Le funzioni

Le Funzioni Reali Di Variabile Reale

Detti due insiemi A e B (non vuoti), una funzione f dal’ A e B è una relazione che associa a ogni elemento di A uno e uno solo elemento di B.

La seguente notazione indica una funzione :

Se x ∈ A la funzione f associa y ∈ B, quindi y è immagine di x mediante f, e x è controimmagine di y. è possibile scrivere :

f: X → y oppure y = f(x)

A viene detto dominio della funzione è possibile indicarlo anche, con D mentre L’ insieme C di B formato dalle immagini degli elementi di A, è detto codominio.

Classificazioni Delle Funzioni

Una funzione è algebrica se l'espressione y = f(x) che la descrive contiene nella variabile x, solo operazioni di addizione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice. Una funzione algebrica può essere :

• Razionale intero o polinomiale l’espressione mediante un polinomio.
• Razionale fratta, col quoziente di polinomi.
• Irrazionale, se la variabile indipendente x compare sotto il segno di radice.

Se una funzione non è algebrica, si dice Trascendente

Funzioni

• Algebriche Trascendenti → y = e^x, y = \ln x
• Razionali Irrazionali → y = √x + 1
• Intere Fratte → y = (2x - 1)/(3x + 2)

Dominio E Segno Di Una Funzione

• Funzioni Razionali Intere

  y = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + a_m

  R

• Funzioni Razionali Fratte

  y = f(x) / g(x) (Polinomi)

  R esclusi i valori che annullano g(x)

• Funzioni Irrazionali

  y = ⁿ√_k(x)

  n dispari -> dominio di f(x)

  n pari -> {x ∈ R | f(x) ≥ 0}

• Funzioni Logaritmiche

  y = log_a(f(x)) a > 0, a ≠ 1

  {x ∈ R | f(x) > 0}

• Funzioni Esponenziali

  y = a^f(x) a > 0, a ≠ 1

  dominio di f(x)

  {x ∈ R | g(x) > 0} ∩ dominio di g(x)

• Funzioni Potenza y = f(x)^d

  • d intero positivo -> dominio di f(x)
  • d intero negativo -> dominio di f(x) ma con f(x) ≠ 0
  • d razionale -> dominio delle funzioni irrazionali
  • d irrazionale positivo -> {x ∈ R | f(x) > 0}

• Funzioni Goniometriche

  • y = sen x, y = cos xR
  • y = tg xR \ {π/2 + kπ}
  • y = cotg xR \ {kπ}
  • y = arcsin x, y = arccos x[−1, 1]
  • y = arctg x, y = arccotg xR

Per studiare il segno di una funzione y = f(x) bisogna cercare per quale valore di x appartenente al dominio il valore di y è positivo, per quale è negativo, per quale è nullo.

LE FUNZIONI INVERSE

Data la funzione biiettiva f da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biiettiva f^-1 da B ad A che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y=f(x): f^-1: y→x.

Si ha quindi che x=f^-1(y), dove y è la variabile indipendente e x la variabile dipendente ma per poter rappresentare la funzione x=f^-1(y) nello stesso piano cartesiano di y=f(x) operiamo la sostituzione x→y e y→x e otteniamo y=f^-1(x).

Con tale sostituzione si ottiene il grafico simmetrico di y=f(x) rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Se una funzione ammette inversa si dice che è invertibile. Il grafico di una funzione e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

LE FUNZIONI COMPOSTE

Date le funzioni f: A→B e g: B→C indichiamo con g◦f operare con y=g(f(x)) la funzione detta funzione composta, da A a C, che si ottiene associando a ogni x di A l'immagine mediante g dell'immagine di x mediante f.

Derivata Del Reciproco E Derivata Del Quoziente

Sia \(f(x)\) una funzione derivabile, allora \( \left( \frac{1}{f(x)} \right)' = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2} \)

Esempio

\( \left( \frac{1}{\cos x} \right) = \frac{1}{\cos^2 x} \)

Be \(f(x)\) = \( \frac{1}{x} \) = \(x^{-1} \)

Siano \(p(x)\) e \(q(x)\) due funzioni derivabili, \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\) , allora

\(f'(x) = \frac{p'(x) \cdot q(x) - p(x) \cdot q'(x)}{(q(x))^2}\)

Esempio

\(h(x) = \frac{\cos x}{\sin x}\)

\(h'(x) = \frac{-\cos x \cdot \cos x -\sin x (-\sin x)}{(\cos x)^2} \)

\(h(x) = \frac{e^x}{x}\)

\(h'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2}\)

Derivata Della Funzione Composta

La derivata di una funzione composta è il prodotto tra le

derivate delle funzioni esterne, ponendo come argomento la funzione

interna, e la derivata della funzione interna.

\(\left( f(g(x)) \right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)

Esempio

\(y = cos x^2 \)

\(y' = -\cos x^2 \cdot 2x \)

\(y = e^{x^{2048} }\)

\(y' = e^{x^{2048} } \cdot 2048 x^{2047}\)

\( y = \sin (x \cdot tgx) \)

\(y'=(\sin (x \cdot tgx) \cdot (1 \cdot tgx + x \cdot \left (\frac{1}{cos^2 x } \right )) \)

\(y = \sin(e^{x^2})\)

\(y' = \cos(e^{x^2} )\cdot e^{x^2}\cdot 2x\)