Geometria e Algebra

GEOMETRIA ALGEBRA

E Matteo

È satanasso

21

21 09

LIBRI "

"

TEORIA CACCIARSI

casali GEOMETRIA

Grasselli

: ,

, "

" PROVE

ESERCIZI ESAME ED

CATIABRICA D'

MULAZZI GEOMETRIA ACCEBRA

RISOLTE DI

: ,

NOTAZIONI NUMERICI

INSIEMI

: }

µ { n at u rali

NUMERI

}

1,2

= 0 .

.

.

,

,

,

{ }

✗ 0,1=1,1--2 INTERI

NUMERI

= .

. .

,

{

④ }

2,9=10

Fa Razionali

NUMERI

= P.ge

☒ REALI

NUMERI

= } ME

{

E e

ED

k£0

ai-iba.be/B,i2= E

-1

= , ,

/ µ I ✗

④

= NUMERABILE

= = INFINITO

o

[ ME Z

CORRISPONDENZA TRA

BIUNIVOCA

s . { PARI

"

K n

se

-

MI

0

> >

O I DISPARI

1)

( se n

n -

11 1 z

> -1

21 >

31 > 2

41 -2

>

SI 3

> ✗

☒ ¢ ✗ ✗

NON

= NUMERABILE >

= INFINITO

1 e o

DEF Strutture ALCEBR CHE

/

. Insieme PIÙ

) OPERAZIONI

DEFINITE BINARIE

( NUMERICO in sono una

cui 0

DEF ✗

Sia O

=/ insieme

un

. ✗

Si X

✗ ✗

operazione BINARIA cauawucl.ve FUNZIONE #

Tipo >

su del

dice ✗

: b

Kb /

) a #

>

Es 14740,113 e

1) + in

.

. ,

, INSIEMI

INTERSEZIONE

UNIONE

2) DI

ED

COMPOSIZIONE

3) FUNZIONI

DI

PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI ✗

Sia IN

OPERAZIONE

* UNA ¥9,3 ✗

b b

b)

1) c)

' se

Allora associativa la ce

( #

a#

DIRA

si a # #

#

* c c

* = =

,

fa ✗

be

b

b

'

DIRA

2) si a

commutativa #

se

ALLORA * #

a = ,

associative

USATE nel

1) OPERAZIONI

055 Tutte sono

LE corso

. ' associativa

COMPOSIZIONE NON commutativa

MA

E

2) FUNZIONI

DI

LA Fae

Il t.ci ✗

✗ e

3) #

e

ELEMENTO

ammette a

* neutro C-

dice

si a

#

che se =

a =

.

Id ' COMPOSIZIONE

ELEMENTO DI

l '

055 NEUTRO FUNZIONI

della

e

.

( ✗

Se '

neutro unico

Emma ammette elemento esso e

Siano

Dim ' NEUTR

e

e *

si

es '

el

. .

Allora e-

' '

'

'

'

'

' e

=L e

neutro e

e

le e

poiche

PERCHE

e neutro

e

# #

HA ed =

si

Da '

e

e =

cui

4) ELEMENTI INVERTIBILI ✗

Sia ✗

OPERAZIONE le

BINARIA SU neutro

* UNA el

con . ] ✗

UN t.c.cl

✗ '

' ' inverso

' '

e detto di

cl

INVERTIBILE se e

Rispetto a

e

ELEMENTO a nel

#

DICE a caso

# = e

*

de a

a =

a

si A

FUNZIONI su

>

& ) SURIETIIVE

FUNZIONI

in ETIIVE

055 INVERTIBILI IN

ED BIETIIVE

le

sono /

o

. ,

PROP ✗

Sia e

ELEMENTO

su

associativa NEUTRO

UNA OPERAZIONE

* CON

. ALLORA ^

✗ a-

'

E-

e- ' PONIAMO

INVERTIBILE inverso

SE UNICO

suo

IL a

ci a

c- =

INOLTRE b '

^

b) '

'

b b-

a-

_

anch'

se INVERTIBILI

e HA

e

sono esso

ci invertibile #

(

a =

allora si #

# e a

Ass .

¥

" '

b-

E

b- b

Dire b b b-

'

' a- e

a- a#

* * e

a

* #

*

* =

=

.

Def Strutture operazione

una

con

. ✗ ✗

* OPERAZIONE

# su

, ,

Essa si dice :

1) '

se

SEMICRUPPO * e associativa

2) '

monoide associativa

se ed Neutro

esiste

* EC

e . È

'

37 esiste INVERTIBILE

Gruppo ' neutro

EL

se associativa elemento

* ogni

ed

l

e .

