Analisi matematica 1 - Note ed esercizi svolti sui Limiti di Funzioni

Per a > 1 abbiamo x + x

lim a = 0 , lim a = +∞, (4.19)

x→−∞ x→+∞

e lim log x = −∞, lim log x = +∞. (4.20)

a a

x→+∞

+

x→0

Per 0 < a < 1 abbiamo x x +

lim a = +∞, lim a = 0 , (4.21)

x→−∞ x→+∞

e lim log x = +∞, lim log x = −∞. (4.22)

a a

x→+∞

+

x→0

Vale poi il limite notevole µ ¶

x

1

lim 1+ (4.23)

= e.

x

x→+∞

Prendendo il logaritmo di ambo i membri nella precedente identità, otteniamo

µ ¶

1 (4.24)

lim x · log 1 + = 1,

x

x→+∞ ±

da cui, con la sostituzione 1/x = t, per cui t → 0 , otteniamo il limite

log(1 + t)

lim = 1. (4.25)

t

t→0 x

Se in quest’ultima poniamo x = log(1 + t), da cui t = e − 1 e x → 0, abbiamo

x

e − 1

lim = 1, (4.26)

x

x→0

e, più in generale, x

a − 1

lim (4.27)

= log a, ∀ a ∈ R \ {1}.

+

x

x→0

Funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse

A causa della periodicità delle funzioni trigonometriche, i limiti

lim sin x, lim cos x, lim tan x,

x→±∞ x→±∞ x→±∞

non esistono. Abbiamo poi (4.28)

lim tan x = +∞, lim tan x = −∞.

− +

x→π/2 x→π/2

Ricordiamo il “forse” più importante e noto limite notevole

sin x = 1.

lim (4.29)

x

x→0 88

Da esso discendono i seguenti limiti: 1 − cos x

1 − cos x 1

= , lim = 0,

lim (4.30)

2

x 2 x

x→0

x→0 π − arccos x

arcsin x 2

lim = 1, lim = 1, (4.31)

x x

x→0 x→0

tan x arctan x

lim = 1, lim = 1. (4.32)

x x

x→0 x→0

Di seguito diamo una verifica di questi limiti. Il metodo usato per dimostrarli

è di solito quello usato per calcolare limiti in cui sono presenti queste funzioni.

x x

2 2

2 sin sin

1 − cos x 1 1

2 2

lim = lim = lim 2 · · = .

³ ´

x 2

2 2

x x 4 2

x→0 x→0 x→0 2

x x

2 2

2 sin sin

1 − cos x x

2 2

lim = lim = lim 2 · · = 0.

³ ´

x 2

x x 4

x→0 x→0 x→0 2

Con la sostituzione y = arcsin x, x = sin y, y → 0

arcsin x y

lim = lim = 1.

x sin y

x→0 y→0

Con la sostituzione arccos x = π/2 − y, x = cos(π/2 − y) = sin y, y → 0

π/2 − arccos x y

lim = lim = 1.

x sin y

x→0 y→0

Abbiamo tan x sin x 1

lim = lim · = 1 · 1 = 1.

x x cos x

x→0 x→0

Con la sostituzione arctan x = y, x = tan y, y → 0

arctan x y

lim = lim = 1.

x tan y

x→0 y→0

Funzioni iperboliche e iperboliche inverse

Abbiamo i seguenti limiti per le funzioni iperboliche

lim sinh x = −∞ lim sinh x = +∞ (4.33)

x→−∞ x→+∞

lim cosh x = +∞ lim cosh x = +∞ (4.34)

x→−∞ x→+∞

lim tanh x = −1 lim tanh x = 1. (4.35)

x→−∞ x→+∞

89

Per le funzioni iperboliche inverse si ha invece

lim sett sinh x = −∞ lim sett sinh x = +∞ (4.36)

x→−∞ x→+∞

lim sett cosh x = 0 lim sett cosh x = +∞ (4.37)

x→+∞

+

x→1

lim sett tanh x = −∞ lim sett tanh x = +∞ (4.38)

+ −

x→−1 x→1

4.1.3 Metodo del confronto locale

Spesso nel calcolo di limiti è possibile sostituire le funzioni presenti con altre più

semplici che abbiano lo stesso comportamento in un intorno del punto in cui si

calcola il limite. I limiti notevoli della sezione precedente forniscono le seguenti

regole per la sostituzione col metodo del confronto locale. Indichiamo a fianco

i punti in cui i limiti vanno calcolati.

sin x ∼ x x =0 (4.39)

2

x

cos x ∼ 1 − x =0 (4.40)

2

tan x ∼ x x =0 (4.41)

arcsin x ∼ x x =0 (4.42)

π

arccos x ∼ − x x =0 (4.43)

2

arctan x ∼ x x =0 (4.44)

log(1 + x) ∼ x x =0 (4.45)

x

e ∼ 1 + x x =0 (4.46)

x

a ∼ log (1 + x) x = 0. (4.47)

a

Esiste poi un altro limite notevole che permette di esplicitare un confronto locale

tra funxioni. Infatti, ponendo in (4.25)

α α 1/α

t = (1 + y) − 1 =⇒ (1 + y) = 1 + t =⇒ y = (1 + t) − 1,

si ha per t → 0, y → 0. Allora α

log(1 + y) α log(1 + y)

= lim = 1,

lim α α

(1 + y) − 1 (1 + y) − 1

y→0

y→0

ma essendo pure log(1 + y) ∼ y si ha y 1

lim = ,

α

(1 + y) − 1 α

y→0

e quindi il limite notevole α

(1 + y) − 1 = α, ∀ α ∈ R.

lim (4.48)

y

y→0

Da questa si ricava poi che α

(1 + y) ∼ αy + 1, ∀ α ∈ R.

