Geometria e Algebra

GEOMETRIA

GLI INSIEMI

Con operazione interna di un insieme si intende una legge che ad ogni coppia di elementi di un insieme associa un elemento che appartiene ancora allo stesso insieme.

_IN numeri naturali ^{le operazioni interne sono la somma e il prodotto:}

(IN, +)

• prop. commutativa ∀ a, b ∈ IN a + b = b + a
• prop. associativa ∀ a, b, c ∈ IN (a + b) + c = a + (b + c)
• prop. dello zero ∃ elemento neutro rispetto alla somma. a + 0 = a

(IN, .)

• prop. commutativa ∀ a, b ∈ IN a . b = b . a
• prop. associativa ∀ a, b, c ∈ IN (a . b) . c = a . (b . c)
• prop. dell'uno ∃ elemento neutro rispetto al prodotto a . 1 = a
• gode della prop. distributiva ovvero (a + b) . c = ac + bc

_Z numeri interi relativi

È un'estensione di IN quindi anche Z gode delle stesse proprietà con l'aggiunta di una nuova proprietà per la somma.

• prop. dell'opposto ∀ a ∈ Z ∃ a' ∈ Z a + a' = 0 a' = - a

_Q numeri razionali

È un'estensione di Z quindi valgono tutte le sue proprietà (compreso l'opposto) con l'aggiunta di una nuova proprietà per il prodotto.

• prop. dell'inverso ∀ q ∈ Q ∃ q' ∈ Q q . q' = 1 q' = 1 / q

In quanto Q gode di tutte e 8 le proprietà e anche della distributività esso è un campo e permette di risolvere le equazioni di primo grado.

_{(Q, +, .)}

Visto che Q, però, non risolve tutti i tipi di equazioni è necessario introdurre l'insieme _IR numeri reali. Gode di tutte le proprietà quindi è anche questo insieme un campo. (Per completezza esiste anche il campo dei numeri complessi.)

GEOMETRIA

GLI INSIEMI

Con operazione interna di un insieme si intende una legge che ad ogni coppia di elementi di un insieme associa un elemento che appartiene ancora allo stesso insieme.

_IN numeri naturali: le operazioni interne sono la somma e il prodotto.

• prop. commutativa ∀ a,b ∈ IN a+b = b+a
• prop. associativa ∀ a,b,c ∈ IN (a+b) + c = a + (b+c)
• prop. dello zero ∃ elemento neutro rispetto alla somma. a+0 = a

• prop. commutativa ∀ a,b ∈ IN a.b = b.a
• prop. associativa ∀ a,b,c ∈ IN (a.b).c = a.(b.c)
• prop. dell’uno ∃ elemento neutro rispetto al prodotto a.1 = a

(IN,₊,.) gode della prop. distributiva ovvero (a+b).c = ac+bc

_Z numeri interi relativi: è un’estensione di IN quindi anche Z gode delle stesse proprietà con l’aggiunta di una nuova proprietà per la somma.

• prop. dell’opposto ∀ a ∈ Z ∃ a' ∈ Z a+a' = O a' = - a

_Q numeri razionali: è un’estensione di Z quindi valgono tutte le sue proprietà (comprese l’opposto) con l’aggiunta di una nuova proprietà per il prodotto.

• prop. dell’inverso ∀ q ∈ Q q ≠ O ∃ q' ∈ Q q.q' = 1 q' = 1/q

In quanto ⊂ Q gode di tutte e ⊂ le proprietà e anche della distributiva esso è un campo e permette di risolvere le equazioni di primo grado.

Visto che Q, però, non risolve tutti i tipi di equazioni è necessario introdurre l’insieme _IR numeri reali. Gode di tutte le proprietà quindi è anche questo insieme un campo. (per completezza esiste anche il campo dei numeri complessi)

I vettori

Def. Un vettore applicato in O è un segmento orientato v con un primo estremo in O e se P è il punto finale, v =

In pratica un vettore è una grandezza che non è possibile esprimere con un solo numero reale. L'insieme dei vettori applicati in O si indica con E³.

Ogni vettore è definito da tre cose:

• direzione ovvero la retta che passa per O e per P
• verso, e la semiretta che indica il verso di percorrenza
• modulo, e la lunghezza del segmento e si indica con |v|

Nel caso P coincida con O, il vettore è nullo e quindi non ha né modulo, né verso, né direzione. Nel caso invece due vettori abbiano la stessa direzione, lo stesso verso e modulo, essi coincidono.

Siano e due vettori applicati in O e la loro somma è il vettore . Tramite la regola del parallelogramma se O, A e B sono come elementi della C è il quarto vertice del parallelogramma che definisce i tre punti.

| | = | | + | |

La somma di vettori gode di tutte le proprietà della somma: commutativa, associativa, elemento neutro (zero) e opposto. Vediamo anche le proprietà del prodotto per un numero ∈ |. Per base:

• ∀α ∈ |, ∀v ∈ E³, α⦁v :=
  • se α < 0
  • se v = 0
  • se α, v ≠ 0
• |α|⦁ |v| = |α⦁v|

Riferimenti cartesiani

Fissato un vettore non nullo ∈ E³, lo è l'insieme di tut