, È '

'

>

< INVERTIBILE

ELEMENTO

esiste

Gruppo se associativa neutro commutativa

OGNI * e

e

*

abeliano e , ,

µ

Es )

( è

+ commutativo

monoide

un

. ,

Z

( ) ' ABELIANO

+ crvppo

e un

, B

(Q ( ) (E) )

) ABEUANI

Crupp

+ /

+

+ sono

, ,

> ,

µ

( ) È DE commutativo

nuovo

un /

.

,

Z )

( È commutativo

monoide

un

.

, là

Q {

( (B)

IB )

(E) {

) ( }

) elfo

)

} } ABEUAN '

crepa

o sono

ma

sono commutatori

m o ro s i o

. -

.

. .

, > . ,

, , ,

, ,

3- (A) È commutativo

non

se

u ovo

o un /

, fe (

}

Bla { )

f-

Ila Bla

È )

) ) è un Gruppo

inver tir ne Amora

se °

= -

Def Strutture OPERAZIONI

DUE

CON

. ✗ ✗

# # operazioni

# # su

con

,

, ,

Si anello se

dice

1) :

(

X '

) e

neutro

a) ABEUANO

e Corippo elemento

# con

,

b) ' associativa

* e PROPRIETÀ

b)

b ( b) *

distributive

b) ¢ Rispetto

a) #

(

C) a

E

* # #

che #

C #

* di

vale Ci #

#

C c

# a

# a C

c =

=

UN e- commutativa

se

commutativo *

dice

anello anche

2) si

Un =/ e

esiste

unitario

3> per

NEUTRO

se

dice *

Il µ

anello si

PROP A

Sia e

elemento

# n e u t ro

con

anello

# un

,

. ,

Allora e

e

e # a

=

a # =

Quindi È Rispetto

ammetta

e inverso a *

che

impossibile

Dire ( e) « e) La

e * e)

#

# #

a

e #

#

a =

=

, Sia #

l ' Allora

a Rispetto

a

# e # e

inverso a

si

- C- @ e)

e)

e) e

e)

(

#

( e)

(

e) #

#

e *

# a

# e

# a #

#

a

a

a =

# #

a =

= = -

UN

4) ) ' #

Rispetto

anello INVERTIBILE a

#

UNITARIO rispetto

da

commutativo dice neutro

Elemento a

CAMPO SE e e

diverso

OCNI

si

µ

Es È

NON un anello

+ .

, ,

. 7L È an e llo UNITARIO

un

+ comm

.

, , .

✓ ☒ È comm

anello

un UNITARIO

NON

INTERI + . .

, ,

PARI ④ ) È CAMPO Razionale

CAMPO

+ un

.

,

,

M

( ) è un CAMPO REALE

+ CAMPO

.

, ,

€ È CAMPO CAMPO complesso

+ un

.

, ,

22 È CAMPO

t UN

.

, ,

21

2309

NEL / K

SEGUITO INDICHEREMO UN CAMPO SIMBOLO

del CORSO GENERICO CON IL

Def n PLE

-

. { }

" lkxlknfj.ge/lV---

IK

Si pla 1K IK

(

coefficienti >

campo ) a

'

cemento insieme

dell

nzt c-

a =

un

in

n Un

dice ai

con of

e

0cm

- , >

. .

.

, . , , COEFFICIENTI

COMPONENTI '

DELL n

O PCA

-

" "

" "

1K

IK b

Somma 1K

/ K Gtb br bn

bi aztbz

( bz (

bn

con )

)

+ Un

) ch'

an

Oz

a

✗ =

an

su : = +

> =

: - ,

,

.

, .

. . , .

.

, ,

, . .

, . ,

,

,

e

u

, atb

b i >

a- |

?

"

" "

" " "

+ "

+ "

" ° "

" "

( IK )

' ' ABEUANO

commutativa GRUPPO

UN

2) t

e e

+ ,

]

3) Elemento n e u t ro "

IK '

G) ELEMENTO INVERTIBILE Rispetto

OCN / +

di a

e

Prodotto " "

IK

IK

IK (

( )

>

× a

scalare Ge aah

Cla

per a.

an

con ora

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: es a

: cena

• .

.

,

, .

, . _

.

