Appunti Geometria analitica (Didattica)

Name: Appunti Geometria analitica (Didattica)
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Author: andrea.boventi

Revisionato il 29/06/2026

di andrea.boventi

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Appunti di Teoria di Geometria del corso di Algebra lineare e Geometria analitica tenuto dal prof. Anita Pasotti nell'anno accademico 2021-2022 basati su appunti personali del publisher presi …

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pasotti Anita

Università Università degli Studi di Brescia

A.A. 2021-2022

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Geometria

28\10\12

SPA\={I} AFFINI

Def: Si dice spazio affine di dimensione m su un campo \(K\) la struttura:

\(A \neq \emptyset\)
\(A\) = insieme di punti
\(V_m(K)\) spazio vettoriale
\(f : \Lambda \times A \to V_m(K)\)
\((P, \overrightarrow{Q}) \to \overrightarrow{PQ}\)

\(P_1 \rightarrow\) punto interse\(P_2 \rightarrow\) punto finale\(P \rightarrow\) punto\(\overrightarrow{v} \rightarrow\) traslato di P mediante V

Con le seguenti propietà:

\(\forall V \in A, \forall v \in V \quad \exists ! Q \in A \text{ tale che } \overrightarrow{V} = \overrightarrow{PQ}\)
\(\forall P, Q, R \in A \quad \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}\)

Proprietà: \(\text{Im } \vartriangle_m(\mathbb{Q}) \quad \forall P, Q, R \in A.\)

\(\overrightarrow{PP} = 0\)
\(\overrightarrow{PQ} = 0 \Leftrightarrow P = Q\)
\(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PR} \Leftrightarrow Q = R\)
\(v = \overrightarrow{PQ} \rightarrow -v = \overrightarrow{QP}\)
\(\forall P_1, P_2, Q_1, Q_2 \in A\)

\(\overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{Q_1Q_2}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{P_1Q_1} = \overrightarrow{P_2Q_2}\)

Geometria

28.10.12

Spazi Affini

Def: Si dice spazio affine di dimensione m sul campo K la struttura A di m(K) in costitu...

A ≠ ∅
A = insieme di punti
V_m(K) spazio vettoriale
f: A x A → V_m(K)
(P, Q) → V = PQ

P_2

V^ ➔-

↖️ parallelo a P medesimo V

Q_1 - punto iniziale

P_1 punto iniziale

∀ V ∈ A, ∀ V ∈ V ∃! Q ∈ A tale che V = PQ
∀ P, Q, R ∈ A PQ + QR = PR

Proprietà: Im A_m(ℝ) ∀ P, Q, R ∈ A.

PP = 0̲
PQ = 0̲ ⟺ P = Q
PQ = PR ⟺ Q = R
V = PQ ⟺ - V = QP
∀ P_1, P_2, Q_1, Q_2 ∈ A

P_1P_2 = Q_1Q_2,
⟺ P_1Q_1 = P_2Q_2

¯V ➔-

¯V ➔ Q

P1 ↖️ ↗️ ↖️ Q2

Def.: Sia A_m(K) uno spazio affine. Si dice SOTTOSPAZIO AFFINE di dimensione m (con m≤m) una struttura A'_m(k) costituita da:

A' ⊆ A
A' ≠ ∅
V_m(K) = V_m(K)

P, Q ∈ A' → PQ → ∈ V_m(K)

Def.: Fissato un vettore V ∈ V_m(K), si dice TRASLAZIONE individuata da V l'applicazione:

I_V: A → A

P → Q tale che V = PQ
Q = I_V(P) (traslata di V mediante P)

I_V è una biezione →, quindi è invertibile

I^-1_V = è l'inversa di I_V

Def.: In A_m(K) si dice SOTTOSPAZIO LINEARE di dimensione h, l'insieme di traslati di un punto fissato P mediante i vettori di un sottospazio V_h(K), di dimensione h di V_m(K)

S_h = { P + V_h(K) }

origine | Spazio di traslazione

Def.: In A_m(K) si dicono:

PUNTI: i sottospazi lineari di dim 0

S₀ = {p ; V₀ : Σ = Ø}
RETTE: i sottospazi lineari di dim 1

S₁ = {P ; V_s = R(v)}

→ V_s ha infiniti vettori ruotanti: a V (stessa direzione ma può cambiare verso, norma)
PIANI: i sottospazi lineari di dim 2

S₂ = {P ; V₂ = R(v, w)}
IPERPIANI: i sottospazi di dimensione (n - 1)

→ in (k), nelpiano, gli iperpiani sono le rette

→ in (k), nello spazio, gli iperpiani sono i piani

Proprietà dei sottospazi:

1) S_h = {P ; V_n(k)} un sottospazio lineare di A_n(k)

. Se Q, R ∈ S_h → Q R ∈ V_h(k)

. Se Q ∈ S_h, v ∈ V_n(K) → R : T_v(Q) ∈ S_h

2) S₂ = {P, V₃ = L(V)} → P, Q = R = ...

ogni punto dello sottospazio Sh può essere scelto come origine

25/10/21

Sh ⊆ P; V_h (K)

h: 0 → punto
h: 1 → retta
h: 2 → piano

S_h

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