Funzioni omogenee

Funzioni omogenee

Partiamo con un esempio. Sia l’espressione che indica il numero di unità

(, )

=

prodotte y di un certo output impiegando come input K unità di capitale ed L unità di

lavoro. A questo punto, in economia, spesso ci si chiede cosa succede ad y se le quantità

di input vendono raddoppiate. In pratica ci si chiede quanto vale Nello

(2, 2) =?.

specifico l’output y aumenterà più o meno di 2 volte?

Per rispondere a questa domanda dobbiamo introdurre il concetto di funzione omogenea

e studiare le relative proprietà.

Definizione. Sia una funzione reale e C cono. Sia (positivo, nullo,

: ⊆ → ∈

negativo). f è detta omogenea di grado k se

(̅ ) (̅ )

= ∀ > 0

Ovvero moltiplicare le variabili per un numero t positivo equivale a moltiplicare la

k

funzione per t .

Torniamo alla definizione di funzione omogenea con qualche esempio

1 3

Esempio 1. Dimostrare che f è omogenea di grado 3

( ) =

2 1 1 1

3 3 3 3 3 3

D=R cono di R. (, ) ( ) ( )

= = = = =3

( )

2 2 2

2

Esempio 2. Dimostrare che f è omogenea di grado 2

(, ) = −2 + 3

2 2

D=R è un cono di R 2 2 2 2 2 2

(, ) −2( )() 3( ) (−2 )

= + = −2 + 3 = + 3 =

2 (, )

= =2

− +3

1 2 3

Esempio 3. ( , ) =

1 2, 3 2 2 2

+ +

1 2 3 3 \{0}

= è

( )

− + 3 − + 3 1

1 2 3 1 2 3

( , ) = = = ( , )

1 2, 3 1 2, 3

2 2 2 2 2 2 2

( )

( ) + ( ) + ( ) + +

1 2 3 1 2 3

−1

= ( , ) = −1

1 2, 3

Esempio 4. (, ) = 2

{(, 0}

)

= ∈ , ≠ è

0

(, ) (, ) (, )

= = ⇒ = = 0

Osservazione. Un polinomio è omogeneo di grado k se e solo se la somma degli esponenti

2 3 2 2

di ogni termine è k. Es. . Polinomi con somme di

− + , + − 2 3

esponenti diverse da termine a termine non sono omogenei. Es 1 + − , 3 −

Vediamo degli esempi. 2 3 3 ′ ′

Esempio 1. omogenea di grado 3. Verifichiamo che e

(, ) = 2 − 3 +

sono omogenee di grado 2

′ 2 2

(, )

= 2 − 9 2

′ 2

(, )

= 4 + 3 2