Geometria e algebra - geometria del piano e dello spazio

R A B

O

L A

O

N E

R E

N Z A A

R A B

O

L A

CAPITOLO 2. I R C O

N F E

R E

N Z A A

R A B

O

L A

D Dicesi il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto dato detto

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE

D circonferenza centro.

N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E + + + + =

2 2

L’equazione cartesiana di una circonferenza qualsiasi nel piano è del tipo: .

x y ax by c 0

 

a b

● = − −

Centro della circonferenza: C ,

 

 

2 2

2 2

   

a b

● = − + − −

Raggio della circonferenza: r c

   

   

2 2

P Una circonferenza è tale se sono valide le seguenti:

RR

O PP

O SS

II

Z

II

O

N EE

P O O Z O

N

R O P

O S

I Z

I O

N E

Manca, nell’equazione cartesiana, il termine xy.

Nell’equazione cartesiana, i coefficienti di x e y sono uguali, e quindi possono ridursi a 1.

2 2

2 2

   

a b

− + − − >

Riesce: c 0

   

   

2 2

● Equazioni parametriche di una circonferenza:

 a θ

= − +

x r cos

 2

 b

 θ

= − +

y r sin

 2

● Passaggio dalle parametriche alle cartesiane: 2 2

   

a b

+ + + =

x y r

   

   

2 2

R S – C S

8 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

G I G

EE

OO

M

EE

TT

RR

II

AA PP

EE

RR N

G

EE

G

N

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

G I G

M N

G G

N

E O M

E T R I

A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

G E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E LL

LL

OO SS

PP

AA

ZZ

II

OO

G

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E L

L O S

P

A Z I

O

D La è il luogo dei punti del piano che hanno uguale distanza da un punto fisso detto

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE

D parabola

N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E

e da una retta fissa detta L’equazione cartesiana di una parabola qualsiasi nel piano è del tipo

fuoco direttrice.

= + + = + +

2 2

o, equivalentemente, .

y ax bx c x ay by c

● = 2 (origine nel vertice della parabola)

Equazione canonica (riferita ai propri assi) della parabola: y ax

− + −

   

2 2

b 4 ac b b 1 4 ac b

● = − = −

Coordinate del vertice V e del fuoco F: ;

   

, ,

V F

   

2 4 2 4

a a a a

+ −

2

1 b 4 ac

● =−

Equazione cartesiana della direttrice: y 4 a

E , I

E , I

LL

LL

II

SS

SS

EE PP

EE

RR

BB

O

L E

O

L E

CAPITOLO 3. L

L

I S S

E P E

R B

O

L E

D L’ellisse è il luogo dei punti del piano le cui distanze da due punti dati, detti fuochi, hanno

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE

D N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E

somma costante.

● Equazione canonica (riferita ai propri assi) dell’ellisse:

L’equazione canonica di una ellisse riferita a propri assi è del tipo:

2 2

x y

+ = 1

2 2

a b

dove 2a è la lunghezza dell’asse maggiore, 2b quella dell’asse minore. L’asse x dell’ellisse la incontra nei

punti A = (a, 0) e A’=(-a, 0). L’asse y dell’ellisse la incontra nei punti B=(0, e B’=(0, -b).

b), = −

2 2

D Dicesi la distanza di un fuoco dal centro dell’ellisse e si misura: .

C a b

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE

D distanza focale

N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E

P Condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché un punto P=(x,y) appartenga all’ellisse è:

RR

O PP

O SS

II

Z

II

O

N EE

P O O Z O

N

R O P

O S

I Z

I O

N E − ≤ ≤ − ≤ ≤

a x a ; b y b

Si tenga sempre presente che x e y sono le coordinate rispetto al sistema di riferimento di assi riferito

all’ellisse, con O nel centro dell’ellisse. θ

=

 x a cos

● 

Equazione parametrica dell’ellisse (riferita ai propri assi): θ

=

 y b sin

D Dicesi di un ellisse il rapporto tra la distanza focale e la lunghezza del semiasse

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE

D eccentricità

N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E = ≤ <

. Per una ellisse vale sempre . Se = 0, l’ellisse si riduce ad una circonferenza,

maggiore: e c / a 0 e 1 e

ossia “i due fuochi si ricongiungono entrambi al centro”.

D Dicesi il luogo dei punti del piano le cui distanza da due punti fissi detti fuochi hanno

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE

D iperbole

N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E

differenza (in valore assoluto) costante.

● Equazione canonica (riferita ai propri assi) dell’iperbole:

L’equazione canonica di una iperbole riferita a propri assi è del tipo:

2 2

x y

− = 1

2 2

a b

Osserviamo che, come nell’ellisse, l’iperbole è una curva simmetrica rispetto agli assi coordinati, e quindi

rispetto all’origine (se il sistema è riferito agli assi dell’iperbole). L’origine è detta centro dell’iperbole. L’asse

x incontra l’iperbole nei punti di ascissa x = ± e ordinata nulla. Tali punti sono detti vertici.

a b b

● = =−

Equazione degli asintoti di una iperbole: y x ; y x

a a

● = +

2 2

Distanza focale: C a b

P La definizione di eccentricità di una iperbole è la stessa di quella di una ellisse, con la sola

RR

O PP

O SS

II

Z

II

O

N EE

P O O Z O

N

R O P

O S

I Z

I O

N E >

>

differenza che (poiché ).

c a

e 1 R S – C S 9

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

G I G

EE

OO

M

EE

TT

RR

II

AA PP

EE

RR N

G

EE

G

N

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

G I G

M N

G G

N

E O M

E T R I

A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

G E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E LL

LL

OO SS

PP

AA

ZZ

II

OO

G

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E L

L O S

P

A Z I

O

L

U

O G H I G E O M E T R I C I D E L L O S

P A

Z I O

U

O G H I G E O M E T R I C I D E L L O S

P A

Z I O M

o

d u l o 4 .

S

S

U

P E

R FF

II

C II E C U

R V

E N E

L

L O SS

P A

Z II

O

U

P E

R C E C U

R V

E N E

L

L O P A

Z O

1.

CAPITOLO U

P E

R F I C I E C U

R V

E N E

L

L O S

P A

Z I O

ɵ ɵ ɵ ∈ Ε 3

Fissato un riferimento cartesiano sia data una equazione in x, y e z del tipo: (x,y,z)=0

RC (

O , i , j , k ) f

dove indica una qualsiasi funzione in x, y e z.

f ∈ Ε 3

D Dicesi luogo geometrico l’insieme dei punti tali da soddisfare la suddetta equazione.

P

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE

D N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E

Questa dicesi equazione cartesiana della superficie.

● Equazione parametrica di una superficie:

Le equazioni parametriche di una superficie nello spazio sono tre equazioni espresse in funzione di due

parametri t e t’ in uno stesso campo di variabilità, con t e t’ indipendenti tra loro. Dunque si avrà:

=

 x x (

t , t ')

 =

 y y (

t , t ')

 =

z z (

t , t ')



D Dicesi curva nello spazio l’insieme dei punti tali da soddisfare un sistema di equazioni del

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE

D N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E =

 f ( x , y , z ) 0

tipo: . Questa dicesi equazione cartesiana della curva. La stessa curva può essere

 =

 g ( x , y , z ) 0

rappresentata in forma parametrica al variare di un parametro t da un sistema di equazioni del tipo:

=

 x x (

t )

 =

 y y (

t )

 =

z z (

t )

 Ε

S 3

S