Algebra Lineare

Name: Algebra Lineare
Brand: Skuola.net
Price: 4.99 EUR
Availability: InStock
Rating: 3.5 (2 reviews)
Author: -valeria

Aggiornato il 29/04/2026

di -valeria

Publisher

Vota 3,5/5 (2)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti di tutto il modulo riguardante l'algebra lineare, del corso di geometria e combinatoria del prof. Francisco Leon, professore a la sapienza che ha tenuto il corso a roma tre nell'anno …

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Trujillo Francisco Leon

Università Università degli Studi Roma Tre

A.A. 2015-2016

122 pagine

2 download

Appunto

Scarica

Estratto del documento

Sistemi lineari in R

Equazioni lineari ad una incognita

a: coefficiente
b: termine noto
x: incognita
a · x = b

La soluzione dell'equazione è un numero reale x_o, tale che sostituito al posto di x verifica l'uguaglianza.

Esempi

x - 11 = 0 ammette la soluzione x_o = 11
x = 0 a seconda del valore di a può avere 0 soluzioni o nessuna.
0 · x = 5 non ha soluzioni qualora 0 non si annulli
0 · x = 0 verificate ∀x ∈ R quindi ammette ∞ soluzioni

Casi

Se a ≠ 0 allora l'equazione a · x = b ammette la sola soluzione x_o = b/a
Se a = 0 con b ≠ 0 non ha soluzioni, è impossibile.
Se a = 0 con b = 0 è sempre verificata, ha ∞ soluzioni.

Sistemi lineari in 2 incognite

x₁, x₂: incognite
a, b, c, d: coeff.
termini noti

a₁ x + b x₂ = c
c x₁ + d y = f

La soluzione del sistema è una coppia ordinata di valori (x_o, y_o) di numeri reali tali che sostituiti al posto delle incognite rendono vere le uguaglianze.

Esempi

[2x + (-1) · y = 5, x + 3y = -8] ha soluzione (1, -3)
[2 + 3 = 5, -1 - 9 = -8] 0 soluzioni

L'intento del sistema è di trovare un sistema equivalente più semplice e soluzioni comuni ad entrambi.

Metodi di risoluzione dei sistemi

Sostituzione
Confronto
Riduzione a scalini / Metodo di Gauss
Aggiunte e sottrazione
Cramer

Sistemi lineari in R

Equazioni lineari ad una incognita, 1 grado
a: coefficiente
b: termine noto
x: incognita
a · x = b

La soluzione dell'equazione è un numero reale x_o tale che sostituito al posto di x verifica l'uguaglianza.

Esempi

x - 11 = 10 ammette la soluzione x_o = 21
x = 0 a seconda del valore di x può avere infinite soluzioni o nessuna.
0 · x = 0 non ha soluzioni qualunque sia il valore di x.
0x = 0 verificate x ∈ R quindi ammette ∞ soluzioni

Casi

Se a ≠ 0 allora l'equazione a · x = b ammette la sola soluzione x_o = b/a
Se a = 0 e con b ≠ 0 non ha soluzioni, è impossibile.
Se a = 0 e con b = 0 è sempre verificata, ha ∞ soluzioni.

Sistemi lineari a 2 incognite

x, y: incognite
a, b, c, d: coefficienti
e, f: termini noti

La soluzione del sistema è una coppia ordinata di valori (x₀, y₀) di numeri reali tali che sostituiti al posto delle incognite rendono vere le uguaglianze.

Esempi

{2x + (-1)y = 5 ha soluzione (1, 3)
{2 + 3 = 5}
{5 : 5}
{x + 3y = 8}
{1 - 9 = -8}
{-8 = -8} ∞ soluzioni

L'intento del sistema è di trovare un sistema equivalente più semplice e soluzioni comuni ad entrambi.

Metodi di risoluzione dei sistemi

Sostituzione
Confronto
Riduzione a scalini / Metodo di Gauss (Prove orali)
Addizione e sottrazione
Cramer

Metodo di addizione e sottrazione

ax + by = e
cx + dy = f

Supponiamo a, c ≠ 0:

RISOLVO PER x

ax + by = e moltiplico per c → {cax + cby = ce}

cx + dy = f moltiplico per a → {acx + ady = af}

ady - bcy = af - ce

[(ad) - (bc)] y = af - ce

POI RISOLVO PER y

ax + by = e moltiplico per d → dax + dby = de

cx + dy = f moltiplico per b → bcx + bdy = bf

dax - bcx = de - bf

[(ad) - (bc)] x = de - bf

(ad - bc) y = af - ce

(ad - bc) x = de - bf

Sistema equivalente al primo

Casi

Se il coefficiente comune (ad - bc) ≠ 0 si può portare a dividere. Ammette 1 soluzione x₀, y₀ :
x₀ = (de - bf) / (ad - bc)
y₀ = (af - ce) / (ad - bc)
Se ad - bc = 0 e (de - bf) / 0 (af - ce) / 0 il sistema non ammette soluzioni
Se ad - bc = 0, de - bf = 0, af - ce = 0 il sistema ammette ∞ soluzioni

Metodo di Cramer

Data la tabella ^{(a b)}_{(c d)} di numeri, si definisce il suo determinante

det ^{(a b)}_{(c d)} ottenuto dalla moltiplicazione in croce:

a · d - b · c

det ^{(a b)}_{(c d)} := (ad - bc) e ciò che troviamo nelle conclusioni del

det ^{(3 -2)}_{(5 4)} := 3 · 4 - (-2) · 5 = 22

L'applicazione di questo metodo e la ricerca del determinante è utile per il sistema,

ax + by = e

cx + dy = f

Casi

Se det ^{(a b)}_{(c d)} ≠ 0, allora il sistema ha ₁ soluzione x

Anteprima

Vedrai una selezione di 26 pagine su 122