Geometria 1 - il gruppo abeliano

Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi

Definizione di gruppo

Sia (A, ~) un insieme con un’operazione ~. La struttura viene definita gruppo se:

• L’operazione ~ è associativa;
• In A esiste l’elemento neutro;
• Ogni elemento di G è dotato del suo inverso.

Spieghiamo più nel particolare le varie proprietà. L’operazione ~ è associativa se si verifica che (a ~ b) ~ c = a ~ (b ~ c) per tutti gli elementi a, b, c in A. In A esiste l’elemento neutro se esiste all’interno dell’insieme un elemento x tale che a ~ x = a per ogni a in A. Infine, è detto inverso l’elemento a’ che verifica a ~ a' = x.

Se l’operazione ~ è unicamente associativa, la struttura prende il nome di monoide. Se, invece, rispetto all’operazione valgono tutte le proprietà sopra elencate e, inoltre, anche la proprietà commutativa, la struttura prende il nome di gruppo abeliano o gruppo commutativo.

Esempi di gruppi

Esaminiamo la struttura (ℕ, +) e verifichiamo se è un gruppo. Si converrà che per qualsiasi numero naturale è verificata la proprietà associativa. L’elemento neutro dell’insieme ℕ è lo 0 in quanto qualsiasi elemento di ℕ sommato a 0 restituisce l’elemento. Tuttavia, non esiste all’interno di ℕ l’inverso di alcun elemento (se non dello 0 stesso) e pertanto (ℕ, +) non è un gruppo.

Esaminiamo la struttura (ℤ, +) e verifichiamo se è un gruppo. Come per l’insieme dei numeri naturali, per ℤ sono verificate la proprietà associativa e l’esistenza dell’elemento neutro rispetto all’operazione della struttura. Inoltre, ℤ è dotato anche di inverso per ogni elemento del suo insieme, pertanto (ℤ, +) è un gruppo.

Esaminiamo la struttura (ℝ, ⋅) e verifichiamo se è un gruppo. Per questa struttura, valgono tutte le proprietà sopra citate, però per l’elemento 0 non è verificata l’invertibilità, pertanto questa struttura non è un gruppo. Tuttavia, escludendo l’elemento 0 da ℝ, si ottiene che la struttura (ℝ \ {0}, ⋅) è un gruppo.

Definizione di anello

Sia A un insieme sul quale sono definite due operazioni che denotiamo con i simboli + e ⋅, che chiamiamo rispettivamente somma e prodotto. La struttura (A, +, ⋅) è detta anello se vengono verificate le seguenti condizioni:

• (A, +) è un gruppo abeliano;
• L’operazione ⋅ è associativa.