Geometria e algebra - geometria del piano e dello spazio

G I G

EE

OO

M

EE

TT

RR

II

AA PP

EE

RR N

G

EE

G

N

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

G I G

M N

G G

N

E O M

E T R I

A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

G E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E LL

LL

OO SS

PP

AA

ZZ

II

OO

G

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E L

L O S

P

A Z I

O

G

E O M E T R I A D E L P

I A

N O

E O M E T R I A D E L P

I A

N O M

o

d u l o 1 .

I

I

N T

R O

D

U

Z II

O

N E A L

L A G

E O

M E

T

R II

A P II

A

N A

N T

R O

D

U

Z O

N E A L

L A G

E O

M E

T

R A P A

N A

CAPITOLO 1. N T

R O

D

U

Z I O

N E A L

L A G

E O

M E

T

R I A P I A

N A

Fissato un sistema di riferimento cartesiano RC(O, μ , μ ), comunque preso un punto P del piano, il vettore

1 2

{ }

µ µ µ µ

= = + ∈ 2

, rispetto a fissata, si esprime in modo unico nella forma: .

ℝ

OP B , OP x y , ( x , y )

1 2 1 2

Se un vettore è assegnato mediante un rappresentante (equipollente a , ma non applicato in O) ,

v v P P

1 2

= =

supposte note le coordinate di e di in un RC(O, μ , μ ), si ha:

P ( x , y ) P ( x , y ) 1 2

1 1 1 2 2 2

µ µ

= = − + −

v P P ( x x ) ( y y )

1 2 2 1 1 2 1 2

● Equazioni parametriche di una retta nel piano:

∈

Detti della retta , definiti a meno di un fattore di proporzionalità, le

ℝ

(

l , m )

l, m parametri di direzione

equazioni parametriche di una retta nel piano sono del tipo:

r = +

 x x lt

1



r : = +

y y mt

 1

dove (x ,y ) sono le coordinate di un suo punto. Ogni punto della retta è univocamente determinato al

1 1 ∈ . Un qualunque parallelo ad una retta dicesi della retta e le

variare del parametro ℝ v

t r vettore direttore

sue coordinate (l,m) diconsi di

parametri direttori r.

● Equazione cartesiana implicita di una retta nel piano:

+ + = 0

ax by c

= = − = − − . Si noti a questo punto

Con riferimento alle equazioni parametriche vale: ; ;

a m b l c ax by

1 1 = Ψ +

che le equazioni parametriche rappresentano lo spazio delle soluzioni di del tipo .

V V

ax+by+c=0 A , B 0 A ,0

● Condizione di allineamento di 3 punti: x y 1

0 0 =

x y 1 0

1 1

x y 1

2 2

P Mentre una equazione lineare del tipo determina una sola retta, una retta

RR

O PP

O SS

II

Z

II

O

N EE

P ax+by+c=0

O O Z O

N

R O P

O S

I Z

I O

N E

determina infinite equazioni lineari tra loro equivalenti, aventi coefficienti proporzionali.

● Equazione di una retta passante per due punti:

= =

Dati due punti , la retta passante può determinarsi con i 3 seguenti metodi:

( , ) ( , )

P x y P x y r

1 1 1 2 2 2 x y 1 = + −

− −  x x ( x x )

t

x x y y

• = • = • 1 2 1

1 1 

; x y 1 0 ; = + −

− − 1 1 y y ( y y )

t



x x y y 1 2 1

2 1 2 1 x y 1

2 2

● Intersezione e parallelismo di due rette nel piano: + + = + + =

Siano date due rette ed di equazioni rispettive e . Si consideri il sistema:

r r’ ax by c 0 a ' x b ' y c ' 0

+ + =

 0

ax by c

 + + =

 ' ' ' 0

a x b y c

e la matrice A associata al sistema (incompleta). Allora:

Se det(A) ≠ 0, le re:e sono incidenti.

Se det(A) = 0, si esamini il rango della matrice completa. Se il rango è 2, le rette sono parallele; se il

rango è 1 le rette sono coincidenti.

