Analisi I e Geometria (seconda parte)

Limiti notevoli con esponenziale/logaritmo

( + ) =

→±∞

1 1

= lim (1 + ) = lim (1 + ) =

[ ]

Posto , si ha che il limite cercato è .

→±∞ →±∞

(

+ ) =

→

1

=

Posto si ha lo stesso risultato del limite precedente.

( + )

)=

(

→ 1

(1

= 1 log + ) = log = 1.

[lim ]

Si scelga nel limite precedente, si avrà

→0

−

( ) =

→

1 −1

= − 1, → 0, = log ( + 1) = log( + 1). =

Posto si ha che e segue che Segue che

log

→0

log ∙ → log .

log(+1) →0

( + ) −

)=

(

→

(1

= + ) − 1,

Posto procedere come nel limite precedente.

Limiti notevoli con seno/coseno

=

→

−

=

→

Riformulazioni con asintotica/o piccolo

Entrambi i limiti notevoli possono essere riformulati in questo modo:

- seno: ~ → sin = + ()

per

- coseno: 1

2 2 )

− ~ → 1 − cos = + (

per

2

Sviluppo d Taylor [introduzione]

In genere, è possibile affermare che ogni limite è riformulabile attraverso l’utilizzo di una asintotica e di un

o piccolo, ottenendo la seguente equazione.

() () )

= + (

Il primo membro rappresenta una curva, mentre il secondo membro è composto da una seconda curva, di

( ),

grado diverso dalla prima, e da un attributo aggiuntivo, che tende a zero più velocemente della

.

curva di grado

Approssimazione di curve

Ciò significa che, attraverso uno sviluppo di Taylor, è possibile ottenere una curva che approssimi un’altra

curva con un errore tendente a zero per tendente ad un certo , dunque nella migliore approssimazione

0

possibile per tale valore.

Sviluppi di Taylor fondamentali

Continuità

Funzione continua (definizione)

: → ℝ, ⊂ ℝ. ∈ .

Sia Sia punto di accumulazione per Dico che è continua in se vale una

0

delle seguenti condizioni equivalenti.

1. () = ( )

→

2. )|

∀ > ∃ |() − ( ≤ − , ∈

| se | |≤

3. ))

∀(( ∃( ) () ∈ ∀ ∈ ∩

|

Proprietà di funzioni continue

Proprietà algebriche

,

Siano continue in . Seguono le seguenti affermazioni.

0

+

1. è continua in .

0

∙

2. è continua in .

0

3. è continua in .

0

Funzione composta

( ). ∘

Sia continua in , continua in Segue che è continua in .

0 0 0

Funzione inversa −

Sia continua in . Se è definita su un intervallo aperto, esiste almeno un punto per cui non è

0

continua.

Permanenza del segno )

: → ℝ, ∈ . ( > .

Sia punto di accumulazione di Si assume continua in e Allora esiste

0 0

( ) () > ∀ ∈ ( ) ∩ .

|

0 0

∗

Teorema degli zeri

Enunciato

[,

: ] → ℝ () ∙ () < ∃ ∈ (, )|() = .

Sia tale che e sia continua. Allora

[,

: ] → ℝ continua

Hp. () ∙ () < 0 ∃ ∈ (, )|() =

Ts.

Dimostrazione [ , ]

Costruisco una successione di intervalli tali che:

− = ( − )

) )

( ∙ ( < 0 ( ) ( )

con decrescente e crescente e (a meno che o valgano zero, nel qual

caso è verificato il teorema).

≤ ≤ ≤ , → → → +∞.

Essendo esistono ed reali tali che e per Inoltre:

1 2 1 2

−

− = =

→+∞ )

= ( < 0

cioè, . Chiamo tale valore. Per la permanenza del segno, essendo ed essendo

1 2

,

continua in vale che: )

≥ ( = ()

→+∞

Analogamente vale che: )

≤ ( = ()

→+∞

() =

Dunque necessariamente.

Teorema dei valori interni (corollario)

[,

: ] → ℝ .

