Le funzioni

Le Funzioni Reali Di Variabile Reale

Detti due insiemi A e B (non vuoti), una funzione f da A a B è una relazione che associa a ogni elemento di A uno e uno solo elemento di B. La seguente notazione indica una funzione:

Se X ∈ A la funzione f associa y ∈ B, quindi Y è immagine di X mediante f e X è controimmagine di y, è possibile scrivere:

f: X → yoppurey = f(x)

A viene detto dominio della funzione, è possibile indicarlo anche con D mentre il sottoinsieme E di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio.

Classificazioni Delle Funzioni

Una funzione è algebrica se l'espressione y=f(x) che la descrive contiene nella variabile X solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice. Una funzione algebrica può essere:

• Razionale intera o polinomiale se l'espressione mediante un polinomio.
• Razionale fratta se l'espressione mediante quoziente di polinomi.
• Irrazionale se la variabile indipendente X compare sotto il segno di radice.

Se una funzione non è algebrica, si dice Trascendente.

• Funzioni
  • Algebriche
    • Razionale:
      • Intere: y = 5x + 7
      • Fratte: y = ^2x-1/_3x+2
    • Irrazionali: y = √x + 1
  • Trascendenti: y = e^x, y = x·ln x

Le Funzioni Reali Di Variabile Reale

Dati due insiemi A e B (non vuoti), una funzione f da A a B è una relazione che associa a ogni elemento di A uno e uno solo elemento di B. La seguente notazione indica una funzione.Se x ∈ A la funzione f associa y ∈ B, quindi "y" è immagine di x, mentre "x" è controimmagine di y, è possibile scrivere:

f: X → y oppure y = f(x)

A viene detto dominio della funzione; è possibile indicarlo anche con D mentre l'insieme C di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio

Classificazioni Delle Funzioni

Una funzione è algebrica se l'espressione y=f(x) da lei descritta contiene nella variabile x, solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza e estrazione di radice. Una funzione algebrica può essere:

• Razionali intero (o polinomiale): L'espressione mediante un polinomio. Se ogni monomio è rappresentato da un polinomio della variabile x, la funzione si dice intere. Il massimo grado dei monomi è detto grado della funzione e detto gradiacchio
• Razionali fratta: espressione mediante il quoziente di polinomi
• Irrazionale: se la variabile, imprescindente x, compare sotto il segno di radice

Se una funzione non è algebrica, si dice trascendente

Dominio e Segno di una Funzione

Funzioni Razionali Intere

y = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₘ

R

Funzioni Razionali Fratte

y = f(x) / g(x) (Polinomi)

R esclusi i valori che annullano g(x)

Funzioni Irrazionali

y = √ ⁿ√f(x)

^dispari_{pari {x ∈ R | f(x) ≥ 0}}

Funzioni Logaritmiche

y = logₐf(x) a > 0, a ≠ 1

{x ∈ R | f(x) > 0}

Funzioni Esponenziali

y = aˣ a > 0, a ≠ 1

y = f(x)^g(x)

dominio di f(x) {x ∈ R | f(x) > 0} ∩ dominio di g(x)

Funzioni Potenza y = f(x)ᵃ:

• a intero positivo
• a intero negativo
• a razionale
• a irrazionale positivo

dominio di f(x) dominio di f(x) ma con f(x) ≠ 0 dominio delle funzioni irrazionali {x ∈ R | f(x) ≥ 0}

Funzioni Goniometriche

• y = sen x, y = cos x
• y = tg x
• y = cotg x
• y = arcsen x, y = arccos x
• y = arctg x, y = arccotg x

R R - {π/2 + kπ} R - {kπ} [-1, 1] R

Per studiare il segno di una funzione y = f(x) bisogna cercare per quali valori di x appartenenti al dominio il valore di y è positivo, per quali è negativo, per quali è nullo.

Funzioni Iniettive, Suriettive, Biettive (o Biunivoche)

Una funzione da A a B si dice:

• Iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.
• Suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.
• Biettiva o biunivoca se è sia iniettiva sia suriettiva.

Le Funzioni Crescenti

Una funzione y=f(x) di dominio D⊆ℝ si dice crescente in un intervallo I appartenente a D se comunque scelti x₁ e x₂ appartenenti a I con x₁ 0, esiste un intorno completo di 2 per ogni x del quale si ha |(x - 1) - 3| < , ossia |2x - 4| < => - < 2x - 4 < => 4 - < 2x < 4 + => 2 - < x < 2 + La insieme della soluzione della disequazione

= 2 = /2, 2 /2

Derivate

Una funzione si dice derivabile quando il risultato del limite te f(x₀+h)-f(x₀)

Le derivate di una funzione costante è sempre uguale a zero.

Derivata Di Una Potenza E Di Una Radice

y = x²

y' = 3x²

y = x^a_t

y' = ₁/2

Derivate Di Seno, Coseno, Esponenziale E Logaritmo

y = sen x

y' = cos x

y = e^x

y' = e^x

y = ln x

y' = ₁/x

Derivata Della Somma

Essendo h(x) e q(x) due funzioni ed h(x) = p(x) + q(x), allora

h'(x) = p'(x) + q'(x)

Esempio

f(x) = x + e^x f'(x) = e^x + cos x

Derivata Del Prodotto

Essendo p(x) e q(x) due funzioni ed h(x) = p(x) · q(x), allora

h'(x) = p'(x) · q(x) + p(x) · q'(x)

Esempio

f(x) = e^x ln x f'(x) = e^x ln x + q^x₁/x

Derivata Del Reciproco E Derivata Del Quoziente

Sia f(x) una funzione derivabile allora (1/f(x))' = -f'(x)/(f(x))²

Esempio

(1/cos(x))' = -sen x/cos² x

Se siano p(x) e q(x) due funzioni derivabili, f(x) = p(x)/q(x), alloraf'(x) = [p'(x) q(x) - p(x) q'(x)] / [q(x)]²

Esempio

f(x) = sen x/cos x

f'(x) = [cos x cos x - sen x (-sen x)]/[cos x]²

h(x) = e^x/x

h'(x) = [e^x x - e^x 1]/x² = e^x x - 1/x²

Derivata Della Funzione Composta

La derivata di una funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna e la derivata della funzione interna.

(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)

Esempio

y = sen (x²) y' = cos x² · 2x

y = e^x2013 y' = e^x2013 · 2013 x²⁰¹²

y = sen (ln tgx) y' = cos (ln tgx) · (1/tgx + X · 1/cos²x) = cos (ln tgx) · e^ln(tgx) · 1/cos²x

y = sen (e^x2) y' = cos(e^x2) e^x2 · 2x