R S – C S 1

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

G I G

EE

OO

M

EE

TT

RR

II

AA PP

EE

RR N

G

EE

G

N

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

G I G

M N

G G

N

E O M

E T R I

A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

G E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E LL

LL

OO SS

PP

AA

ZZ

II

OO

G

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E L

L O S

P

A Z I

O

● Equazione cartesiana esplicita di una retta nel piano:

Una retta nel piano cartesiano può essere data esplicitando rispetto alle ordinate l’equazione cartesiana

r

implicita (e per questo chiamasi forma esplicita di In questo caso si ha: y = + dove si definisce

r). mx q, m

e determina la pendenza di mentre viene chiamato o

coefficiente angolare, r, q termine noto ordinata all’origine,

in quanto rappresenta il valore che assume l’ordinata, quando x=0.

P Siano ed due rette parallele. Allora ed hanno lo stesso coefficiente angolare, e se le due

RR

O PP

O SS

II

Z

II

O

N EE

P r s r s

O O Z O

N

R O P

O S

I Z

I O

N E

rette sono date in forma esplicita, possono ridursi a differire del solo termine noto. Inoltre hanno parametri

direttori proporzionali.

● Fascio di rette:

La combinazione lineare di due rette incidenti descrive un fascio di rette:

λ ω λ ω

+ + + + + = ∈

(al variare di )

ℝ

( ax by c ) ( a ' x b ' y c ') 0 ,

Se le due rette sono parallele, allora si dice che la loro combinazione lineare genera un fascio di rette a centro

o, più semplicemente, (in quanto tutte le rette hanno in comune un punto improprio

improprio fascio improprio

all’infinito). Il fascio può riscriversi nella seguente forma: ω

∈ =

+ + + + + = (al variare di )

ℝ

k , k

ax by c k ( a ' by ' c ') 0 λ

dicesi λ e ω diconsi

k parametro del fascio; parametri omogenei del fascio.

● Condizione perché tre rette appartengano ad un fascio:

Condizione necessaria e sufficiente affinché tre rette appartengano al medesimo fascio è che riesca:

r, r’, r’’

a b c =

a ' b ' c ' 0

a '' b '' c ''

poiché una deve essere combinazione lineare delle altre due.

N

N

O

Z II

O

N II M E

T

R II

C H E D

E

L P II

A

N O

O

Z O

N M E

T

R C H E D

E

L P A

N O

CAPITOLO 2. O

Z I O

N I M E

T

R I C H E D

E

L P I A

N O

D Si dicono tutte quelle nozioni nelle quali interviene in modo essenziale il

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE

D nozioni metriche

N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E

concetto di misura. ( ) ( )

● − + −

2 2

Distanza tra due punti nel piano: x x y y

2 1 2 1

D Diconsi di una retta orientata i coseni degli angoli convessi che forma con le

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE

D coseni direttori r r

N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E

direzioni positive degli assi. Sono così definiti:

l m

= =

;

cos( xr ) cos( yr )

± + ± +

2 2 2 2

l m l m

scegliendo lo stesso segno a seconda del verso di Avendo la equazione cartesiana di i coseni direttori

r. r,

possono ugualmente definirsi come segue: −

b a

= =

;

cos( xr ) cos( yr )

± + ± +

2 2 2 2

a b a b

● Condizione di perpendicolarità di due rette:

Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette ed siano ortogonali tra di loro è che valga:

r r’

+ = + =

oppure

ll ' mm ' 0 aa ' bb ' 0

+ +

ll ' mm ' aa ' bb '

● = =

oppure

Angolo tra due rette: cos( rr ') cos( rr ')

± + + ± + +

2 2 2 2 2 2 2 2

l m l ' m ' a b a ' b '

+ +

ax by c

● δ = 0 0

Distanza punto – retta : P r

( , )

0 +

2 2

a b

R S – C S

2 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

G I G

EE

OO

M

EE

TT

RR

II

AA PP

EE

RR N

G

EE

G

N

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

G I G

M N

G G

N

E O M

E T R I

A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

G E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E LL

LL

OO SS

PP

AA

ZZ

II

OO

G

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E L

L O S

P

A Z I

O

● Area di un triangolo: = = =

L’area di un triangolo di vertici , e è data da:

P ( x , y ) P ( x , y ) P ( x , y )

A 1 1 1 2 2 2 3 3 3

x y 1

1 1

1

= 1

A x y

2 2

2 1

x y

3 3

dove il valore del determinante va preso in valore assoluto.

● Cambiamento di riferimento cartesiano ortonormale:

Due riferimenti cartesiani ortonormali diconsi se le rispettive basi sono equiverse. Similmente

equiversi

Ε 2 due riferimenti cartesiani ortonormali:

diconsi Siano dati nel piano usuale

contraversi.