. ,

,

capa È

) .ci

>

i

PROPRIETA fa "

IK

1)

' 1- a a e

: = fa "

IK Fae IK

4.13

( a)

p )

2) pe

a. = ci

- . , , fa

fa "

IK

IK

Ktp

3) c-

c-

= p

) da pa

a +

. , ,

fa

Fa "

IK

be

IK

xD

>

axb

(

a) + e

a a.

= a

- ,

,

POLINOMI /

K

t CAMPO

COEFFICIENTI NEL

DETERMINATA A

' /

nell "n

pit tant

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con ao

= un c-

a. an

+ .

. .

. , .

. ,

,

^ ^

^ COEFFICIENTI GRADO di P

"

DEF IK

( Ikct

t ]

POLINOMI

insieme COEFFICIENTI

tutti CON

INDICA

VARIABILE in

di si

i A

con

. IK lkct

IK (t ] ]

]

E (

SOMMA POLINOMI t

Prodotti USUALE

MANIERA

✗

di NELLA

DEFINITE

>

+

: :

-

,

?

1K¢

Cos' lkct pit

' ] )

'

>

1

e ] gruppo ELEMENTO

ABEUANO

+ neutro

e

+ un o

-

. -

, ,

, #

'

2) associativo 1

e commutativo elemento n e u t ro p =

- con

,

,

3) PROPRIETÀ

VALGONO DISTRIBUTIVE

LE

Quindi ( kit ) '

) anello unitario

commutativo

+ e un

-

,

, ?

È '

No

campo PERCHE sono invertibili Prodotto

non polinomi Rispetto

un tra Polinomi

al

i

tutti

, Ikxlkct aut "

tt aant "

1K¢ avait

] )

(

] da

SCALARE

prodotto > DEFINITO nota

PER a. +

+ cio

✗

: =

: +

+

• , . .

. . .

.

Edt xpit

)

) i >

✗

PROPRIETA Fp Kct

' ]

1. =p

> e

i p

: fa tpit

pelk kct

pit

pit )

) )

) ]

(

p

2) ( a . )

p

a. e

=

- - , ,

apt-li-ppl-IV-x.pe/K,-VpI-)-cIKct

pit

) ]

(

3) )

atp =

- tpit

taek lkct

aplt agiti

( qit

pititqit ]

) )

) )

4) ) e

a. +

= , ,

Matrici

Def IK )

( coefficienti campo

un

in

a

. ?^Ì[Ì"-

RICHE } /

IK

m' A

SI in MP 21

DI

MATRICE M

COEFFICIENTI MPO

del

accetto

un

A

TPO

dice n =

✗ CHE n

R'

" . ,

^ ama

am

COLONNE . .

, .

IK tra

Frisiani jam

a i e

; , ,

, Mmxntk

' )

/

K

L di coefficienti

insieme INDICA

le

tutte matrice in →

tipo a

min

di (

Per )

M K (

INSEME

DELL'

TERMINI GENERICI

una

indicare a simbolo ;)

matrice usa

si a i

il i

mxn <

, < in

, cjcn

1

Se Quadrata

MATRICE ordine n

dice

si

n di

LA

in = IK

Mulk

Si ) COEFFICIENIT

QUADRATE

INDICARE le

insieme tutte a

di

scrive ordine

l' matrici

per IN

di n

vettore

>

'

a

A- "

A IK

Mmxntk ) A

'

'

i.am "

e a E si

= a RICHE

con a , . ,

.

.

, "

IK

A A

an di

an C- colonne

da Un

= da

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con . .

.

. . .

, , ,

MATRICE

DEF TRASPOSTA

. Mmxnllk

a

sia )

c- +

A

TA

SI A tttnxmlk

) ( A

;)

TRASPOSTA di

DEFINISCE Oji

di COEFFICIENTE

matrice DOVE DELLA

DEFINITA MATRICE

dij

=

da

e

la =

io

« , ,

jam

→ < tot id +

f) t ta

(

Es ( nxmtk

)

IB ( '

Max a

)

M

IK

htmxn

>

= )

^ cioè

Quanto

Bietiva

una Funzione

e in

> =

trasposta

e

= =

quindi la :

>

656

. ,

, ,

?

§

ta M 21113 )

E

= > ✗ À Mulk

a )

c-

se nun

Oss ,

. ¥1

Una

Det A

TA

(

A IK

Mn ) ( jcn

SIMMETRICA

e c i

SE

matrice E

dice simmetrica ;) E

se Cecina solo

a i

si se aji

= ai ; =

jcn

. i . >

, <

SNCIK

L' Hulk

) )

E

SIMMETRICHE con

DELLE MATRICI ORDINE indica

DI

insieme n si faciem tcjcn

D= D=

A-

Somma Mmm 4K A-

(

Mmm bis

( )

IK) )

IK) (

M ( bi

+ (

;)

a i ;)

> c i +

ai

=

✗

matrice =

ci; ;

di ;

mxn

+ : con

: ,

. .

