Analisi I e Geometria (seconda parte)

Analisi

Insiemi e punti

Concetti fondamentali

Insiemi

Intorno sferico (definizione)

⃗⃗⃗⃗

> 0, ⃗⃗⃗⃗

(

⃗⃗⃗⃗ )

Dato un elemento e fissato si dice intorno sferico di l’insieme così definito:

0 0 0

( ) | |

⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗

≔ { ∈ ℝ − < }

|

Insieme aperto/chiuso (definizione)

⊂ ℝ

Data la definizione di intorno sferico, un insieme è:

- aperto, se: ⃗ ⃗⃗⃗⃗

∀ ∈ ∃ > | ( ) ⊂

- chiuso, se:

complementare è aperto

Intorno (definizione) ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

( ) > .

Un intorno di è un insieme aperto che contiene per un opportuno

0

Punti

Punto interno/esterno/di frontiera (definizione)

⊂ ℝ ⃗⃗⃗⃗

∈ . ⃗⃗⃗⃗

Sia e Dico che è:

0 0

,

- interno ad se: ⃗⃗⃗⃗

∃ > | ( ) ⊂

,

- esterno ad se:

⃗⃗⃗⃗

è interno a

,

- di frontiera per se non è interno né esterno, cioè se:

⃗⃗⃗⃗

∀ > , ( )

contiene sia punti di sia punti di

Punto di accumulazione (definizione)

⊂ ℝ ⃗⃗⃗⃗

∈ ℝ ⃗⃗⃗⃗

Sia e . Dico che è un punto di accumulazione di se:

0 0 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

∀ > , ( )

contiene un punto di diverso da

Proprietà elementari

Proprietà I

ℱ

Se è una famiglia di insiemi aperti, allora: è aperta.

⋃ ∈

ℱ

Se inoltre è finita: è aperta.

⋂ ∈

Proprietà II

ℱ

Se è una famiglia di insiemi chiusi, allora: è chiusa.

⋂ ∈

ℱ

Se inoltre è finita: è chiusa.

⋃ ∈

Dimostrazione I

∈ ∃ ∈ ℱ| ∈ . ∃ > 0| ( ) ⊂ . ( ) ⊂

Sia . Quindi Ma è aperto: quindi Quindi ,

⋃ ⋃

∈ℱ ∈ℱ

e quindi è aperta.

⋃ ∈ℱ

∈ ∩ . , ∃ , | ( ) ⊂ , ( ) ⊂ . = min⁡( , ),

Sia Essendo aperti, Posto per costruzione

1 2 1 2

1 2

( ) ⊂ ∩ .

si ha che

Teorema dell’insieme chiuso

⊂ ℝ

Sia con tali condizioni:

1. è chiuso.

≔ { ∈ ℝ | }, ⊂ .

2. Posto è di frontiera per si ha che

.

3. Ogni punto di accumulazione di appartiene ad

Queste tre condizioni sono equivalenti.

Teoremi fondamentali

Insieme limitato (definizione)

⃗⃗⃗⃗

⊂ ℝ ∃ > 0, ⃗⃗⃗⃗

∈ ℝ | ⊂ ( ).

Sia . Si dice che è limitato se 0

∗

Teorema di Bolzano – Weirstrass

Enunciato

⊂ ℝ

Sia limitato e infinito. Allora ammette almeno un punto di accumulazione.

⊂ ℝ

Hp. limitato e infinito

ammette almeno un punto di accumulazione

Ts.

Dimostrazione 2 [,

ℝ ] × [, ]. [, ]

Per semplicità, consideriamo . Esiste un rettangolo Dividiamo in due parti uguali, e

[, ].

similmente Il rettangolo è così diviso in quattro sotto – rettangoli, almeno uno dei quali contiene

] [ ]}

= {[ , × ,

infiniti punti di (poiché è infinito e limitato). Sia un tale rettangolo. Ripetendo

1 1 1 1 1 1

{[ ] [ ]}. (

= , × , , − = − ), −

la procedura, trovo contiene infiniti punti di e

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

1

= ( − ). Iterando il procedimento, trovo rettangoli:

2 4 ] [ ]}

= {[ , × ,

tali che contiene infiniti punti di e:

− = ( − )

− = ( − )

≥ ℎ ≥ ,

Si ha in particolare che, se e vale che:

≤ < ≤

ℎ

≔ { , … }, . ∀:

e quindi, posto è un maggiorante di Dunque,

1 sup ≤

≔ { , … }, sup .

Posto cioè implica che è un minorante di Dunque:

1 sup ≤ inf

inf − sup ≥ 0 −

≤ − ≤ − =

= . ⃗⃗⃗⃗

Ciò implica che Chiamo tale valore.

