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Geometria
Spazi Affini
Def: Si dice spazio affine di dimensione m sul campo K la struttura A_m(K) in costituita:
- A ≠ ∅ A insieme di punti
- V_m(K) spazio vettoriale
- f: λ x A → V_m(K)
- (P, Q) → V = P Q
V → attraverso P mediante VQ1 = punto fissoQ2 = punto immagine
- ∀ P ∈ A ∀ V ∈ V ∃! Q ∈ A t.q. de V = P Q
- ∀ P, Q, R ∈ A P Q + Q R = P R
Proprietà:
In Δ_m(Q) ∀ P, Q, R ∈ A.
- P P = 0
- P Q = 0 ⇔ P = Q
- P Q = P R ⇔ Q = R
- V = P Q → -V = 2 P'
- ∀ P1, P2, Q1, Q2 ∈ AP1 P2 = Q1 Q2⇔ P1 Q1 = P2 Q2
Def:
Sia Am(K) uno spazio affine. Si dice SOTTOSPAZIO AFFINE di dimensione m (con m ≤ n) una struttura A'(K) costituita da:
- A ⊆ A'; A' ≠ ∅
- Vm(K) ⊆ Vn(K)
- ∀PQ ∈ A' ➔ PQ ∈ Vm(K)
A'
Vm(K)
Vn(K)
Def:
Fissato un Vettore V ∈ Vn(K), si dice TRASLAZIONE individuata da V l'applicazione: TV : A → A
P → Q tale che V = PQ ➔ Q = TV(P) (traslata di V mediante P)
TV è una biezione ➔ quindi è invertibile
T-1V = l'inversa di TV
Def:
In Am(K) si dice SOTTOSPAZIO LINEARE di dimensione h, l'insieme dei traslati di un punto fisso P mediante i vettori di un sottospazio Vh(K), di dimensione h di Vn(K)
Sh = {P + Vh(K)} ⊆ Am(K)
origine
Spazio di traslazione
1) S ∩ S'h = ∅
2) ∃P∈ S ∩ S'h Sh: I(P, V₁) → Sh = S'h
S'h: I(P, V'h)
Def.
Sia S : [P; V₁] una retta. Lo spazio vettoriale V₁ si dice direzione di S⇒ due rette parallele hanno la stessa direzione
Def.
Sia α : (P; V₂) un piano. Lo spazio vettoriale V₂ si dice giacitura del piano α⇒ due piani paralleli hanno la stessa giacitura
Def. Tre o più punti si dicono allineati se esiste una retta che li contiene
Def. Due o più rette sono coplanari se esiste un piano che le contiene
Proprietà dei punti, rette e piani:
In Am(K) con m ≥ 2:
- Per due punti distinti passa una e una sola retta
p ≠ Q
r = ℓ p i; V₁ = R(V₂ t(F))
- Per due rette distinte, parallele o incidenti, passa remos e un piano
OP + PQ = OQ
⇒ PQ = OQ - OP = (x₁" - x₁')e₁ + ... + (xₘ" - xₘ')eₘ
Coord. di P
- X' = (x₁')xₘ'
- X" = (x₁")xₘ"
- T = (t₁)tₘ
Coord. di Q
L > V: PQ
⇒ t = x' - X' x" - X" + T
-- equazione della trasformazioneindividualizzata da V
Respl. : le coordinate del punto medio di un segmento sono lasemisomma delle coordinate omonime dei suoi estremi.
Esempio:
In ℝ² (ℝ³) : P : (xₚ, yₚ) ; Q = (xQ, yQ)
T: il punto medio di PQ
L > mt = 12(PQ) : (xₚyₚ) + 12(xQ - xₚ)(yQ - yₚ) = (xₚ + xQyₚ + yQ)
Punto medio di
2
Def: Il punto S si dica SIMMETRICO di P rispetto a C
se C è il punto medio di PS
Esempio
- eq. cartesiana della retta r
- { x = t + 4
- y = 5 - 3t
t ∈ ℝ
- determino sistema k1
- { x = -1
- y = 5 . 3x + 3 = 3x + y - 8 = 0 : t
⇒ polo= [-4 ; 3]
Esempio
- Determinare un eq. parametrica della retta
- pongo x = t
pol= (-6,5)]
r: 5x - y + 16 = 0
- ⇒ r:
- { x = t
- y = 16 + 5t
t ∈ ℝ
Mutua posizione di due rette nel piano
- ax + by + c = 0
- (a1 b1) ≠ (0,0)
- r ∩ s ⇒
- ax + by + c = 0
- a1x + b1y + c1 = 0
A ⊥ B: (a b 0 a1 b1 0)
- Se ρ(A) = 2 ⇒ ρ(A|B) ⇒ sistema compatibile ⇒ 1 soluzioni
- r, s incidenti in un punto
- Se ρ(A) = 1 ⇒ ρ(A|B) = 2 ⇒ sistema non compatibile ⇒ ∅ soluzioni
- sono parallele e distinte
- Se ρ(A) = 1 ⇒ ρ(A|B) = 1 ⇒ sistema compatibile ⇒ ∞ soluzioni
- s, s sono parallele e coincidenti
x = 4 - t
y = 1 + 3t
z = t
t, t' ∈ &R;
(per trovare l'eq. cartesiana ho 2 modi:)
1) elimino i t dalla parametrica
x = 4 - t
z = t
x - 3y - ζ = 0
2) calcolo direttamente quella cartesiana
det (
e
e
e
det = 0
0 + 3y + 0 = 0
- x + 4 + 0 = 0
- x - 3y - ζ = 0
x - 3y - ζ = 0
Espressione Cartesiana di una retta in &R;^3
Considero l'equazione parametrica:
x = xp + λb
ζ = ζp + mβ
t ∈ &R;
(l, m, m) ≠ (0, 0, 0)
poiché (l, m, m) non sono contemporaneamente tutti nulli, scriviamo
esempio zeta ≠ 0
Fasci di piani in A3(R)
Def: Si dice FASCIO IMPROPRIO di piani l'insieme di tutti e soli i piani di A3(R) paralleli a un piano assegnato.
π: ax+by+cz+d=0
Fπ: ax+by+cz+d+K=0 t per ogni K retto a c con K ∈ R [0] p a piani
Eq. del fascio improprio di piani
Def: Si dice FASCIO PROPRIO di piani l'insieme di tutti e soli i piani di A3(R) passanti per una data retta r ca e F c loro f.
Proposizione: Siano: d = a1x + b1y + c1z + d1 = 0
d' = a2x + b2y + c2z + d2 = 0.
due piani distinti passanti per r. Un piano β appartenente al fascio di asse r r ha eq. δ
(a1x + b1y + c1z + d1)μ(a2x + b2y + c2z + d2) = 0 con (λ, μ) ∈ (0, 0) γ. λ/μ ∈ R.
Equazione del fascio proprio di piani
Se z ≠ 0 ponga K = μ/λ
(ax+by+cz+d) + K(a1x + b1y + c1z + d1) = 0 con K ∈ R di piani
Equazione ridotta del fascio
(a rappresenta tutti i piani tranne a')b rappresenta tutti i piani passanti per r tranne a'
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