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2 ottobre 2015
SISTEMI LINEARI IN R
- Equazioni lineari ad una incognita - 1 grado
a: coefficiente b: termine noto x: incognita
a · x = b
- La soluzione dell’equazione è un numero reale x0, tale che sostituito al posto di x verifica l’uguaglianza.
esempi:
- 1) a ≠ 0: ex. 3x = 11 ammette la soluzione x0 = 11/3
- 2) a = 0: a seconda del valore di x può avere ∞ soluzioni o nessuna soluzione; qualunque sia il valore di x.
- es: 0 · x = 5 da verificare x0 = R quindi ammette 0 soluzioni.
CASI:
- Se c ≠ 0 allora l’equazione a · x = b ammette la sola soluzione x0 = b/a
- se c = 0 con b ≠ 0 non ha soluzioni: è impossibile
- se c = 0 con b = 0 è sempre verificata: ha ∞ soluzioni
sistemi lineari in 2 incognite
- x e y = incognite
- a, b, c, d, e, f = coefficienti
a1x + b1y = e c1x + d1y = f
- La soluzione del sistema è una coppia ordinata di valore (x0, y0) di numen reali tali che sostituiti al posto delle incognite rendono vere le uguaglianze.
esempi:
- { 2x + (-1)y = 5 ha soluzione (4, -3)
- { 2 + 3 = 5
- { 5 = 5 0 soluzioni
L’intento dei sistemi è di quello di trovare un sistema equivalente più semplice e soluzioni comuni ad entrambi.
Metodi di risoluzione dei sistemi:
- Sostituzione
- Confronto
- Riduzione a scalini / Metodo di Gauss
- Addizione e sottrazione
- Cramer
4. Metodo di addizione e sottrazione
1. ax + by = e
2. cx + dy = f
Supponiamo a≠0 e c≠0:
Risolvo per x
- ax + by = e multiplico per c → (cax + cby = ce) (→)
- cx + dy = f multiplico per a → (ax + ady = af) (←)
ady - bcy = af - ce
[(ad-bc)/(bc)] y = af - ce
Poi risolvo per y
- ax + by = e multiplico per d → (dax + dby = de) (→)
- cx + dy = f multiplico per b → (bcx + bdy = bf) (←)
dax - bcx = de - bf
[(ad-bc)/(bc)] x = de - bf
[(ad-bc)] y = af - ce
Sistema equivalente al piano
-
Se il coefficiente comune (ad - bc) ≠ 0, si può portare a dividere e ammette 1 soluzione x:
x₀ = de - bf / ad - bc y₀ = af - ce / ad - bc
- Se ad - bc = 0 e de - bf ≠ 0 il sistema non ammette soluzioni
- Se ad - bc = 0, de - bf = 0, af - ce = 0 il sistema ammette ∞ soluzioni
5)
abbiamo un sistema non quadrato, ma rettangolare (n. incognite ≠ n. equazioni)
Cramer non può essere applicato in modo diretto
quindi, ricaviamo un sottosistema
{-3x + 2y = 5
-2x + 3y = 4
det( 3 -2 2 3 ) = 13
poiché il determinante ≠ 0, il sottosistema ammette una sola soluzione
x0 = det( 5 -2 4 3 ) = 13 = -1
13
y0 = det( 3 5 2 4 ) = -13 = 1
-13
SOSTITUISCO I VALORI TROVATI ALL'EQUAZIONE RIMANENTE:
5(-1) - 4(1) = -9
-5 - 4 = -9
-9 = -9 quindi il sistema ammette una sola soluzione
le soluzioni sono verificate dal sottosistema però è l'unica ammessa
SOLUZIONE SISTEMA: x = -1 y = 1
6)
{2x + 3y = 4
-3x + 2y = 5
ricavo il sottosistema
- { -3x + 2y = 5 se -3 2 = -13 ≠ 0
una sola soluzione
sostituisco le soluzioni alla terza equazione
- (-1) + 2(1) = 4 → 3 = 4 il sistema non ammette soluzione
Trasposta di una matrice
Sia A(m;n) = aij, si definisca la sua trasposta la matrice At(n;m) oppure (At)(n;m)
esempio: A(3;2) = (5 2) (3 0) At(2;3) = (5 3) (2 0)
proprietà della trasposta:
- (fA + B) = f At + Bt e viceversa
- (c A)t = c (At)
- (At)t = A il processo annulla i cambiamenti della prima trasposizione.
esempio:
(7 -3 1) (2) = (2•2) - (6•3) - (5•1) =
(5) = 14 - 9 + 5 = 1
MOLTIPLICAZIONE TRA MATRICI
Date le matrici A(m,n) e B(n,p) bjk, numero colonne A = numero righe B
Si può definire la loro matrice prodotto A(m,n) x B(n,p) = C(m,p) con cik
SI RISOLVE APPLICANDO LA MOLTIPLICAZIONE RIGA x COLONNA.
cik = riga i da A x colonna k da B
esempio:
A(3,2) =
(7 5 2 4 -3 1 B(2,2) = (6 4 3 5 )
A(3,2) x B(2,2) SI PUÒ FARE
B(2,1) x A(3,2) NO, NON SI PUÒ FARE
risulta la matrice C(3,2) :
-27 53 -24 12 -3 19
OSSERVAZIONE 1)
Non gode della proprietà commutativa. Se si inverte l'ordine
ma la matrice risultante è diversa e non cadono.
OSSERVAZIONE 2)
non gode della proprietà di annullamento del prodotto
esempio a•b=0 allora a=0/b=0
(-1 2 0 3 1 ) ( 3 4 1 2 -3 -6 ) = ( 0 0 0 0 )
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