Analisi matematica 1 - Note ed esercizi svolti sui Limiti di Funzioni

Capitolo 4: Limiti e continuità

4.1 Limiti di funzione

4.1.1 Forme indeterminate

Addizione

L'unica forma indeterminata per l'addizione è +\infin; - \infin;. (4.1) Supponiamo che \( \lim_{{x \to x_0}} f(x) = +\infin; \) e \( \lim_{{x \to x_0}} g(x) = -\infin; \). Per calcolare il limite di \( f(x) + g(x) \) possiamo usare le identità:

\(\lim_{{x \to x_0}} [f(x) + g(x)] = \lim_{{x \to x_0}} \frac{{f(x)^2 - g(x)^2}}{{f(x) - g(x)}}\) (4.2)

quando sappiamo che il numeratore \( f(x)^2 - g(x)^2 \) assume una forma dove non sia più presente l'indeterminazione, oppure

\(\lim_{{x \to x_0}} [f(x) + g(x)] = \lim_{{x \to x_0}} f(x) \cdot \left(1 - \frac{{g(x)}}{{f(x)}}\right)\), (4.3)

per ridurci ad una forma indeterminata del tipo \(\infin;/\infin;\) (vedi più avanti) o, ancora

\(\lim_{{x \to x_0}} [f(x) + g(x)] = \lim_{{x \to x_0}} \log \left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right)\). (4.4)

Moltiplicazione

L'unica forma indeterminata per la moltiplicazione è 0 \cdot \infin;. (4.5) Supponiamo che \(\lim_{{x \to x_0}} f(x) = 0\), \(\lim_{{x \to x_0}} g(x) = \pm\infin;\). Il limite della funzione \( f(x) \cdot g(x) \) si può ricondurre ad una forma indeterminata del tipo \(\infin;/\infin;\) o \(0/0\) tramite le identità:

\(\lim_{{x \to x_0}} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{{x \to x_0}} \frac{{f(x)}}{{1/g(x)}} = \lim_{{x \to x_0}} \frac{{1/f(x)}}{{g(x)}}\). (4.6)

Quoziente

Le forme indeterminate per il quoziente sono 0/0 e \infin;/\infin;. (4.7) Per lavorare con esse si possono usare le proprietà delle funzioni coinvolte, oppure il calcolo asintotico o la regola di de l'Hôpital (vedi più avanti).

Potenza

Le forme indeterminate per questo gruppo sono le più numerose e precisamente \(\infin;^0\), \(0^0\), \(\infin;^\infin;\). (4.8) Per calcolare il limite della funzione \(f(x)\) che si presenta in una qualsiasi delle forme indeterminate precedenti si usa l'identità:

\(\lim_{{x \to x_0}} f(x)^{g(x)} = \lim_{{x \to x_0}} e^{g(x) \cdot \log f(x)}\). (4.9)

4.1.2 Limiti notevoli

Funzioni polinomiali

Sia \(P(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0\), una funzione polinomiale con \(a_n > 0\). Allora per essa valgono i limiti:

\(\lim_{{x \to a}} P(x) = P(a), a \neq \pm\infin;\), (4.10)

\(\lim_{{x \to -\infin;}} P(x) = \lim_{{x \to +\infin;}} P(x) = +\infin;\) se \(n\) è pari. (4.11)

Funzioni razionali fratte

Siano \(P(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0\), \(Q(x) = b_m x^m + \ldots + b_1 x + b_0\), due polinomi di grado \(n\), \(m\) rispettivamente, e supponiamo \(a_n > 0\), \(b_m > 0\). Allora

\(\lim_{{x \to \pm\infin;}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \lim_{{x \to \pm\infin;}} \frac{{a_n x^n}}{{b_m x^m}}\) (4.12)

e in particolare

• \(\lim_{{x \to \pm\infin;}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = +\infin;\) se \(n > m\)
• \(\lim_{{x \to \pm\infin;}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = 0\) se \(n < m\)

Se invece \(a \in \mathbb{R}\), allora si hanno i seguenti casi:

• Se \(Q(a) \neq 0\), allora \(\lim_{{x \to a}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \frac{{P(a)}}{{Q(a)}}\). (4.14)
• Se \(Q(a) = 0\), \(P(a) \neq 0\), allora \(\lim_{{x \to a}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \pm\infin;\). (4.15) Per determinare il segno, si procede al modo seguente:
  • Si calcola \(P(a)\) e se ne determina il segno;
  • A seconda che sia \(x \to a^-\) o \(x \to a^+\) si determina il segno di \(Q(x)\) in un intorno destro o sinistro di \(a\);
  • Si calcola il segno di \(\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\): esso coincide con il segno da dare al limite.
• Se \(Q(a) = 0\) e \(P(a) = 0\), in questo caso i polinomi sono entrambi divisibili dal polinomio di primo grado \(x - a\) e si possono riscrivere al modo seguente:

  \(P(x) = (x - a) \cdot P_0(x), Q(x) = (x - a) \cdot Q_0(x)\)

  dove i polinomi \(P_0\), \(Q_0\) si possono determinare con la regola di Ruffini. A questo punto si ha:

\(\lim_{{x \to a}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \lim_{{x \to a}} \frac{{P_0(x)}}{{Q_0(x)}}\). (4.16)

Funzioni irrazionali

Se \(n\) è dispari si hanno i limiti

\(\lim_{{x \to \pm\infin;}} \sqrt[n]{x} = \pm\infin;.\) (4.17)

Se \(n\) è pari abbiamo

\(\lim_{{x \to +\infin;}} \sqrt[n]{x} = 0\), \(\lim_{{x \to 0^+}} \sqrt[n]{x} = +\infin;.\) (4.18)

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Per \(a > 1\) abbiamo

\(\lim_{{x \to -\infin;}} a^x = 0\), \(\lim_{{x \to +\infin;}} a^x = +\infin;,\) (4.19)

e \(\lim_{{x \to +\infin;}} \log_a x = +\infin;\), \(\lim_{{x \to 0^+}} \log_a x = -\infin;\). (4.20)

Per \(0 < a < 1\) abbiamo

\(\lim_{{x \to -\infin;}} a^x = +\infin;\), \(\lim_{{x \to +\infin;}} a^x = 0\), (4.21)

e \(\lim_{{x \to +\infin;}} \log_a x = -\infin;\), \(\lim_{{x \to 0^+}} \log_a x = +\infin;\). (4.22)

Vale poi il limite notevole

\(\lim_{{x \to +\infin;}} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\). (4.23)

Prendendo il logaritmo di ambo i membri nella precedente identità, otteniamo

\(\lim_{{x \to +\infin;}} x \cdot \log \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1\), (4.24)

da cui, con la sostituzione \(1/x = t\), per cui \(t \to 0^+\), otteniamo il limite

\(\lim_{{t \to 0}} \frac{\log(1 + t)}{t} = 1\). (4.25)

Se in quest'ultima poniamo \(x = \log(1 + t)\), da cui \(t = e^x - 1\) e \(x \to 0\), abbiamo

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x} = 1\), (4.26)

e, più in generale,

\(\lim_{{x \to 0^+}} \frac{a^x - 1}{x} = \log a, \forall a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.\) (4.27)

Funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse

A causa della periodicità delle funzioni trigonometriche, i limiti

\(\lim_{{x \to \pm\infin;}} \sin x\), \(\lim_{{x \to \pm\infin;}} \cos x\), \(\lim_{{x \to \pm\infin;}} \tan x\),

non esistono. Abbiamo poi

\(\lim_{{x \to \pi/2^-}} \tan x = +\infin;\), \(\lim_{{x \to \pi/2^+}} \tan x = -\infin;\). (4.28)

Ricordiamo il "forse" più importante e noto limite notevole

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1\). (4.29)

Da esso discendono i seguenti limiti:

• \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\),
• \(\lim_{{x \to 0}} \frac{1 - \cos x}{x} = 0\),
• \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\arcsin x}{x} = 1\),
• \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\pi/2 - \arccos x}{x} = 1\),
• \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\tan x}{x} = 1\),
• \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\arctan x}{x} = 1\).

Di seguito diamo una verifica di questi limiti. Il metodo usato per dimostrarli è di solito quello usato per calcolare limiti in cui sono presenti queste funzioni.

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} 2 \cdot \left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 = \frac{1}{2}\).

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{{x \to 0}} 2 \cdot \left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right) \cdot \sin(x/2) = 0\).

Con la sostituzione \(y = \arcsin x\), \(x = \sin y\), \(y \to 0\)

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{\arcsin x}{x} = \lim_{{y \to 0}} \frac{y}{\sin y} = 1\).

