Funzioni: Limiti e continuità - teoria ed esercizi

es. f(x) = arcsen (e^x + 2)

D = ?

e^x ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ e^x + 2 > 2

arcsen: [-1, 1]

→ il dominio di questa funzione è l'insieme ∅ → non esiste la funzione

Funzioni continue

Def. di intervallo

a, b ∈ ℝ

• [a,b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} → chiuso
• ]a,b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
• [a,b[ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
• ]a,b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b} → aperto

LIMITATI

• [a,+∞[ = {x ∈ ℝ | x ≥ a}
• ]a,+∞[ = {x ∈ ℝ | x > a}
• ]-∞,b] = {x ∈ ℝ | x ≤ b}
• ]-∞,b[ = {x ∈ ℝ | x < b}

SEMIRETTE

Teorema

I è un intervallo ⇔ ∀ x, y ∈ I allora [x, y] ⊆ I

• x < y

intervallo → insieme connesso

Oss A = [2, 4] \ {3} → intervallo forato

[x, y] ⊄ A

Aggiungendo un solo elemento reale = 3 → diventa intervallo A ∪ {3} → intervallo

Problema

È possibile conoscere il valore di f in un punto conoscendo i valori di f nei punti "vicini" ad x₀? - NO!

Definizione di continuità in un punto

Sia f: A ⊂ ℝ → ℝ e x₀ ∈ A

Diciamo che f è continua in x₀ se

1. ∃ {x_n} tale che ∀ x_n ∈ A ∀ n ∈ ℕ → f(x_n) ⟶ f(x₀)
2. ∃ lim x_n = x₀

Allora ∃ lim f(x_n) = f(x₀)

(per due successioni una sull'asse x e l'altra sull'asse y)

es.

f(x) = x² f è continua in 2 = x₀

f: ℝ → ℝ

f è continua in x₀ = 2 ⇔ ∀ {x_n}n

1^a condizione: x_n ∈ ℝ ∀ n ∈ ℕ

2^a condizione: ∃ lim x_n = 2

→ ∃ lim f(x_n) = f(2) (TH)

f(x) = x_n² → 4 = f(2) = 4

(x_n → 2 per n → +∞)

f è continua? Sì

f non è continua in φ

x_n=¹/_2n+¹/2 m→0

f(x_n)=sen(^π/_2n+¹/2)

=sen(π/2)=1

f(x)=1 → 1 f(0)=0

Proprietà algebriche delle funzioni continue

Siano f,g: A ⊆ R → R e sia x_o ∈ A supponiamo che f e g continue in x_o. Allora

1. f + g è continua in x_o
2. f . g è continua in x_o
3. se g ≠ 0 → ^f/_g è continua in x_o

Se f(c₁) = 0 → c = c₁ OK

Se f(c₁) ≠ 0

f(a₁) > 0 → a₂ = c₁ e b₂ = b₁

f(c₁) < 0

a₀ a₁ c₁ b₁ b₀

...vado avanti | finisco e trovo punto dove si annulla ...vado avanti all'infinito → non lo trovo ...trovo delle successioni

Nel II caso abbiamo costruito tre successioni (a_n)_n, (b_n)_n e (c_n)_n

Le successioni godono delle propietà:

• 1) a < a_n ≤ c_n ≤ b_n < b   → (a_n) ∈ ℝ   → (b_n) ∈ ℝ
• 2) a_n ≤ b_n
• 3) b_n - a_n = ^b-a/_2ⁿ → lim (b_n-a_n) = lim ^b-a/_2ⁿ = 0
• 4) f(b_n) ≤ 0 ≤ f(c_n) ∀n

Sia c = lim a_n   = lim b_n

(TH) f(c) = 0

• 4) f(b_n) ≤ 0 < c < f(a_n) ∀n
• per ip. f è continua in (a, c)   ∀ (x_n)_n x_n ∈ [0, b] : ∀ x_n → c
•  &sp(f(x_n) → f(c)  → f(c) = 0

Vedo (1) con X_n → X₀ ne mettiamo elementi blu

si perché X_m ∈ ]X₀–r_ε,X₀+r_ε[ A definit.

Significato geometrico:

f: [1, 2] → ℝ

Scrivere che f è continue in X₀ = 2 tramite le successioni e gli intorni

DOMANDA ESAME!

1. Def. con le successioni

   ∀ (X_m)_m ∈ [1, 2] e X_m ⟶ 2 _{m ⟶ +∞}

   allora f(X_m) ⟶ f(2) _{m ⟶ +∞}

2. Def. con gli intorni

   ∀ ε > 0 ∃ r_ε > 0: ∀ x ∈ [2–r_ε, 2+r_ε] ∧ [1, 2]

   |f(x) – f(2)| ≤ ε

2) f(1)=8

f(0)=3

∃ 7 x₀ ∈ A: f(x₀)=1

SI

perché per il T. dei valori intermedi

1 ∈ f([0,1])

deve assumere tutti i valori compresi tra 3 e 8

Definizione di LIMITE per una funzione

Consideriamo I intervallo aperto int. forato

(I è un int. forato se I ⊂ ℝ I tale che I ∪ {c ⊂ ℝ I (c̄)) (y è un intervallo)

Def. di intorno di +∞ e -∞

Sia a ∈ ℝ

diciamo che [a, +∞ [ è un intorno di +∞

] a, -∞ [ è un intorno di -∞

DEFINIZIONE DI LIMITE per una FUNZIONE

f: I ⊂ ℝ→ℝ I intervallo aperto int. forato

Sia x₀ ∈ I inf I sup I

Diciamo che f limite per x→x₀ di f(x) è uguale a l ∈ ℝ e scriviamo

∀(aₙ)ₙ ᴱ I \{x₀} cn → x₀ M→∞

allora l lim f(an) = l M→∞