90

4.1.4 Asintoti

Di seguito riportiamo le caratteristiche asintotiche delle funzioni elementari.

Facciamo presente che l’elenco non è esaustivo, ma solo indicativo, in quanto

possono verificarsi casi particolari che vanno analizzati volta per volta.

Funzioni polinomiali

Tali funzioni non presentano nessun tipo di asintoto.

Funzioni razionali fratte

Sia f (x) = P (x)/Q(x) una funzione razionale fratta con

n n−1 r r−1

P (x) = a x +a x +. . .+a x+a , Q(x) = b x +b x +. . .+b x+b ,

n n−1 1 0 r r−1 1 0

polinomi di grado, rispettivamente, n ed r. Tali funzioni presentano asintoti nei

seguenti casi:

• asintoti verticali nei punti a ∈ R per cui Q(a) = 0 e P (a) 6 = 0. Se invece

Q(a) = P (a) = 0 bisogna procedere ad una indagine ulteriore in quanto

nel punto x = a si potrebbe presentare una discontinuità eliminabile;

• asintoti orizzontali nel caso in cui n ≤ r. Gli asintoti orizzontali hanno

allora equazione ½ a /b n = r

n n

y = ; (4.49)

0 n<r

• asintoti obliqui nel caso in cui r = n − 1. Si ha allora

a b · a − a · b

n r n−1 n r−1 ,

m = , q = (4.50)

2

b b

r r

e l’equazione dell’asintoto

a b · a − a · b

n r n−1 n r−1

y = . (4.51)

· x + 2

b b

r r

Funzioni irrazionali

Tali funzioni non presentano, in generale, nessun tipo di asintoto. Tuttavia,

p

la funzione f (x) può avere un comportamento asintotico determinao dalla

n

funzione f (x).

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Le funzioni esponenziali presentano un asintoto orizzontale. Precisamente ab-

biamo:

se a > 1 l’asintoto orizzontale di equazione y = 0 per x → −∞;

•

• se 0 < a < 1 l’asintoto orizzontale di equazione y = 0 per x → +∞.

Le funzioni logaritmiche presentano, invece, un asintoto verticale. Esso

+

risulta sempre di equazione x = 0 per x → 0 . Tuttavia la funzione si avvicina

ad esso in modo differente, e precisamente:

verso il basso (tende a −∞) per a > 1;

•

• verso l’alto (tende a +∞) per 0 < a < 1.

91

Funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse

Le funzioni trigonometriche seno e coseno, e le funzioni trigonometriche inverse

arcoseno e arcocoseno non presentano asintoti di alcun tipo.

La funzione tangente presenta asintoti verticali di equazione

π

x = + kπ, k ∈ Z. (4.52)

2

La funzione arcotangente presenta i due asintoti orizzontali di equazione

π

y = x → +∞, (4.53)

2

π

y = − x → −∞. (4.54)

2

Funzioni iperboliche e iperboliche inverse

Le funzioni iperboliche seno iperbolico e coseno iperbolico non presentano asin-

toti, allo stesso modo delle loro inverse.

La funzione tangente iperbolica presenta due asintoti orizzontali di equazione

y = −1 x → −∞ (4.55)

y =1 x → +∞, (4.56)

mentre la funzione settore tangente iperbolica presenta i due asintoti verticali

di equazione x = ±1. (4.57)

4.1.5 Continuità

In generale possiamo sempre affermare che una funzione è continua sulla maggior

parte dei punti del suo dominio. Di seguito analizziamo la continuità delle

funzioni elementari.

(1) Le funzioni polinomiali sono continue per ogni punto x ∈ R, mentre una

funzione razionale intera y = f (x)/g(x) è continua sull’insieme

R \ {x ∈ R : g(x) = 0}.

√

(2) La funzione irrazionale x è continua:

n

• per ogni x ∈ R se n è dispari;

• per ogni x > 0 e continua a destra per x = 0 se n è pari.

(3) Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono continue in ogni punto

dell’asse reale, mentre la funzione tangente è continua sull’insieme

n o

π

R \ + kπ : k ∈ Z .

2

(4) Le funzioni trigonometriche inverse arcoseno e arcocoseno sono continue

• in ogni x ∈ (−1, 1);

• a destra per x = −1; 92

• a sinsitra per x = 1.

La funzione trigonometrica arcotangente è invece continua su tutto l’asse reale.

x

(5) La funzione esponenziale y = a è continua per ogni x reale.

(6) La funzione logaritmica y = log x è continua per ogni x > 0.

a

(7) Le funzioni iperboliche sono continue per ogni x reale.

(8) La funzione settore seno iperbolico è continua su ogni x reale. La funzione

settore coseno iperbolico è continua per x > 1 e continua a destra per x = 1.

La funzione settore tangente iperbolica è continua per x ∈ (−1, 1), continua a

destra per x = −1 e continua a sinistra per x = 1.

4.2 Esercizi sui limiti di funzioni

Esercizio 24 Calcolare i seguenti limiti:

3 3

x − 3x x − 3x − 2

(1) lim , (2) lim ,

2 3 4 3 2

x + 1 − 2x x + 2x − 8x − 18x − 9

x→±∞ x→−1

x − 3 sin(sin x)

√

(3) lim , (4) lim ,

√ x

x − 3

x→3 x→0

sin x − 1 1 ,

(5) lim , (6) lim x · sin

³ ´

π 2 x

π x→+∞

x→ − x

2 2 cos x − cos 2x

(7) lim .

1 − cos x

x→0

Soluzione. 3

3 x 1

x − 3x = lim = − .

(1) lim 2 3 3

x + 1 − 2x −2x 2

x→±∞

x→±∞ 3

x − 3x − 2 0

(2) lim = .

4 3 2

x + 2x − 8x − 18x − 9 0

x→&