ɵ ɵ ɵ ɵ

= =

;

RC (

O , i , j ) RC (

O , x , y ) RC '(

O ', i ', j ') RC '(

O ', x ', y ')

Supponiamo ora che siano (x ,y ) coordinate di O’ rispetto ad O e

0 0

θ θ

−

 

cos sin { }

=

=

consideriamo la matrice di passaggio da B i , j

C  

θ θ

 

sin cos

{ }

=

a , supposte equiverse (come in figura). Vale allora la

B ' i ', j '

relazione: B=CB’. I due riferimenti sono quindi legati dalla seguente:

θ θ

= − +

 x x 'cos y 'sin x

0

 θ θ

= + +

y x y y

'sin 'cos

 0

Considerata la matrice di passaggio C’ da B’ a B, che è la trasposta di C (essendo C matrice ortogonale), vale:

θ θ

= + +

 x ' x cos y sin x '

0

 θ θ

= − + +

y ' x sin y cos y '

 0

con coordinate di O rispetto ad O’. Consideriamo ora il caso in cui B e B’ siano contraverse (come

( x ' , y ' )

0 0 θ θ

 

cos sin

=

in figura). La matrice di passaggio da B a B’ è ,

D  

θ θ

−

 

sin cos

−

= = 1

T , essendo D

mentre la matrice di passaggio D’ da B’ a B è D ' D D

ortogonale. Valgono allora le relazioni:

θ θ

= + +

 x x 'cos y 'sin x

0

 θ θ

= − +

y x 'sin y 'cos y

 0

θ θ

= + +

 x ' x cos y sin x '

0

 θ θ

= − +

y ' x sin y cos y '

 0

● Equazione segmentaria di una retta:

Qualora una retta sia obliqua rispetto agli assi cartesiani, può essere scritta in

r forma segmentaria:

x y κ κ

∈ ≠ ≠

+ = ℝ

( p , , p 0, 0)

1

κ

p

e κ rappresentano rispettivamente l’ascissa e l’ordinata dei punti di intersezione tra la retta e l’asse x, e tra

p

la retta e l’asse y. R S – C S 3

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

G I G

EE

OO

M

EE

TT

RR

II

AA PP

EE

RR N

G

EE

G

N

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

G I G

M N

G G

N

E O M

E T R I

A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

G E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E LL

LL

OO SS

PP

AA

ZZ

II

OO

G

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E

E O M

E T R I

A D

E L P I

A N

O E D

E L

L O S

P

A Z I

O

G

E O M E T R I A D E L L O S

P

A

Z I O

E O M E T R I A D E L L O S

P

A

Z I O M

o

d u l o 2 .

I

I

N T

R O

D

U

Z II

O

N E A L

L A G

E O

M E

T

R II

A D E

L

L O SS

P A

Z II

O

N T

R O

D

U

Z O

N E A L

L A G

E O

M E

T

R A D E

L

L O P A

Z O

CAPITOLO 1. N T

R O

D

U

Z I O

N E A L

L A G

E O

M E

T

R I A D E

L

L O S

P A

Z I O

Fissato un sistema di riferimento cartesiano RC(O, μ , μ , μ ), comunque preso un punto P dello spazio, il

1 2 3

{ } µ µ µ

µ µ µ = + +

=

vettore , rispetto a fissata, si esprime in modo unico nella forma: ,

OP OP x y z

B , , 1 2 3

1 2 3

∈ 3 . Se un vettore è assegnato mediante un rappresentante (equipollente a , ma non

ℝ v v

( x , y , z ) = =

applicato in O) , supposte note le coordinate di e di in un RC(O, μ ,

P P P ( x , y , z ) P ( x , y , z ) 1

1 2 1 1 1 1 2 2 2 2

µ µ µ

= = − + − + −

μ , μ ), si ha: v P P ( x x ) ( y y ) ( z z )

2 3 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 3

● Equazione parametrica di un piano: = + +

 x x lt l ' t '

0

 = + +

 y y mt m ' t '

0

 = + +

z z nt n ' t '

 0 = =

Un piano è descritto da due vettori L.I. di coordinate e definiti ciascuno

v (

l , m

, n ) v ' (

l ', m ', n ')

singolarmente a meno di un fattore di proporzionalità. Le coordinate di e diconsi

'

v v parametri direttori del

ed il punto P = (x , y , z ) è un punto qualsiasi