Geometria e Algebra

GEOMETRIA

GLI INSIEMI

Con operazione interna di un insieme si intende una legge che ad ogni coppia di elementi di un insieme associa un elemento che appartiene ancora allo stesso insieme.

• IN numeri naturali: le operazioni interne sono la somma e il prodotto:

• (IN, +):
  • prop. commutativa ∀ a, b ∈ IN a + b = b + a
  • prop. associativa ∀ a, b, c ∈ IN (a + b) + c = a + (b + c)
  • prop. dello zero ∃ elemento neutro rispetto alla somma: a + 0 = a
• (IN, .):
  • prop. commutativa ∀ a, b ∈ IN a . b = b . a
  • prop. associativa ∀ a, b, c ∈ IN (a . b) . c = a . (b . c)
  • prop. dell'uno ∃ elemento neutro rispetto al prodotto: a . 1 = a
• (IN, +, .) gode della prop. distributiva ovvero (a + b) . c = ac + bc

• Z numeri interi relativi:

È un'estensione di IN quindi anche Z gode delle stesse proprietà con l'aggiunta di una nuova proprietà per la somma.

• prop. dell'opposto ∀ a ∈ Z ∃ a' ∈ Z a + a' = 0 a' = -a

• Q numeri razionali:

È un'estensione di Z quindi valgono tutte le sue proprietà (compreso il opposto) con l'aggiunta di una nuova proprietà per il prodotto.

• prop. dell'inverso ∀ q ∈ Q q ≠ 0 ∃ q' ∈ Q q . q' = 1 q' = 1/q

In quanto Q gode di tutte e 8 le proprietà e anche della distributiva, esso è un campo e permette di risolvere le equazioni di primo grado.

Visto che Q, però, non risolve tutti i tipi di equazioni, è necessario introdurre l'insieme IR numeri reali. Gode di tutte le proprietà quindi è anche questo insieme un campo. (Per completezza esiste anche il campo dei numeri complessi.)

I VETTORI

DEF. Un vettore applicato in O è un segmento orientato \(\overrightarrow{v}\) con un primo estremo in O e se P è il punto finale. \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OP}\).

In pratica un vettore è una grandezza che non è possibile esprimere con un solo numero reale. L'insieme di vettori applicati in O si indica con \(E^3_O\).

Ogni vettore è definito da tre cose:

• direzione: ovvero la retta che passa per O e per P;
• verso: è la semiretta che indica il verso di percorrenza;
• modulo: è la lunghezza del segmento e si indica con \(|\overrightarrow{v}|\).

Nel caso P coincida con O, il vettore è nullo e quindi non ha né modulo, né verso, né direzione. Nel caso invece due vettori abbiano la stessa direzione, lo stesso verso e modulo, essi coincidono.

Siamo \(\overrightarrow{OA}\) e \(\overrightarrow{OB}\) due vettori applicati in O, la loro somma è il vettore \(\overrightarrow{OC}\). Tramite la regola del parallelogramma se O, A e B non sono allineati allora C è il quarto vertice del parallelogramma che congiunge i tre punti.

\(|\overrightarrow{OC}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2\)

La somma di vettori gode di tutte le proprietà della somma: commutativa, associativa, dell'elemento neutro e opposto. Vediamo anche le proprietà del prodotto per un numero \(\alpha \in \mathbb{R}\). Prese base: \(\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall \overrightarrow{v} \in E^3_O\), \(\alpha \cdot \overrightarrow{v} =\)

• O se \(\alpha = 0\)
• O se \(\overrightarrow{v} = O\)
• \(\alpha \cdot |\overrightarrow{v}|\) se \(\alpha, \overrightarrow{v} \neq 0\)

RIFERIMENTI CARTESIANI

Fissato un vettore non nullo \(\overrightarrow{v} \in E^3_O\) lo span (\(\overrightarrow{v}\)) è l'insieme di tutti i vettori applicati che si ottengono moltiplicando \(\overrightarrow{v}\) per un numero reale: (\(\overrightarrow{v}\)) = \{\(\overrightarrow{v} \in E^3_O\); \(\overrightarrow{v} = \alpha \overrightarrow{u}, \alpha \in \mathbb{R}\)\}.

