Funzioni a più variabili

Funzioni a più variabili

es. z = f(x; y) = ^x-y/_x+y

_{lim(x;y)→(0;0)} ^x-y/_x+y = ?

Prova a calcolare il limite lungo una retta passante per l'origine

y = mx

Limite quando le punto si muove lungo l'asse x:

_{lim(x;0)→(0;0)} ^x-0/_x+0 = ^x/_x = 1

Limite quando le punto si muove lungo l'asse y:

_{lim(0;y)→(0;0)} ^0-y/_0+y = ^-y/_y = -1

Quindi, le limite di f(x,y) per (x,y)→(0;0) non esiste

Derivato (dipende dalla direzione)

f'(x₀) = _limx→x0 f(x) = f(x₀) → _{lim(xj,yj)→(x0,y0)} f(x_j,y_j) - f(x₀,y₀) = ?

Fisso le punto (x₀,y₀) e lo sposto

z = f (x_j,y_j)N = (u_x,u_y)

equazioni della retta (parametrica):x = x₀ + t·u_xy = y₀ + t·u_yt ∈ ℝ

f(x_j,y_j) = _limt→0 ^{f(x₀ + t·u_x; y₀ + t·u_y) - f(x₀,y₀)}/_t

^∂f/_∂N = (x_j,y_j) = D_N

Derivata Direzionale

caso particolare: Se N = (x₀,0)

In questo caso invece di scrivere

∂L ∂x si scrive D_x

Analogamente: Se N = (0;y₀)

In questo caso si scrive ∂L ∂y

1. ex. f(x,y) = 1 - x² sin (x + y²)
   • ∂f ∂x = ? (y rimane costante, come se fosse un numero)
   • = 2x sin (x + y²) + x² cos (x + y²)
   • ∂L ∂y = ? (x rimane costante)
   • = x² cos (x + y²) 2y
2. ex. f(x,y,z) = 1 - x cos (x + y)
   • P = (x₀, y₀, z₀) = (1;2)
   • N = (3;y;z)
   • ∂f ∂z (1;2) = ?
   • eq. della retta r:x = 1 + 3ty = 2 + t
   • Funzione f lungo la retta r:f (1 + 3t, 2 + t) = (1 + 3t) cos (1 + 3t + 2 - t)= (1 + 3t) cos (3 + 2t)
   • (solo la variabile t)
   • ∂L ∂t (1;2) =
   • d dt [(1 + 3t) cos (3 + 2t)]|_t=0

Il vettore ∇f(p) è, in ogni punto, perpendicolare alle curve di livello di g

es. g(x,y) = x² + y = x + 2

curve di livello: g(x,y) = c

(costante)

x² + y - x - 2 = c

y = c + x - x² curve di livello (volendo posso tracciare il grafico)

es. g(x,y,z) = x³y²z³x = 1

curve di livello: g(x,y,z)=c

x³y²z³x - 1 = c

difficile da risolvere

calcolo ∇f

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)

∇f = (3x²x₄x_yz, 4x³y⁴x_y-3y⁵z)

m_y: (1,1) è perpendicolare a

∇f(1,1) = (3(1)+c, 1, c-1) + (1,1,2)

es. g(x,y) = x/y + y + x + 2

curve di livello: y - c(1/x - 2/x²)

x³-1

2)

a) Tracciare la curva di livello passante per i e il punto P_i = (1,1)

c = f(1,2,1) = 3

La curva di livello passante per P_i è data da

y = c + x

x²- 2

b) Tracciare la retta tangente alla curva di livello nel punto P_i = (1,1)

D[1/x + x^(1/x²)] = (1/x₂)2x/(x_-1)²

x=1

-1/2 = m

retta con m=-1/2 che passa per (1,1)

y = 1/2x + 3

2x = 0

∂z/∂x

2y = 4 = 0

∂z/∂y

x = 0

ma ci sono soluzioni, quindi non

esistono punti di max e min interni

al dominio

Studiare f(x,y) sul bordo del dominio:

La semicirconferenza:

f(x,y) = x² - y² = 2 - cos²α - sin²α - 2

f'(α) = -2 sin α cos α + cos α

cos α (cos α - sin α) = 0

cos α = 0 y = 2 sin α ± 1 ⧣ 0

α = π/2

cos α = (x,y) = (0,1)

α = /6 (x,y) = (√3/2, 1/2)

α = 5/6 (x,y) = (√3/2, -1/2)

3 punti critici

f(0,1) = -1

f(√3/2, 1/2) = 3/4

f(-√3/2, 1/2) = -3/4

minimo massimo

f(-√3/2, 1/2) = 3/4

I.e. segmento:

punto critico

(x,0) = x²

= 0

S. fra f(x,0) = x² - 2

f'(x) = 2x = 0 → x = 0

Si trova il punto (0,0)

S. fra f(0,0) = -2 = minimo assoluto

I punti angolari (estremi)

f(-1,0) = -1

f(1,0) = -1

es.

\(\phi(x,y,t) = 2xy + \frac{y^2}{x}\)

a) Gradiente di \(\phi\) nel punto (2, -3)

• \(\nabla\phi\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial t}\right)\)
• \(\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2y - \frac{y^2}{x^2}\)
• \(\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2x + \frac{2y}{x}\)
• \(\nabla\phi(2,-3)\)
• \((3, 3 + \frac{3}{2}) = (3, \frac{11}{2})\)

b)

\(\nabla\phi(2,-3)\) dove \(v\) = (1, 2)

• \(v\cdot\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} j + \frac{\partial \phi}{\partial y} k\)
• \(\nabla\phi(4, 2)\)
• \(\frac{\partial \phi}{\partial x} = 1, \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{2}{x}\)
• \(\frac{\partial \phi}{\partial t}\)

c)

retta tangente alla curva di livello passante per il punto P₀(4,-1)

• \(gr(d\phi) curve di livello\)
• \(P_0(4,-1)\)

• \(\nabla\phi(+,\lambda) = (a,b),(1,-1)\)
• Cerco \((a,b)\) che sia perpendicolare a \(\nabla\phi(1,-1)\)
• \((a,b)\cdot(1,-1)=0\)
• \(a-b=0\)
• \(w=(1,1)\), \(a=k\)
• \(b=1\)

La retta tangente è

• \(\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{1}\)
• \(c x + t\)
• \(eq\ param.\ della\ retta\ tangente\)
• \(\begin{cases} x = t + 1 \\ y = -t + 1 \end{cases}\)

\(y=-1+x-x \rightarrow y=x-2\) eq. della retta tangente

d)

massimi e minimi

• \(\begin{cases} 3x^2 + 2x - 1 = 0 \\ -2x + 2y = 0 \end{cases}\)
• \(\begin{cases} 3x^2 - 2x - 1 = 0 \\ x=y \end{cases}\)
• \(x = \frac{- 1 \pm 3}{3}\)
• \(\frac{-1}{3} - 1\)

Due punti critici

• A: \(\begin{cases} x = -1/3 \\ y = -\lambda/3 \end{cases}\)
• B: \(\begin{cases} x = x \\ y = 1 \end{cases}\)

• \(\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} = 6x\)
• \(\frac{\partial^2\phi}{\partial y} = 2\)