Con la sostituzione \(\arccos x = \pi/2 - y\), \(x = \cos(\pi/2 - y) = \sin y\), \(y \to 0\)

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{\pi/2 - \arccos x}{x} = \lim_{{y \to 0}} \frac{y}{\sin y} = 1\).

Abbiamo

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{\tan x}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1\).

Con la sostituzione \(\arctan x = y\), \(x = \tan y\), \(y \to 0\)

\(\lim_{{x \to 0}} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{{y \to 0}} \frac{y}{\tan y} = 1\).

Funzioni iperboliche e iperboliche inverse

Abbiamo i seguenti limiti per le funzioni iperboliche:

\(\lim_{{x \to -\infin;}} \sinh x = -\infin;\), \(\lim_{{x \to +\infin;}} \sinh x = +\infin;\), (4.33)

\(\lim_{{x \to -\infin;}} \cosh x = +\infin;\), \(\lim_{{x \to +\infin;}} \cosh x = +\infin;\), (4.34)

\(\lim_{{x \to -\infin;}} \tanh x = -1\), \(\lim_{{x \to +\infin;}} \tanh x = 1\). (4.35)

Per le funzioni iperboliche inverse si ha invece:

\(\lim_{{x \to -\infin;}} \text{setth} \sinh x = -\infin;\), \(\lim_{{x \to +\infin;}} \text{setth} \sinh x = +\infin;\), (4.36)

\(\lim_{{x \to +\infin;}} \text{setth} \cosh x = 0\), \(\lim_{{x \to 1^+}} \text{setth} \cosh x = +\infin;\), (4.37)

\(\lim_{{x \to -1^+}} \text{setth} \tanh x = -\infin;\), \(\lim_{{x \to 1^-}} \text{setth} \tanh x = +\infin;\). (4.38)

4.1.3 Metodo del confronto locale

Spesso nel calcolo di limiti è possibile sostituire le funzioni presenti con altre più semplici che abbiano lo stesso comportamento in un intorno del punto in cui si calcola il limite. I limiti notevoli della sezione precedente forniscono le seguenti regole per la sostituzione col metodo del confronto locale. Indichiamo a fianco i punti in cui i limiti vanno calcolati:

• \(\sin x \sim x\) per \(x \to 0\), (4.39)
• \(\cos x \sim 1 - \frac{x^2}{2}\) per \(x \to 0\), (4.40)
• \(\tan x \sim x\) per \(x \to 0\), (4.41)
• \(\arcsin x \sim x\) per \(x \to 0\), (4.42)
• \(\arccos x \sim \frac{\pi}{2} - x\) per \(x \to 0\), (4.43)
• \(\arctan x \sim x\) per \(x \to 0\), (4.44)
• \(\log(1 + x) \sim x\) per \(x \to 0\), (4.45)
• \(e^x \sim 1 + x\) per \(x \to 0\), (4.46)
• \(a^x \sim \log (1 + x)\) per \(x = 0\). (4.47)

Esiste poi un altro limite notevole che permette di esplicitare un confronto locale tra funzioni. Infatti, ponendo in (4.25)

\(\alpha = (1 + y)^{1/\alpha} \Rightarrow (1 + y) = 1 + t \Rightarrow y = (1 + t)^{\alpha} - 1\), si ha per \(t \to 0\), \(y \to 0\). Allora

\(\lim_{{y \to 0}} \frac{\log(1 + y)^\alpha}{(1 + y)^\alpha - 1} = 1\),

ma essendo pure \(\log(1 + y) \sim y\) si ha

\(\lim_{{y \to 0}} \frac{y}{(1 + y)^\alpha - 1} = \frac{1}{\alpha}\),

e quindi il limite notevole

\(\lim_{{y \to 0}} \frac{(1 + y)^\alpha - 1}{y} = \alpha, \forall \alpha \in \mathbb{R}\). (4.48)

Da questa si ricava poi che \((1 + y)^\alpha \sim \alpha y + 1, \forall \alpha \in \mathbb{R}.\) (4.48)

4.1.4 Asintoti

Di seguito riportiamo le caratteristiche asintotiche delle funzioni elementari. Facciamo presente che l'elenco non è esaustivo, ma solo indicativo, in quanto possono verificarsi casi particolari che vanno analizzati volta per volta.

Funzioni polinomiali

Tali funzioni non presentano nessun tipo di asintoto.