1 , ≔ { , … } ≔ { , … }, sup = inf .

Procedendo allo stesso modo sulla variabile posto e vale che

1 1

⃗⃗⃗⃗

Chiamo tale valore e pongo:

2 ⃗

≔ ( , )

per costruzione, si ha che il punto: ⋂[ ]

⃗

= , × [ , ]

> 0 ( ). ∃| ( ).

Sia ora e consideriamo Per costruzione è contenuto in Ma in vi sono infiniti

⃗

, ( ). .

punti di dunque lo stesso vale per Questo significa che è un punto di accumulazione di

Copertura e insieme compatto

⊂ ℝ

Sia .

Copertura (definizione) ℱ

Dico che una famiglia di insiemi aperti è una copertura di se:

⋃ ⊃

∈

Insieme compatto (definizione)

Dico che è un insieme compatto se da ogni copertura è possibile estrarre una sottocopertura finita.

∗

Teorema di Heine – Borel

Enunciato

⊂ ℝ

Sia . è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Hp. ⊂ ℝ ⟺

compatto chiuso e limitato

Ts.

Dimostrazione 2

ℝ

Per semplicità, consideriamo .

1. Mostro che è limitato.

⃗

= { ∈ ℕ} ℝ .

( ),

La famiglia è una copertura di , dunque anche di Essendo compatto, esiste una

⃗ ⃗

… , (0 ).

(0 ),

sottocopertura finita Dunque è contenuto nella palla di raggio massimo fra queste,

1

ed è limitato.

2. Mostro che è chiuso.

⃗ ⃗

∈ ∈ . ∩ = ∅.

Sia finito, e Costruisco un intorno di e un intorno di , tali che

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

ℱ ≔ { , ∈ } .

La famiglia è una copertura di Essendo compatto, posso estrarre una sottocopertura

⃗

, … ,

finita .

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ∩ … ∩ ∩ = ∅ ∀, ∩ = ∅.

Sia . Quindi, essendo si ha che Questo implica che,

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

essendo per costruzione un intorno di , esiste un intorno di contenuto in . Ciò significa che è

aperto, e cioè che è chiuso.

3. Mostro che, se è chiuso e limitato, è compatto. [,

= ] × [, ]

Supponiamo chiuso e limitato. Mostro in primo luogo che ogni rettangolo è compatto.

ℱ

Per assurdo suppongo che vi sia una copertura dalla quale non si possa estrarre una sottocopertura

finita. Come nel teorema di Bolzano – Weirstrass, posso allora costruire una successione di rettangoli

tale che:

⊂

a. −

)

( = ([ − ] × [ − ])

b.

.

c. Non esiste alcuna sottocopertura finita di estratta da

.

Sappiamo che è un punto, diciamo : tale punto appartiene ad Ma allora:

⋂ ⃗

∃ ∈ | ∈

⃗

> 0| ( ) ⊂ . ⊂ (

) ⊂ ∈ .

Sia Allora se è abbastanza grande. Quindi Ciò è assurdo, in

quanto contraddice il terzo punto (c). ⊂ ,

Mostro ora che ogni sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è compatto. Sia con chiuso ed

ℱ .

compatto. Sia una copertura di Allora:

∪

. , … , , . , … ,

è una copertura di Essendo compatto, esiste una sottocopertura di Allora è

1

.

una sottocopertura finita di estratta da Dunque è compatto.

Limite

Proprietà definitiva (definizione) → ( )

Dico che una proprietà vale definitivamente per se esiste un intorno tale che la proprietà

∀ ∈ ( ).

valga

Limite

Limite (definizione)

: → ℝ ℝ).

Sia ( sottoinsieme di Dico che il:

() =

→

() ( )

se per ogni intorno esiste un intorno tale che:

() ∈ ∀ ∈ ∩ , ≠

, ∈ ℝ ∪ {±∞}.

ponendo 0

±∞

Intorno di ±∞ [, +∞) (−∞, ].

Un intorno di è ogni intervallo del tipo o

Limiti possibili

Limite finito al finito (

, ∈ ℝ, ( − , + ), − , + ), , > 0.

Se gli intorno sferici sono intervalli di tipo con

0 0 0

() =

→

significa: (

∀ > ∃ > | − ≤ () ≤ + ∀ ∈ − , + ) ∩ , ≠

con punto di accumulazione.

0

Limite infinito al finito

∈ ℝ = ±∞, [, +∞) (−∞, ].

Se e gli intorni di sono gli intervalli di tipo o

0 () = +∞

→

significa: (

∀ ∃ > |() ≥ ∈ − , + ) ∩ , ≠

se

=

In questo caso la retta è detta asintoto verticale.

