Geometria e algebra

A = {2, 3, 4}

A = {m ∈ N | 0 ≤ n ≤ 4}

N numeri naturali

{0; 1; 2; ...}

Principio di induzione

S ⊆ N

tale che

0 ∈ S;

se n ∈ S,

n+1 ∈ S allora S=N

⇒ S ⊆ N, N ⊆ S

Considero gli insiemi

Insieme delle parti di A

A = {2, 3, 7}

𝔶(A) = {∅; A; {2}; {3}; {7}; {2,3}; {2,7}; {3,7}}

cardinalità e il numero degli elementi; ≡ caratteristica dei

Si denotava gli elementi se elementi infiniti

Th Se cardinalità A = n then cardinalità 𝔶(A) = 2ⁿ ⊕ m∈N = 0; p ≥ conclusione sufficiente per q ↑ condizione necessaria per p

enunci   p

  ⇗

  q

n = 0

A = ∅

℘(A) = {∅}

2⁰ = 1

Supponiamo che l'enunciato sia vero per un certo n (ipotesi induttiva)

allora l'enunciato è vero per n + 1

A:

cardinalità = n

B:

cardinalità B = n + 1

cardinalità ℘(B) = 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ + {∅, ▢{}} + {A; ▢}... 2ⁿ 2ⁿ - 2ⁿ⁺¹

cardinalità ℘(A) = 2ⁿ

4^a proprietà - esistenza dell'opposto

Opposto Z₁ e ∃ m' ∈ Z | m + m' = 0

Le proprietà 1^a, 2^a, 3^a valgono sia per (N, +) che per (Z, +) mentre la 4^a solo per (Z, ⋅)

Valgono le proprietà di (Z, +) tranne la 4^a

1. (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
2. a ⋅ b = b ⋅ a
3. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a

La 4^a non vale per (Z, ⋅) cioè l'opposto in Z non c'è in ℤ^*

ℤ^* ≠ ℤ

Per verificare la 4^a devo passare in ℚ^*

gruppo: la struttura algebrica è un gruppo quando abbiamo un insieme G e un'operazione * dove valgono le seguenti proprietà:

1. associativa

(E_o³, +)

addizione

CASI PARTICOLARI

Se uno dei due vettori delle addizione somme è nullo la somma sarà l'altro vettore

• →OP + →OQ = →OP O s →OQ ∈ E_o³
• v + O_E3 = v o s v ∈ E_o³

Se i due vettori sono sulla stessa retta, cioè stesse direzione, e verso uguale

• →OP + →OQ = →OR
• |→OP| + |→OQ| = |→OR|

verso opposto, stessa direzione

• →OR = →OP
• |→OQ| - |→OP| = |→OR|

Il verso di →OR corrisponde a quello di modulo maggiore

• Se |→OP| = |→OR| e versi opposti → →OP + →OQ = →OR = →OR

Comporre rotazioni

R₀: E₂ → E₂

R₁: E₂ → E₂

compone due rotazioni sullo stesso punto in sequenza

R = rotazione

R₀ ∘ R₁ = R_{0 + 0}

Prendiamo un insieme di R

A = { I, R_+π⁄3, R_-π⁄3 }

l’identità è la rotazione di angolo 0°

la composizione di rotazione è commutativa

R₀ ∘ R_0₁ = R_0₁ ∘ R₀ = R_0₁+0

Svolgiamo i conti in tabella

• R_π⁄3
• R_-π⁄3

R_π⁄3 ∘ R_π⁄3 = R_4π⁄3

R_π⁄3 ∘ R_-π⁄3 = Р_−2/3π⁄3

se non è una composizione inversa, allora aggiungo ad A‭

R_π⁄3 e R_π⁄3.

A = { I, R_π⁄3, R_π⁄3, R_2/3π⁄3 }

x_i ∈ E

v→ fisso in E

Traslazione di v in E

È una traslazione lineare

-v è l’applicazione inversa di tv

t_v o t_-v = t_v + t_-v vale le composizione

t_-v + t_v = t_-v + t_v = t₀ cioè l’identità

Caso

B = A + v→ ⇒ t_v(A) = B

Trovare A se t_v ricavo B

Polinomi

È un'espressione algebrica che contiene somma di monomi

R[x] insieme dei polinomi a coefficienti reali nelle variabili x

Esempi:

p(x) = 2x³ - 3x⁹ + x - 1

• m(x) = 2

q(x) = √3 x² - 1

• m(x) = 0 → polinomio nullo

Grado del polinomio è il grado dell'esponente più grande

deg m = grado indefinito

deg p = 4

deg q = 2

deg n = 0

p(x) + q(x) = 2x³ - 3x⁹ + x - 1 + √3 x² = -3x⁹ + 2x³ + √3 x² + x - 2

se deg p = deg q → deg p + q ≤ deg p, deg q

p(x) = 3x⁵ + x

q(x) = -3x⁵ + 2x³

• p + q(x) = 2x³ + x
• deg p, q = 3

p(x) + 0 = p(x)

∀p(x) ∈ R[x]

Sia p(x) ∈ ℝ[x] | deg p(x) n dispari (n ≥ 1)

Allora ∃ almeno 1 radice reale

x₀ ∈ ℝ | p(x₀) = 0

p(x) ∈ ℝ[x] p(x) = q(x - x₁)^μ₁(x-x₂)^μ₂... (x-x_k)^μ_k

x₁, x₂, x_k ∈ ℝ ; μ₁, μ₂, μ_k ∈ ℕ⁺ ;

q(x) q₂(x) q_n(x) sono polinomi irriducibili di secondo grado

(non riesci a scomporlo in ℝ)

Esercizio osservativo

grado dispari

p(x) = q(x-z₁)^μ₁(x-z₂)^μ₂...(x-z_k)^μ_k caso generale

p(x) = a₀ + a₁ z¹ + a₂ z² + a₃ z³ + a_n zⁿ

p(z₀) = &bar;