Geometria e Algebra - Formulario, Teoremi - prof. Giordano

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Questo è tutto ciò che serve per l'esame di Geometria e Algebra. Lo custodisco con cura perchè ci ho lavorato molto su e devo dire che mi ritengo soddisfatto. È tutto …

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Giordano Vincenzo

Università Politecnico di Bari

A.A. 2019-2020

62 pagine

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Estratto del documento

Siano

MATRICI UGUALI

MATRICE NULLA: ha solo elementi uguali a 0

MATRICE IDENTICA: matrice quadrata di ordine n che ha elementi uguali a 1nella diagonale principale e il resto sono 0

DELTA O SIMBOLO DI KRONECKER: generico elemento di posto ij nella matrice identica

MATRICE TRASPOSTA DI UNA MATRICE: si ottiene scambiando le righe con le colonne

SOMMA TRA MATRICI: si può calcolare solo se le due matrici sono dello stesso ordine

PROPRIETÀ COMMMUTATIVA ASSOCIATIVA

ELEMENTO NEUTRO DELLA SOMMA:

MATRICE OPPOSTA

Siano

A = (a_ij)

B = (b_ij)

A=B ↔ a_ij = b_ij

∀i = 1, 2, ...

∀j = 1, 2, ...

MATRICI UGUALI

O_m,n ∈ M_m,n(IR)

MATRICE NULLA

ha solo elementi uguali a 0

MATRICE IDENTICA

I_n(IR)

matrice quadrata di ordine n che ha elementi uguali a 1

nella diagonale principale e il resto sono 0

δ_ij = {1 se i=j

0 se i ≠ j

DELTA O SIMBOLO DI KRONECKER

generico elemento di posto i-j nella matrice identica

MATRICE TRASPOSTA DI UNA MATRICE

A^T: si ottiene scambiando le righe con le colonne

SOMMA TRA MATRICI

si può calcolare solo se le due matrici sono dello stesso ordine

PROPRIETÀ

∀ A, B ∈ M_m,n(IR)

COMMUTATIVA: A + B = B + A

ASSOCIATIVA: (A + B) + C = A + (B + C)

ELEMENTO NEUTRO DELLA SOMMA

O_m,n

MATRICE OPPOSTA

∀ A ∈ M_m,n(IR) ∃ B ∈ M_m,n(IR) t.c. A + B = O_m,n

B = -A

A = (a_ij)

B = ( -a_ij)

MOLTIPLICAZIONE TRA UN NUMERO REALE E UNA MATRICE

Si moltiplica ogni singolo elemento della matrice per un numero reale così da ottenere la MATRICE PRODOTTO.

PRODOTTO TRA MATRICI RICHE PER COLONNE

Le matrici devono avere disposizioni di indici in questo modo affinché si possa calcolare:

1A. Si moltiplica la prima riga per la prima colonna dell'altra matrice e si ottiene il primo elemento della prima riga.

2A. Si moltiplica la prima riga per la seconda colonna dell'altra matrice e si ottiene il secondo elemento della prima riga.

1B. Si moltiplica la seconda riga per la prima colonna dell'altra matrice e si ottiene il primo elemento della seconda riga.

2B. Si moltiplica la seconda riga per la seconda colonna dell'altra matrice e si ottiene il secondo elemento della seconda riga.

N.B. Tale prodotto non gode della proprietà commutativa (in generale)

Le due matrici sono PERMUTABILI se AB = BA

Per le matrici non esiste un matrice/elemento che annulli il prodotto, questo può essere annullato anche da matrici non nulle
Il prodotto tra matrici non erede la legge di annullamento del prodotto

Vale la proprietà ASSOCIATIVA e quella DISTRIBUTIVA

Matrice Simmetrica

a_ij = a_ji → simmetria rispetto alla diagonale principale

la matrice è simmetrica se coincide con la trasposta

Matrice Triangolare

Alta: se tutti gli elementi sotto la diagonale principale sono 0
Bassa: se tutti gli elementi sopra la diagonale principale sono 0
Triangolare: se è alta o bassa
Diagonale: se è sia alta che bassa (rimane solo la diagonale principale)
Scalare: se è diagonale e tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali tra loro

Proprietà della Trasposta

(A^T)^T = A
(A+B)^T = A^T + B^T
(lA)^T = lA^T
(A・B)^T = B^T・A^T
Se A è invertibile, allora A^T è invertibile
(A^T)^-1 = (A^-1)^T

Matrice Inversa

Una matrice A ∈ _n(ℝ) si dice invertibile se ∃ B ∈ _n(ℝ) t.c. A ∙ B = B ∙ A = I_n

(1)

Proposizione

La matrice B della definizione, se esiste, è unica

Dimostrazione

Sia C una matrice quadrata di ordine n (C ∈ _n(ℝ)) t.c. A C = C A = I_n

B = I_n

B = C(A B) ⊛ C I_n = C

(2)

(post-associazione)

B = C

(□)

fine della dimostrazione

La matrice B unica prende il nome di Matrice

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