Limite finito all’infinito

= ±∞ ∈ ℝ, ( − , + ).

Se e gli intorni di sono intervalli di tipo

0 () =

→+∞

significa: ∀ > ∃ ∈ ℝ| − ≤ () ≤ + ∀ ∈ [, +∞) ∩

=

In questo caso la retta è detta asintoto orizzontale.

Limite infinito all’infinito

= ±∞ = ±∞,

Se e gli intorni sono semirette.

0 () = +∞

→+∞

significa: ∀ ∃|() ≥ ≥ , ∈

se

Proprietà elementari

Teorema di unicità del limite

Enunciato

, , ∈ ℝ ∪ {±∞}. lim () = lim () = =

Siano Si assuma che e . Allora .

0 1 2 1 2 1 2

→ →

0 0

lim () =

1

→ 0

Hp. lim () =

2

→ 0 =

Ts.

Dimostrazione ≠ ∩ = ∅)

Per assurdo, sia . Esistono intorni di e di disgiunti (tali che e, per definizione

1 2 1 1 2 2

di limite, esistono due intorni e di tali che:

1 2 0

() ∈ ∈ ∩

se

() ∈ ∈ ∩

se

∈ ∩ ∩ , () ∈ () ∈

Dunque, se vale che e . Ciò è assurdo, poiché e sono disgiunti.

1 2 1 2

Limite impossibile ()

Non tutte le funzioni hanno un limite. Quello che segue è un esempio di funzione per cui non esiste

limite alcuno.

Esempio di funzione senza limite

() = ( )

La funzione è dispari e periodica, e si ha che:

∀ ∈ [−1,1] ∃ () =

infiniti punti per cui )

∀ > 0 ∃ , ∈ ℤ|( = ∈ (−, )

infiniti punti con

1

=

Supponendo che il limite esista e sia, per esempio, , ciò sarebbe in contraddizione con quanto

2

affermato prima.

Teorema di permanenza del segno

Enunciato

lim () = , > 0. → , () > 0.

Sia che Allora definitivamente per 0

→ 0

lim () =

→

Hp. 0

>0 () > definitivamente

Ts.

Dimostrazione

> | − > . = ( − , + ).

Sia consideri Sia Allora:

∃( )|() ∈ ∀ ∈ ∩ , ≠

Dunque: () ≥ − >

Teorema del confronto

Enunciato

, , ℎ: → ℝ . () ≤ () ≤ ℎ() ∀

Siano e sia punto di accumulazione di Si assuma che e che

0

lim () = lim ℎ() = . lim () = .

Allora

→ → →

0 0 0

() ≤ () ≤ ℎ()

Hp. lim () = lim ℎ() =

→ →

0 0 () =

Ts. → 0

Dimostrazione

> 0 = ( − , + )

Sia fissato. Esistono due intorni e di tali che, posto si abbia:

0

() ∈ ∀ ∈ ∩ , ≠ ℎ() ∈ ∀ ∈ ∩ , ≠

1 0 2 0

∈ ∩ ∩ ,

Dunque se si ha che:

− ≥ () ≤ + − ≤ () ≤ +

Quindi: − ≤ () ≤ () ≤ () ≤ +

− ≤ () ≤ + ∈ ∩ ∩ . lim () = .

Cioè se Da cui

1 2 → 0

Calcolo di

→

Il calcolo:

→

può essere svolto applicando il teorema del confronto. Infatti si ha che:

sin tan

(̆)

() = = () =

2 2 2

da cui impostiamo la disuguaglianza:

≤ ≤ ∀ ∈ (, ) >

1

1 ≤ ≤ ≤ ≤ = =

sin cos → →

sin

lim = 1.

dunque

→0

Algebra dei limiti

Enunciato

, : → ℝ, . lim () = lim () =

Siano punto di accumulazione di Supponiamo che e

0 1 2

→ →

0 0

, ∈ ℝ.

con⁡ Allora:

1 2

∀ ∈ ℝ

1. si ha che:

1,2 () + () → +

1 2 1 1 2 2

→ 0

lim ()() =

2. 1 2

→ 0 () 1

lim = ≠ 0

3. , con 2

()

→ 2

0

lim () =

1

→ 0

Hp. lim () =

2

→ 0 () + () → +

→

() ∙ () = ∙

→

Ts. ()

=

()

→

≠

con

Dimostrazione II |()() | |()() |

− = − () + () − =

1 2 2 2 1 2

|()(() ) (() )| |()||() |

= − + − ≤ − + | ||() − |

| |() | (

∀ > 0 ∃||() − ≤ − ≤ ∈ − , + ) ∩ , ≠

Notiamo ora che e se . Inoltre