Geometria e Algebra - Formulario, Teoremi - prof. Giordano

Siano A = (a_ij)

B = (b_ij) ∈ M_m,n(IR)

A = B ↔ a_ij = b_ij

∀i = 1,2,...

∀j = 1,2,..., m

MATRICI UGUALI

0_m,n ∈ M_m,n(IR)

MATRICE NULLA

ha solo elementi uguali a 0

I_n (IR)

MATRICE IDENTICA

matrice quadrata di ordine n che ha elementi uguali a 1 nella diagonale principale e il resto sono 0

¹{₀, se i ≠ j

d_ij = {₁, se i = j

DELTA O SIMBOLO DI KRONECKER

generico elemento di posto i,j nella matrice identica

A^T

MATRICE TRASPOSTA DI UNA MATRICE

si ottiene scambiando le righe con le colonne

SOMMA TRA MATRICI

si può calcolare solo se le due matrici sono dello stesso ordine

PROPRIETÀ

∀ A B ∈ M_m,n (IR)

COMMUTATIVA

A + B = B + A

ASSOCIATIVA

(A + B) + C = A + (B + C)

ELEMENTO NEUTRO DELLA SOMMA

0_m,n

MATRICE OPPOSTA

∀ A ∈ M_m,n (IR) ∃ B ∈ M_m,n (IR) t.c. A + B = O_m,n

B = -A

A = (a_ij)

B = (-a_ij)

MOLTIPLICAZIONE TRA UN NUMERO REALE E UNA MATRICE

Si moltiplica ogni singolo elemento della matrice per un numero reale cost, da ottenere la MATRICE PRODOTTO

PRODOTTO TRA MATRICI RICHE PER COLONNE

Le matrici devono avere dimensioni gli indici in questo modo affinché si possa calcolare:

1A. Si moltiplica la prima riga per la prima colonna dell'altra matrice e si ottiene il primo elemento della prima riga

2A. Si moltiplica la prima riga per la seconda colonna dell'altra matrice e si ottiene il secondo elemento della prima riga

1B. Si moltiplica la seconda riga per la prima colonna dell'altra matrice e si ottiene il primo elemento della seconda riga

2B. Si moltiplica la seconda riga per la seconda colonna dell'altra matrice e si ottiene il secondo elemento della seconda riga

...

N.B. Tale prodotto non gode della proprietà commutativa (in generale)

• Le due matrici sono PERMUTABILI se AB = BA
• Per le matrici non esiste un elemento che annulli il prodotto per questo può essere annullato anche da matrici non nulle
• Il prodotto tra matrici non vodo la legge annullamento del prodotto
• Vale la proprietà ASSOCIATIVA e quella DISTRIBUTIVA

Proprietà del determinante

• |A| = |A^T|
• I_m = 1
• r₁r₂c·r_ir_m= cr₁r₂r_ir_m
• r₁ r₁r₂ r₂r_i r_ir_m r_m= r₁ r₁r₂ r₂r_i r_ir_m r_m
• r_i r₁r_i r₂r_i r_ir_m r_m=r₁ r_ir₂ r₂r_m r_m+r₁ r₁r₂ r_ir_i r_m
• 2 righe uguali : |A| = 0
• 1 riga con soli 0 : |A| = 0
• se ad una riga qualsiasi si aggiunge un'altra riga moltiplicata per un numero reale, il determinante non cambiar_i r₁r_i + c r_j r₂r_i r_ir_n r_n=r_i r₁r_i r₂r_i r_ir_n r_n
• se una riga è C. L. delle rimanenti, allora |A| = 0 → vale anche il contrario: se |A| = 0 allora almeno una riga o una colonna è C. L. delle restantir₁r₂....r_n-1C₁r₁ + C₂r₂ + ... + C_nr_n-1= 0

Una matrice A ∈ M_m,n (ℝ) si dice matrice a scala se è la sua matrice nulla e della forma seguente:

a_ij = P_j ≠ 0

Pivot o elemento conduttore

• primo elemento ≠ 0 dalla prima riga
• P₂ si trova più a destra di P₁ e così via