Funzioni razionali fratte

Sia \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) una funzione razionale fratta con

\(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0\), \(Q(x) = b_r x^r + b_{r-1} x^{r-1} + \ldots + b_1 x + b_0\),

polinomi di grado, rispettivamente, \(n\) ed \(r\). Tali funzioni presentano asintoti nei seguenti casi:

• Asintoti verticali nei punti \(a \in \mathbb{R}\) per cui \(Q(a) = 0\) e \(P(a) \neq 0\). Se invece \(Q(a) = P(a) = 0\) bisogna procedere ad un'indagine ulteriore in quanto nel punto \(x = a\) si potrebbe presentare una discontinuità eliminabile;
• Asintoti orizzontali nel caso in cui \(n \leq r\). Gli asintoti orizzontali hanno allora equazione:
• \(y = \frac{a_n}{b_r}\) se \(n = r\)
• \(y = 0\) se \(n < r\).
• Asintoti obliqui nel caso in cui \(r = n - 1\). Si ha allora
• \(m = \frac{a_n}{b_r}\), \(q = \frac{a_{n-1} - a_n \frac{b_{r-1}}{b_r}}{b_r}\)
• e l'equazione dell'asintoto è \(y = mx + q\).

Funzioni irrazionali

Tali funzioni non presentano, in generale, nessun tipo di asintoto. Tuttavia, la funzione \(f(x)\) può avere un comportamento asintotico determinato dalla funzione \(f(x)\).

Funzioni esponenziali e logaritmiche

Le funzioni esponenziali presentano un asintoto orizzontale. Precisamente abbiamo:

• Se \(a > 1\) l'asintoto orizzontale di equazione \(y = 0\) per \(x \to -\infin;\);
• Se \(0 < a < 1\) l'asintoto orizzontale di equazione \(y = 0\) per \(x \to +\infin;\).

Le funzioni logaritmiche presentano, invece, un asintoto verticale. Esso risulta sempre di equazione \(x = 0\) per \(x \to 0^+\). Tuttavia la funzione si avvicina ad esso in modo differente, e precisamente:

• Verso il basso (tende a \(-\infin;\)) per \(a > 1\);
• Verso l'alto (tende a \(+\infin;\)) per \(0 < a < 1\).

Funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse

Le funzioni trigonometriche seno e coseno, e le funzioni trigonometriche inverse arcoseno e arcocoseno non presentano asintoti di alcun tipo.

La funzione tangente presenta asintoti verticali di equazione:

\(x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\). (4.52)

La funzione arcotangente presenta i due asintoti orizzontali di equazione:

\(y = \frac{\pi}{2}\) per \(x \to +\infin;\), (4.53)

\(y = -\frac{\pi}{2}\) per \(x \to -\infin;\). (4.54)

Funzioni iperboliche e iperboliche inverse

Le funzioni iperboliche seno iperbolico e coseno iperbolico non presentano asintoti, allo stesso modo delle loro inverse.

La funzione tangente iperbolica presenta due asintoti orizzontali di equazione:

\(y = -1\) per \(x \to -\infin;\) (4.55)

\(y = 1\) per \(x \to +\infin;\), (4.56)

mentre la funzione settore tangente iperbolica presenta i due asintoti verticali di equazione \(x = \pm1\). (4.57)

4.1.5 Continuità

In generale possiamo sempre affermare che una funzione è continua sulla maggior parte dei punti del suo dominio. Di seguito analizziamo la continuità delle funzioni elementari.

• Le funzioni polinomiali sono continue per ogni punto \(x \in \mathbb{R}\), mentre una funzione razionale intera \(y = \frac{f(x)}{g(x)}\) è continua sull'insieme \(\mathbb{R} \setminus \{x \in \mathbb{R} : g(x) = 0\}\).
• La funzione irrazionale \(\sqrt[n]{x}\) è continua:
  • Per ogni \(x \in \mathbb{R}\) se \(n\) è dispari;
  • Per ogni \(x > 0\) e continua a destra per \(x = 0\) se \(n\) è pari.
• Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono continue in ogni punto dell'asse reale, mentre la funzione tangente è continua sull'insieme \(\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\right\}\).
• Le funzioni trigonometriche inverse arcoseno e arcocoseno sono continue:
  • In ogni \(x \in (-1, 1)\);
  • A destra per \(x = -1\);
  • A sinistra per \(x = 1\).
• La funzione trigonometrica arcotangente è continua su tutto l'asse reale.
• La funzione esponenziale \(y = a^x\) è continua per ogni \(x\) reale.
• La funzione logaritmica \(y = \log_a x\) è continua per ogni \(x > 0\).