Sia continua. Allora assume tutti i valori compresi tra e

Teoremi fondamentali sulla continuità

Funzione uniformemente continua (definizione)

: → ℝ. ∀ > ∃ = ()

Sia Dico che è uniformemente continua in se dipendente solo da tale

che: |() )| | |

− ( ≤ − ≤ (), , ∈

se

Teorema di Heine – Cantor

: → ℝ

Sia con compatto ed continua. Allora è uniformemente continua.

: → ℝ,

Hp. compatto, continua

uniformemente continua

Ts.

Teorema dell’immagine compatta

: → ℝ () )

Sia con compatto ed continua. Allora (immagine di è compatto.

: → ℝ,

Hp. compatto, continua () compatto

Ts.

Teorema di Weirstrass

: → ℝ .

Sia continua, e sia compatto. Allora assume massimo e minimo assoluti in

: → ℝ,

Hp. compatto, continua

∃⁡, ⁡ ∈ ⁡⁡⁡|⁡⁡⁡() ≤ () ≤ ()⁡⁡⁡⁡⁡∀⁡ ∈

Ts. ()

Dimostrazione. Dal precedente teorema, infatti, è compatto, dunque per il teorema di Heine – Borel

= () ()

è chiuso e limitato. Quindi ad esempio è finito. Inoltre, è chiuso, il che, unito al fatto

∗ ∗ )

∃ |( = .

che è continua, implica che

Calcolo differenziale

Derivata

Derivata (definizione)

(,

: ) → ℝ, ∈ (, ).

Sia Dico che è derivabile in se esiste finito il limite del rapporto

0

incrementale: ( + ) − ( )

→

′( )

In tal caso, tale limite si indica con e si dice derivata di in . Una definizione analoga è la

seguente. () − ( )

−

→

Teorema della derivabilità/continuità

Se è derivabile in , allora essa è ivi continua. Viceversa, se non è continua in , allora essa non è ivi

0 0

derivabile.

Hp. derivabile in 0

continua in

Ts.

Derivata e tangente

La derivata può essere associata al significato geometrico della tangente. Tuttavia, questa associazione

merita delle precisazioni. La derivata corrisponde infatti alla retta congiungente i punti:

))

, ( + , ( + ))

( (

ℎ → 0,

e, per può in un certo senso essere dunque assimilata alla tangente. Tuttavia, si consideri una

1

2 ≠0

{ sin ( )

() = = 0,

funzione del tipo per . Tale funzione è continua per com’è facilmente

=0

0 = 0.

verificabile, tuttavia calcoliamo la derivata in 0

(ℎ) − (0) (ℎ) 1

= = ℎ ∙ sin ( )

ℎ ℎ ℎ

1

lim ℎ ∙ sin ( ) = 0

ℎ

ℎ→0

′ (0)

= 0. ,

da cui si ha Si noti dunque che la tangente coincide in questo caso con l’asse e dunque, lungi

()

dal significato prettamente goemetrico di tangente, essa interseca in infiniti punti per un qualsiasi

.

intorno di

Tangente (definizione) ))

() , (

(

Dico tangente al grafico di nel punto la retta:

0 0 ′

) ( )( )

= ( + −

Non derivabilità

Dico che una funzione è non derivabile in se non esiste finito il limite del rapporto incrementale per

0

→ . Poiché il concetto di derivata discende da quello di limite, si può comprendere che, come non tutte

0

le funzioni hanno limite, così non tutte le funzioni hanno derivata. Esistono dunque funzioni non derivabili.

||

() = = 0.

Un esempio di funzione non derivabile è in Verifichiamolo.

0

(ℎ) − (0) |ℎ| 1 ℎ>0

= ={

−1 ℎ < 0

ℎ ℎ ′

ℎ → 0, ′(0), (0).

Poiché il rapporto incrementale non ha limite per la funzione non ha ma solo ±

Calcolo di derivate

Derivate notevoli

() =

ℎ

(1 + ) − 1

(

( + ℎ) − () + ℎ) − −1

= = ∙ →

ℎ

ℎ ℎ

′ −

()

=

() = +ℎ ℎ

( + ℎ) − () − − 1

= = →

( )

ℎ ℎ ℎ