Il rango di queste matrici è pari al numero di Pivot

• Le righe nulle sono tutte alla fine (se ci sono)
• Tutti gli elementi sotto ai pivots sono 0

Operazioni elementari e trasformazioni elementari sulle righe di A

1. r_i → r_j, i ≠ j scambio tra righe
2. r_i → k r_i, k ∈ ℝ \ {0} moltiplico per un numero reale una riga
3. r_i → r_i + k r_j, i ≠ j, k ∈ ℝ \ {0}

Teorema di Gauss

Ogni matrice A può essere ridotta a scala (se già non lo è) mediante un numero finito di operazioni elementari sulle righe

Vedi sul quaderno l'esempio di riduzione a scala di una matrice qualsiasi

Relazioni e strutture algebriche

Sia X ≠ ø un insieme qualunque, si dice relazione su X un sottoinsieme R di X x X (R ⊆ X x X).

∀a, b ∈ X, a R b ⟺ (a, b) ∈ R: "a è in relazione R con b"

Relazione di equivalenza

Relazione R su X in cui valgono le seguenti 3 proprietà:

1. ∀a ∈ X, a R a Proprietà riflessiva
2. ∀a, b ∈ X, a R b ⟺ b R a Proprietà simmetrica
3. ∀a, b, c ∈ X, a R b ∧ b R c ⟹ a R c Proprietà transitiva

• parallellismo tra rette
• Relazione di congruenza modulo n
• equivalenza tra S.O.

Evisti 2 punti A e B si dice segmento orientato (S.O.) di 1^o estremo A e 2^o estremo B il segmento AB in cui è fissato un verso secondo cui A precede B, sarà indicato con (A, B).

AB = lunghezza di AC

Σ_s = insieme di tutti i S.O. di S

2 S.O. non ridotti a un punto si dicono equipollenti se hanno la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza.

(A, B) ∼ (C, D) = "(A, B) è equipollente a (C, D)"

Se (V,₁, ...), (K^*, ·), (M, (K), +) , V = F(A,K) := {f : A → K | f numerica}

Sia (V uno spazio vettoriale su K e H ⊆ V H ≠ ∅, si dice che H è un sottospazio vettoriale di V, e si indica con H ≤ V, se H rispetto alle restrizioni AH delle operazioni

definite su H è esso stesso uno s.v. su K

Teorema di caratterizzazione dei sottospazi vettoriali

Siano v.s.v. su K H ≠ ∅, allora H ≤ V ⟺

1. ∀ x̅₁, x̅₂ ∈ H ⇒ x̅₁ + x̅₂ ∈ H   (H è chiuso rispetto a +)
2. ∀ x̅ ∈ K ∀ λ ∈ H ⇒ λ x̅ ∈ H   (H è chiuso rispetto a ·)

Sia A ∈ M(ℝ) Tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + ... = a_nn

Traccia di A

L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo Σ di m equazioni in n incognite è un sottospazio vettoriale di ℝⁿ ⊆ ℝⁿ

L'insieme L {v̅₁, v̅₂, ..., v̅_m} dei vettori c.l. di v̅₁, v̅₂, ..., v̅_m è un sottospazio vettoriale di V

Sia V uno s.v. su K, si dice finitamente generato (f.g.) ⇔ ∃ v̅₁, v̅₂, v̅_n ∈ V (n ≥ 1) t.c. V = L (v̅₁, v̅₂, ..., v̅_n)

Siano V uno s.v. su K, e v̅₁, v̅₂, ..., v̅_n ∈ V (n ≥ 1)

v̅₁, v̅₂, v̅_n si dicono linearmente dipendenti (l.d.) se esistono n scalari λ₁, λ₂, ..., λ_n ∈ K non tutti nulli t.c. λ₁v̅₁ + λ₂v̅₂ + ... + λ_nv̅_n = o̅

In caso contrario si dicono linearmente indipendenti (l.i.) cioè

v̅₁, v̅₂, v̅_n sono l.i. ⇔ ∀(λ₁, λ₂, ..., λ_n) ∈ Kⁿ

λ₁v̅₁ + λ₂v̅₂ + ... + λ_nv̅_n = o̅ ⇒ λ₁ = λ₂ = ... = λ_n = 0