Geometria e algebra - geometria dello spazio

e)

Piano contenente un asse / retta e passante per un punto.

In questo caso, tre parole risolvono tutto l’esercizio: "Fascio di piani!" Si. Fascio di piani è definito infatti come l’insieme infinito dei piani che ruotano attorno ad una retta.

Esso si determina in questo modo:

λ (1^o equazione) + μ (2^a equazione) = 0

• Poi si trovano λ e μ, sostituendo in (x, y, z) delle due equazioni il punto dato
• Una volta trovati λ e μ si moltiplicano per le due equazioni di partenza

Es: piano contenente asse x: y₀ = e passante per (4, 4, 7)

z = 0

λ (y) + μ (z) = 0

λ (4) + μ (7) = 0 =>

Quindi μ = 4 e, λ = -7

Risostituendo si otteniamo -7(y) + 4(z) = 0 Fine.

f)

Piano contenente un asse / retta e distante tot. da un punto.

Anche in questo la soluzione è molto semplice: Distanza p. punto piano. La formula è la seguente:

|ax + by + cz + d| = 0

a² + b² + c²

Tuttavia, bisogna fare attenzione... poiché si richiedono TUTTI i PIANI distanti tot. da un punto, essi si devono calcolare nel caso nel seguente ordine:

1. Fascio di piani: si trovano λ e μ imponendo che la distanza del punto sia 1,
2. Al posto di (a, b, c), mettiamo i vari λ e μ che moltiplicano gli incognite nei fasco
3. Cerchiamo e troviamo i piani richiesti!

Es: Determinare quei cart. dei piani contenenti i vari:

x = 0

y = 0 imponendo che la distanza di | 4 dal

|(0,3,3)| sia uguale ad uno

Seguiamo lo seguente che ci viene proposto:

1. λ (x) + μ (y - z) = 0 => λx + μ (y - z) = 0