. .

. .

.

. .

I ①

A +13

( A-

B) >

i

, |

?

" ""

" " "

" "

+ " "

+

" "

" " mmxnllk ) e-

' awppo

un

+ arenano

commutativa

2) -

e ,

O

0 .

. . È

] i

3) Omxn =

N e u t ro 0 .

.

.

G) rispetto

MATRICE

'

OCN ammette alla

inversa somma (

21

2809

Prodotto ✓

di

IKX Mmn A dì

Mk)

Mmxnflk ) A ;)

( Eien

> fai

SCALARE

PER 1 1

;)

: i a.

= ;

con ;

a.

= ai En

=

icm

«

« ,

m ,

< ,

, IEJIN

III In

(a) a) A

>

i a.

PROPRIETA FA mm.in/K

A

A )

' 1

→ e

=

: . V-a.pe/K,-VA-cMmxn4KI

A) A

(

( p )

p

> a.

a a .

=

- .

ftp.AV-qpc-lks-VA-cmmxnlk

A )

(atp )

3) a.

=

- Fare fa Minnick

/ K

B

A-

A- B

B) )

io (

a e

a. + a

=

- ,

,

Prop Siano A aelk

Mmxntk

Be ) es

. ,

Allora : +43

ÌA ta

B)

1) + =

- ata

(

' a) =

a.

Prodotto "

/K vettori

prodotto di due

scalare CHE

st a n d a rd :

in " "

IK "

IK IK

IK b bn

( be

) e

DEFINITO Ge an ( >

da

da

✗

: > a-

• =

. . .

, , . .

, . ,

,

ce È

debe

b anbn

b

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ca I +

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> =

• =

• . .

.

, ,

Prodotto "

? B bn

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MATRICI RICHE PER colonne

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= .

.

.

am

( B

A A B

" '

E LE

RICHE PER TANTE

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QUANTO di

di LUNCHE colonne di

le

cui DI

sono RICHE

sono CE

,

A- D= Munk

Mmxhllk

) )

c-

A. Be Mmxntk) Mmxn Hsien

ai

AB

mmxhdktxmh.nl/K bj

4K) ti

) ciò

(

> ;) =

= c i En

; ;

£ ,

%

Es A- B Maxim

msn.IR )

f-

III

e e

=

. A B.

B (B) A

M esiste

non

e

- <

> ✗

3

} 69

A. B = 51219

7 18

11 29

7-

Prop Siano A- Mmxhtk Mhxntk

Be

) )

e

. ,

Allora TA TA

= .

. Proprieta Fae tce Mnxstk

B Be

A. thmxhlik

A

C ) 4K

B. mh

' C ) associativa

>

i =

: - . # ,

,

fa FC hsnxhtk

B) Be 4K)

B.

A. mm.in

( )

c

C

2) e

+ +

=

- , ,

( B)

A-

C. A

C. C B distributive

+

+ = - FBE

Fae fa

B) IK

a. Munck

( G.

A) Mmxntk

-13

A. (

B) ) )

3) e

a. a .

= = , ,

ti

DEF AE ntk

Una M ) j

aij

se o

dice

matrice =

diaconale =/

si

. "

(

di;) )1< isjcn

" 0

A ora d' an

41

= = og

' .

.

.

,

0 ,

. . × , PRINCIPALE

> DIACONALE

^

Es 00

A diag M ) '

(1,0

000 ) e

-2 diaconale

e

= = }

. ,

-2

00

DEF In sei

d' I

Si {

In

' si

( si

IDENTITA matrice

DEFINISCE ;)

di

MATRICE ordine n = °

la 09 ;

= = j

sei

ien

. , #

,

Prop A-

Sia mmxntk

)

e

. Im

A.

ancora A

In A

-

= - -

IN AE Mulk A. In

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A a

allora

PARTICOLARE se = -

=

MNXMCIK

A Be

( ) A.

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M B AB

Mmtk

IK a

B.

Mntk

) )

e =/

se mentre Ha

si

#

e

Amora in

se

anno

mxn

oss n

,

. , ,

I }}

Es [

A- %

(

Max B M (B)

B )

e e

= =

> >