Geometria e algebra

Il chiuso o indica la proprietà che le lega

A = {2, 3, 4}

A = {m ∈ ℕ | 0 <= m <= 4}

ℕ numeri naturali {0; 1; 2; ...}

Principio di induzione

S ⊂ ℕ

Tale che 0 ∈ S; se n ∈ S, n+1 ∈ S allora S = ℕ ⇒ S ⊆ ℕ, ℕ ⊆ S

Considero gli insiemi

Insieme delle parti di A

A = {2, 3, 4}

ℕ(A) = {∅; A; {2}; {3}; {4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}}

Th Se cardinale A = n allora cardinale (A)

Enunciato = 2ⁿ

l'elenco o indico la proprietà che lo lega

A = {2, 3, 4}

A = {n∈N|0≤n≤4}

ℕ numeri naturali {0, 1, 2,...}

Principio di induzione

S ⊂ N

Tale che 0 ∈ S; Se n ∈ S, n+1 ∈ S allora S = N ⇒ S ⊂ N, N ⊂ S

Considero gli insiemi

Insieme delle parti di A

A = {2, 3, 7}

ℕ(A) = {∅, A, {2}; {3}, {7}, {23}, {27}; {3, 7}}

Cardinalità e il numero degli elementi

Ovviamente la caratteristica di assumere gli elementi se elementi

Th Se cardinalità A = n allora cardinalità ℘(A) = 2ⁿ

m = 0 A = ∅ (A) = {∅} 2⁰ = 1

Supponiamo che l'enunciato sia vero per un certo n (ipotesi induttiva) allora l'enunciato è vero per n+1 A = cardinalità = m B = cardinalità = B = n+1 cardinalità (B) = 2ⁿ⁺¹ cardinalità (A) = 2ⁿ = 2ⁿ + {∅, } + {A; }... = 2^n-1 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹

Funzione, applicazione, mappa (freccia)

f(x) è l'immagine di x

scorcolo fx --> f(x)

Da A devo andare sopra in B, gli elementi di B possono essere immagini degli elementi di A.

funzione: iniettiva sovrattiva biettiva

Funzione sovrattiva (surjective)

L'insieme dell’immagine delle funzione coincide con il codominio

Imf = {y ∈ B: ∃x ∈ A, y = f(x)} = {f(x) ∈ B, x ∈ A}

B non ha elementi che non sono immagini di A

Funzione biettiva (bijective)

se si verifica che la funzione è suriettiva e iniettiva (corrispondenza biunivoca)

Prodotto cartesiano

Nuovo insieme con coppie di numeri ordinati.

A×B = { x b | a ∈ A, b ∈ B }

f: N × N → N

Legge di composizione interna su numeri naturali.

Esempio di operazioni: +: N × N → N

(n, m) ↦ k = n + m

Tipi di insiemi

NZ = { 0; ±1; ±2; }

Q = { m/n ϵ Z }

R estensione di Q

Struttura algebrica

Si ha ogni qualvolta si è dotati di un insieme e delle operazioni interne (1 o + operazioni)

*: A × A → A

operazioni le cui risultato è dell’insieme dello stesso insieme

Esempio (N, +) operazione => addizione; moltiplicazione risultato => somme; prodotto

Proprietà addizione

(m, n) → m+n

1. Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c) ∀ a, b, c ∈ N
2. Proprietà commutativa: m₁ + m₂ = m₂ + m₁ ∀ m₁, m₂ ∈ N
3. Proprietà esistenza elemento neutro: ∃ elemento neutro e: ∃ e | m+e = e+m = m, ∀ m ∈ N e e ∈ 0 e: 0
4. Proprietà - esistenza dell'opposto: ∃ opposto ℤ ∀ m ∈ ℤ ∃ m' ∈ ℤ | m + m' = 0

Le proprietà 1^, 2^, 3^ valgono sia per (ℕ, +) che per (ℤ, +) mentre la 4^ solo per (ℤ, ⋅)

(ℤ, ⋅)

Valgono le proprietà di (ℤ, +) tranne la 4^(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) a ⋅ b = b ⋅ a a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a la 4^ non vale per (ℤ, ⋅) cioè: l'opposto in ℤ non c'è in ℤ^*ℤ* - ℤ

Per verificare la 4^ devo passare in ℚ*(ℚ^*; ⋅)

Gruppo

La struttura algebrica è un gruppo quanto abbiamo un insieme G e un'operazione ⋆ dove valgono le seguenti proprietà:

1. Associativa: g₁ ⋆ (g₂ ⋆ g₃) = (g₁ ⋆ g₂) ⋆ g₃
2. Esiste elemento neutro: ∃ e | g ∗ e = e ∗ g = g ∀ g ∈ G
3. Esiste l’opposto: ∀ g ∈ G ∃ g^-1 | g ∗ g^-1 = e

Parlare di gruppo non è necessario parlare della commutativa: g₁ ∗ g₂ = g