi simmetrici e teorema spettrale reale, isometrie lineari e loro classificazione nel piano e nello spazio, proiezioni e triangolarizzabilità di endomorfismi.
n.b.: non vale la proprieta’ commutativa (e, tranne nel caso in cui A K(m n) e∈ ·B K(n m), se e’ definito AB non sara’ definito BA)
Definizione 3.5. Determinante di una matrice quadrata
Si definisce determinante di una matrice quadrata una funzione che associa ad una matrice quadrata un numero del campo con determinate proprieta’ (mul-· →tilinearitá, alternanza, normalizzazione per la matrice identitá) f : K(n n) K,
|A detA =|
An=1 A = (a ) detA = a11 11
a a11 12 −n=2 A = detA = a a a a11 22 12 21
a a21 22
A = sottomatrice ottenuta cancellando l’i-esima riga e la j-esima colonna
ij1’ formula di Laplace n i+kP• (−1) a detArispetto alla riga i detA = ik ikk=1
n j+kP• rispetto alla colonna j detA = (−1) a detAkj kjk=12’ formula di Laplace nX k+r(−1)
dopo aver verificato il caso banale n=1, si suppone vera la proprietà per ordine n-1 e si dimostra essere vera per ordine n.
Osservazione 1. La seconda formula di Laplace implica che se una matrice ha due righe uguali allora il determinante è nullo.
Proprietà del determinante
a11
a12
...
a1n
a21
a22
...
a2n
...
...
...
...
an1
an2
...
ann
A
=
a11
a12
...
a1n
a21
a22
...
a2n
...
...
...
...
an1
an2
...
ann
• ρ(A) = ρ(det(A))
• ρ(A-1) = ρ(det(A-1))
• ρ(AT) = ρ(det(AT))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1T) = ρ(det(A-1T))
• ρ(A-1dopo aver verificato il caso banale n=1, si supponevera la proprietá per ordine n-1 e si dimostra essere vera per ordine n.
A
1
...
n
i+k
P
A + B
(−1) (a + b )detA
con i = j=P3. det
A
n
A
n
Dimostrazione. Si verifica applicando le proprietá precedenti alla seguente matrice con determinante nullo (avendo due righe uguali)
7
A
A
A
1
1
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P1: Il determinante di una matrice identità è sempre uguale a 1.
P2: Il determinante non cambia se si somma ad una riga una combinazione lineare delle rimanenti righe.
P3: Non è specificata nessuna proprietà P3 nel testo fornito.
P4: Il determinante della matrice identità (A(nxn) tale che a = δ, dove δij è il delta di Kronecker, uguale a 1 se i = j e uguale a 0 se i ≠ j) vale 1.
enunciate per le righe valgono ugualmente per le colonne e in particolare vale anche che detA = det A
Dimostrazione. f : K(n n) K fissata B con detB = 0 A (n n) f (A) = det(B)f (A) gode delle proprietá P1, P2, P3, P4 e quindi f (A) = det(A)det(AB) ⇐⇒det(A) = det(AB) = det(A)det(B)det(B)il teorema, come si proverá pi avanti, continua a valere anche se det(B) = 06
Teorema 3.0.4 (di invertibilitá). A é invertibile se e solo se detA = 0−1 −1⇒ 6
Dimostrazione. Hp)∃ A /AA = I Ts) detA = 0−1 −1det(AA ) = det(I) = 1, per il teorema di Binet det(A)det(A ) = 1 e per la legge di6annullamento del prodotto deve essere detA = 0−1 −1⇐ 6 ∃Hp)detA = 0 Ts) A /AA = IdetAi+j ijconsidero B = (b ) = ((−1) )ij detA detA detA1+n a a . . . a . . . . . . (−1)11 n111 12 1n detA detA... ... A = B =
... ... detA detA1+na a . . . a (−1) ......1n nnn1 n2 nn detA detAAB =⇒• i-esima riga di A per i-esima colonna di B, per la prima formula di Laplace é ugualea1 8• 6i-esima riga per j-esima colonna (i = j), per la seconda formula di Laplace é nullo−1AB é quindi uguale alla matrice identitá, perci B = A .Si é quindi trovata esplicitamente l’espressione dell’inversa di una matrice con determi-nante non nullo.Sistemi lineariPrendiamo in considerazione un sistema quadrato (detto di Cramer) di n equazioni in nincognitea1x1 + . . . . . . + a1nxn = b1......anx1 + . . . . . . + annxn = bnil sistema pu essere scritto in forma matriciale xba11a12... a1n...... ...ann AX = BX =B =A = . . .. . .... xbann1ann2... annn...... ...annndetA detA1+n b...(−1)11n1detA detA . . .. . .−1
Se detA = 0 si può scrivere X = A-1 B
Ciascuna delle incognite x sarà quindi uguale a (regola di Cramer)
Definizione 3.6. Si definisce rango di una matrice ρ(A) = p N:
Esiste una sottomatrice di ordine p con determinante non nullo
Ogni sottomatrice di ordine superiore a p ha determinante nullo
Definizione 3.7. In una matrice A, r righe si dicono linearmente indipendenti se l'unica loro combinazione lineare che fornisce la riga nulla è quella a coefficienti tutti nulli.
Definizione 3.8. In una matrice A, r righe si dicono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli che fornisce la riga nulla e in questo caso è possibile esplicitare una riga il cui coefficiente è non nullo come combinazione lineare delle rimanenti.
Proprietà del rango: 0 →
<p>≤A’ sottomatrice di A ρ(A ) ρ(A)t• ρ(A) = ρ( A) 9• scambiando due righe o colonne il rango non cambia</p>
<p>Osservazione 2. Se A , A , . . . , A indipendenti⇒ ogni sottinsieme é linearmente indi-1 2 npendente. ⇒Osservazione 3. Se A , A , . . . , A dipendenti se si aggiungono righe, restano dipen-1 2 ndenti. ∈ ·Teorema 3.0.5 (degli orlati). Sia A K(m n). Se ρ(A) = p allora esistono p ri-ghe (e colonne) linearmente indipendenti e ogni altra e’ combinazione lineare delle pindipendenti.</p>
<p> a . . . a . . . a11 1p 1n...
a . . . a . . . a
...
a . . . . . . . . . am1 mn</p>
<p>B sottomatrice di A di ordine p con determinante diverso da 0 perché il rango di A é p⇒ 6 ⇒righe(righe dipendenti detB = 0)⇔ (detB = 0 indipendenti)</p>
<p> a ... a a11 1p 1,p+1. . . . . . ...0
B = a ... a ...p1 pp
a . . . a ap+1,1 p+1,p p+1,p+1</p>
<p>B’ e’ orlata</p>
con una riga in più scelta tra le rimanenti e una colonna qualunque:
0• ∀1’ caso i > p j = 1, ..., p 2 colonne uguali quindi detB = 0• ∀2’ caso i > p j = p + 1, ..., n B’ sottomatrice di A di ordine p+1 ma il rango di0A é p quindi detB = 001+j i+j 60 = (−1) detB + . . . + (−1) a detB = 0 con detB = 0ij1j 01+j(−1) a detBij 1j∀ ⇒ −i > p∀ j = 1, ..., n a a = + . . . = λ a + . . . + λ a =ij ij 1 1j p pjdetBpP
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