Geometria e algebra - diagonalizzazione di una matrice e altre nozioni

Diagonalizzazione di una matrice quadrata

Una matrice quadrata si dice diagonalizzabile SE è simile ad una matrice diagonale, cioè se esiste una matrice non singolare P tale che

P^-1AP = Δ

con Δ matrice diagonale.

Se e solo se le molteplicità geometrica e algebraica sono uguali oppure ⇔ le molteplicità geometrica NON supera quella aritmetica, la matrice sarà diagonale.

Esempio: Sia A = _{^{a a+1}} . Vogliamo vedere per quali valori del parametro a_{a+3 a+2}

Sarà diagonalizzabile. Il polinomio caratteristico di A é:

• ψ(λ) = λ² - (2a+2)λ + a (a+2) - (a+3)(a+1)
• ψ(λ) = -1
• ψ(λ) = 2a+3

Le radici coincidono per a=-2 ⇒ Se a ≠ -2 la matrice è diagonalizzabile.

Matrici ortogonali

Diciamo che una matrice U è ortogonale se ∈ R se

U·U^T = U^T·U = I

Teorema 3.6 Sia U una matrice ortogonale allora

• det (U) = ± 1
• U è invertibile e U^-1 = U^T
• U è ortogonale

Formula di Grassman

La formula di Grassman ci permette di calcolare la dimensione di uno spazio sottoposto:

dim (S + T) = dim S + dim T - dim(S ∩ T) ovvero: dim S + dim T = rank (S ∩ T)

Esempio: Determinare le dim K∩ di {a,b} ∩ {c,d} a = (1,0,0,0,1) b = (1,0,0,1,1) c = (0,3,3,0,0) d = (1,1,1,1,1)