Funzioni continue
Definizione di intervallo
Sia a, b ∈ ℝ. Gli intervalli possono essere definiti come segue:
- [a,b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} → chiuso
- ]a,b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
- [a,b[ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
- ]a,b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b} → aperto
- [a,+∞[ = {x ∈ ℝ | x ≥ a}
- ]a,+∞[ = {x ∈ ℝ | x > a}
- ]-∞,b] = {x ∈ ℝ | x ≤ b}
- ]-∞,b[ = {x ∈ ℝ | x < b}
Teorema
Se I è un intervallo, allora ∀ x,y ∈ I implica [x,y] ⊆ I.
Un intervallo è un insieme connesso.
Osservazione
Sia A = [2,4] \ {3}, un intervallo forato. [x,y] ⊈ A.
Aggiungendo un solo elemento reale 3, diventa un intervallo: A ∪ {3}.
Problema
È possibile conoscere il valore di f in un punto x0 conoscendo i valori di f nei punti "vicini" a x0? → NO!
Definizione di f continua in un punto
Sia f: A ⊆ ℝ → ℝ e x0 ∈ A. Diciamo che f è continua in x0 se:
- ∀ (Xn) tale che 1) xn ∈ A ∀ n ∈ ℕ → f(xn) → f(x0) lim xn → x0
Altrimenti, limn→+∞ f(xn) = f(x) →
f è continua in x0 se:
f(x) = x2, f è continua in 2 = x0
f: ℝ → ℝ
f è continua in x0 = 2 ⇔ ∀(Xn) ∈ ℕ
- 1a condizione: xn ∈ ℝ ∀n ∈ ℕ
- 2a condizione: limn→+∞ xn = 2 → limn→+∞ f(xn) = f(2) (TH)
f(xn) = xn2 → limn→+∞ 4 ≡ f(2) = 4 (xn → 2 per n→+∞)
} → f è continua in x0 = 2
Esempi di continuità
- f(x) = 0 x < 0
- 1 x > 0
- f è continua in x0 ≠ 0?
- f è continua in x0 = 0?
Continuità in x0 ≠ 0
- x0 > 0: f è continua in x0 → ∀(xn)n xn ∈ ℝ: xn n→+∞ x0 → f(xn) n→+∞ f(x0)
Sia (xn)n → x0 n→+∞
f(xn) = ? xn > 0 definitivamente
f(xn) = 1 definitivamente
⇒ lim f(xn) = 1 = f(x0)
⇒ f è continua in x0
- x0 < 0
(xn)n xn → x0 < 0 → xn < 0 definitivamente
⇒ f(xn) = 0 definitivamente
⇒ f(xn) n→+∞ 0 = f(x0)
Continuità in x0 = 0
∃ (xn)n xn → x0 e f(xn) -> x0 ⟹ f non è continua.
xn = ( -1⁄n ) ⟹ 0
f(xn) = {f(xn) n pari f( -1⁄n ) n dispari} = {1 n pari 0 n dispari}
∃ limite f(xn) ⟹ f non è continua in zero.
Conclusione
Funzioni continue possono essere definite e analizzate in base alla continuità nei punti e negli intervalli. Gli esempi mostrano come la continuità possa dipendere dalla posizione del punto rispetto all'intervallo e dall'andamento della funzione stessa.
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