Le funzioni

Le funzioni reali di variabile reale

Detti due insiemi A e B (non vuoti), una funzione f da A a B è una relazione che associa a ogni elemento di A uno e uno solo elemento di B. La seguente notazione indica una funzione:

Se X ∈ A la funzione f associa y ∈ B, quindi Y è immagine di X mediante f e X è controimmagine di y. È possibile scrivere:

f: X → y oppure y = f(x)

A viene detto dominio della funzione, è possibile indicarlo anche con D mentre il sottoinsieme E di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio.

Classificazioni delle funzioni

Una funzione è algebrica se l'espressione y=f(x) che la descrive contiene nella variabile X solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice. Una funzione algebrica può essere:

• Razionale intera o polinomiale se l'espressione mediante un polinomio.
• Razionale fratta se l'espressione mediante quoziente di polinomi.
• Irrazionale se la variabile indipendente X compare sotto il segno di radice.

Se una funzione non è algebrica, si dice trascendente.

Funzioni algebriche

• Razionale Intere: y = 5x + 7
• Fratte: y = (2x-1)/(3x+2)
• Irrazionali: y = √x + 1

Funzioni trascendenti

• y = e^x
• y = x · ln x

Dati due insiemi A e B (non vuoti), una funzione f da A a B è una relazione che associa a ogni elemento di A uno e uno solo elemento di B. La seguente notazione indica una funzione.

Se x ∈ A la funzione f associa y ∈ B, quindi "y" è immagine di "x", mentre "x" è controimmagine di "y". È possibile scrivere:

f: X → y oppure y = f(x)

A viene detto dominio della funzione; è possibile indicarlo anche con D mentre l'insieme C di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio.

Classificazioni delle funzioni

Una funzione è algebrica se l'espressione y=f(x) da lei descritta contiene nella variabile x, solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza e estrazione di radice. Una funzione algebrica può essere:

• Razionali intero (o polinomiale): L'espressione mediante un polinomio. Se ogni monomio è rappresentato da un polinomio della variabile x, la funzione si dice intere. Il massimo grado dei monomi è detto grado della funzione e detto gradiacchio.
• Razionali fratta: Espressione mediante il quoziente di polinomi.
• Irrazionale: Se la variabile, imprescindente x, compare sotto il segno di radice.

Se una funzione non è algebrica, si dice trascendente.

Funzioni algebriche

• Trascendenti: y = 2^x, y = x ln x
• Razionali: Irrazionali: y = √x + 1
• Intere: Fratte: y = 5x + 7 y = (2x - 1)/(3x + 2)

Dominio e segno di una funzione

Funzioni razionali intere

y = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n

Funzioni razionali fratte

y = f(x) / g(x) (Polinomi) R esclusi i valori che annullano g(x).

Funzioni irrazionali

y = √ⁿ√f(x)

{x ∈ R | f(x) ≥ 0}

Funzioni logaritmiche

y = log_af(x) a > 0, a ≠ 1

{x ∈ R | f(x) > 0}

Funzioni esponenziali

y = a^x a > 0, a ≠ 1

y = f(x)^g(x)

Dominio di f(x) {x ∈ R | f(x) > 0} ∩ dominio di g(x)

Funzioni potenza

• y = f(x)^a: a intero positivo
• a intero negativo
• a razionale
• a irrazionale positivo

Dominio di f(x) dominio di f(x) ma con f(x) ≠ 0

Dominio delle funzioni irrazionali {x ∈ R | f(x) ≥ 0}

Funzioni goniometriche

• y = sen x, y = cos x
• y = tg x
• y = cotg x
• y = arcsen x, y = arccos x
• y = arctg x, y = arccotg x

R

R - {π/2 + kπ}

R - {kπ}

[-1, 1]

R

Per studiare il segno di una funzione

Per studiare il segno di una funzione y = f(x) bisogna cercare per quali valori di x appartenenti al dominio il valore di y è positivo, per quali è negativo, per quali è nullo.

Funzioni iniettive, suriettive, biettive (o biunivoche)

Una funzione da A a B si dice:

• Iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.
• Suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.
• Biettiva o biunivoca se è sia iniettiva sia suriettiva.

Le funzioni crescenti

Una funzione y=f(x) di dominio D⊆ℝ si dice crescente in un intervallo I appartenente a D se comunque scelti x₁ e x₂ appartenenti a I con x₁ 0, esiste un intorno completo di 2 per ogni x del quale si ha |(x - 1) - 3| < ε, ossia |2x - 4| < ε => 4 - ε < 2x < 4 + ε => 2 - ε < x < 2 + ε. La insieme della soluzione della disequazione = 2 ε = /2, 2 ε /2.

Derivate

Una funzione si dice derivabile quando il risultato del limite te f(x₀+h)-f(x₀).

Derivata di una potenza e di una radice

• y = x², y' = 3x²
• y = x^a_t, y' = 1/2

Derivate di seno, coseno, esponenziale e logaritmo

• y = sen x, y' = cos x
• y = e^x, y' = e^x
• y = ln x, y' = 1/x

Derivata della somma

Essendo h(x) e q(x) due funzioni ed h(x) = p(x) + q(x), allora h'(x) = p'(x) + q'(x).

Esempio: f(x) = x + e^x, f'(x) = e^x + cos x

Derivata del prodotto

Essendo p(x) e q(x) due funzioni ed h(x) = p(x) · q(x), allora h'(x) = p'(x) · q(x) + p(x) · q'(x).

Esempio: f(x) = e^x ln x, f'(x) = e^x ln x + q^x1/x

Derivata del reciproco e derivata del quoziente

Sia f(x) una funzione derivabile allora (1/f(x))' = -f'(x)/(f(x))².

Esempio: (1/cos(x))' = -sen x/cos² x

Se siano p(x) e q(x) due funzioni derivabili, f(x) = p(x)/q(x), allora f'(x) = [p'(x) q(x) - p(x) q'(x)] / [q(x)]².

Esempio: f(x) = sen x/cos x, f'(x) = [cos x cos x - sen x (-sen x)]/[cos x]²

h(x) = e^x/x, h'(x) = [e^x x - e^x 1]/x² = e^x x - 1/x²

Derivata della funzione composta

La derivata di una funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna e la derivata della funzione interna. (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)

Esempio: y = sen (x²), y' = cos x² · 2x

y = e^x2013, y' = e^x2013 · 2013 x²⁰¹²

y = sen (ln tgx), y' = cos (ln tgx) · (1/tgx + X · 1/cos²x) = cos (ln tgx) · e^ln(tgx) · 1/cos²x

y = sen (e^x2), y' = cos(e^x2) e^x2 · 2x