Possiamo definire lo span quindi come la retta per l'origine individuata dove vetture \(\overrightarrow{u}\). Per comodità molte volte non viene usato un vettore ma un versore, cioè un vettore con modulo = 1.

DEF. Due vettori \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \in E^3_O\) sono detti:

• Linearmente indipendenti se \(\overrightarrow{v} \notin \text{span} (\overrightarrow{u})\)
• Linearmente dipendenti se \(\overrightarrow{v} \in \text{span} (\overrightarrow{u})\)

Il prodotto scalare può essere usato per calcolare la distanza tra due punti:

Piani e Rette (cartesiane)

La normale: dato un piano _Π, la normale al piano è la retta perpendicolare ad esso che passa per 0.

Piano contenente l’origine:

Definita la retta normale n = ^a/_b/_c e il punto p ^x/_y/_z

_Π0=aX+bY+cZ=0

Piano non contenente l'origine: è necessario disegnare il piano parallelo a _Π che contenga l'origine:

_Π = aX + bY + cZ = d

d è un numero reale che si trova sostituendo le coordinate della normale nel punto nell’equazione.

Ovviamente esistono infinite equazioni del piano perché esistono infinite rette normali.

Per vedere se un punto A appartiene al piano basta sostituire le sue coordinate al posto di x, y e z e controllare se soddisfano l’equazione.

Passaggio di equazioni

Da cartesiana a parametrica:

• fisso due parametri ^α e ^β a due delle coordinate del piano
• trovo la terza coordinata di consequenza
• trovo così le tra equazioni parametriche: i due vettori che le generano
• α
• le due coordinate di β e quello di β

Da parametrica a cartesiana: metodo di eliminazione dei parametri:

• si ricavano ^α e ^β da due delle equazioni
• si sostituiscono i parametri nell’altra equazione rimasta
• svolgendo i calcoli si troverà l'equazione cartesiana del piano

Unione: in generale non è un sottospazio. Si può considerare però la somma dei due vettori dove esiste un unico piano Z tale che contiene:

Z = {υ + ω | υ ∈ U e ω ∈ W}

Il piano contiene la somma che è possibile però scomporre in due vettori uno lungo U e uno lungo W.

Se U, W sono sottospazi di V allora anche U + W è sottospazio di V:

• U e W sono entrambi contenuti nel sottospazio somma.
• Se U = W sottospazio vettoriale allora U + U = U
• Se U ∩ W allora U + W = W

{υ₁ + υ₂ + ... + υ_k = {υ₁ + υ₂ + ... + υ_k | i ∈ U_i}}

Spazi Finitamente Generati

Sottospazio generato da un insieme di vettori. Come un vettore definisce una retta e due vettori un piano, è possibile farlo anche con più vettori. Ad esempio, fissato un piano U + V ed una retta non contenuta in esso in ogni vettore può essere scomposto in un vettore su U + V e un vettore lungo W, quindi V = λU + μV + ν W (Ogni singolo vettore v è scomposto con una tripla di numeri in modo tale che essi sono disegnabili per i vettori, diciamo "le coordinate": v = (λ,μ,ν)) rispetto alla base (υ,ω,w).

Definizione

DEF Sia V uno spazio vettoriale. Dato k vettori _V, una combinazione lineare di υ₁, υ_k è una somma del tipo:

λ₁υ₁ + ... + λ_kυ_k

Due combinazioni lineari si dicono uguali se i rispettivi coefficienti sono a due a due uguali.

Definizione

DEF Sia V uno spazio vettoriale. Data una lista di vettori {υ₁,...υ_k} lo span di tale lista è l'insieme di tutti i vettori di V che si ottengono come combinazione lineare di υ₁,...υ_k

span (υ₁,...υ_k) = {λ₁υ₁ + ... + λ_kυ_k | λ_i ∈ ℝ}

Un vettore v appartiene a span (υ₁,...υ_k) se esistono λ_i che permettono di scriverlo come combinazione lineare.

span (υ₁,...υ_k) = span (υ₁) + ... + span (υ_k)

Esso è un sottospazio vettoriale di V.