Funzioni a più variabili

FUNZIONI A PIÙ VARIABILI

es. z = f(x,y)

^x-y/_x+y

^x-y/_x+y?

Prova a calcolare il limite lungo una retta passante per l'origine

y = mx

L❙mite quando ❙l punto si muove lungo l’asse x.

^x-0/_x

^x-0/_x

L❙mite quando il punto si muove lungo l’asse y

^0-y/_y

^-y/_y → -1

Quindi il limite di f(x,y) per  (x,y) → (0,0) non  esiste

derivato

f’(xb)=lim f(x)-f(x₀)  

lim f( ) - f( ) ?

punt❙o (x₀ ,y₀)  e ❙lo ❙sposto

z=f(x,y)

equazione  della  retta (param❙etrica):

x = x₀ + t

y = y₀ + t

(x₀, y₀): lim t →0

^{f(x₀ + t ) ; y₀ + t - f(x₀,y₀)}/_​t

∂​ / ∂​(₀,y₀) = Dₙ

DERIVATA DIREZIONALE

FUNZIONI A PIÙ VARIABILI

es. z = f(x;_y)

Prova a calcolare il limite lungo una retta passante per l'origine

Limite quando il punto si muove lungo asse x.

Limite quando il punto si muove lungo asse y.

Quindi il limite di f(x_y) per (x_y)→(0₀) non esiste

Derivato (dipende dalla direzione)

fisso il punto (x₀, y₀) e lo sposto

equazioni della retta (parametrica):

• x = x₀ + t U_x
• y = y₀ + t U_y

^∂φ⁄_∂N(x₀,y₀) = D_N

DERIVATA DIREZIONALE

caso particolare: Se _u = (1,0)

y

In questo caso invece di scrivere _dℓ/_dx si scrive _dℓ/_dx

Analogamente: Se _u= (0,1)

y

In questo caso si scrive _d ℓ/_dy

es. f(x,y) = 1 - x² sin (x + y²)

_∂f/_∂x = ? (y rimane costante, come se fosse un numero)

= 2x sin (x + y²) + x²cos (x + y²)

_∂f/_∂y = ? (x rimane costante)

= x² cos (x + y²) 2y

es. f(x,y,z) = 1 - x cos (x +y)

r: (x₀, y₀, z₀) = (1, 2, 1) _u: (3,1,0)

_∂f/_∂s (1,2,1) = ?

eq. della retta ci: x = 1 + 3t

y = 2 + 1

Funzione f lungo la retta ci:

f (1 + 3t, y, z - t) = 1 (1 + 3t) cos (1 + 3t + 2 - t)

= 1 (1 + 3t) cos (3 + 2t) (solo variabile t)

_∂f (1;2;1) = _d / _dt [(1 + 3t) cos (3 + zt)] | _t=0

= [3 cos (3x2t) - (4+3t)(-sin (3x2t))2 ]t=0

- 3cos (3)2 sin (3)

y - f(x)

una variabile

f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) ≈ f(x)

tutta tangente

Con due variabili: ho un piano tangente T:

equazione di T:

z = f(x₀, y₀) + ∂ (x-x₀) + ∂ (y-y₀)

Per una funzione di 2 variabili: (sviluppo in serie di Taylor)

f(x,y) ≈ f(x₀,y₀) + a (x-x₀)b (y-y₀) + c(x-x₀)² + d(y-y₀)² + e(x-x₀)(y-y₀)

1º grado 2º grado 2º grado

Derivo rispetto alla variabile x:

∂ ϵ(x₀,y₀) [a + 2c (x₀,x₀) + e(y₀,y₀)x ...] in (x₀,y₀)

∂ x

Si trova

a = ∂ϵ (x₀;y₀)

∂x

b= ∂ϵ (x₀;y₀)

∂y

Quindi l'equazione del piano tangente al grafico di z nel punto (x₀,y₀) è:

z = ϵ(x₀,y₀) + ∂ϵ(x₀;y₀) (x-x₀) + ∂ϵ(x₀;y₀) (y-y₀)

∂x ∂y

→differenziabile

a b

Differenziale di ϵ nel punto (x₀,y₀) e la funzione lineare data da:

z = ∂ϵ(x₀;y₀) (x₀;y₀)(x-x₀) + ∂ϵ(x₀;y₀) (y-y₀)-dϵ(x₀;y₀)

∂x ∂y

Si indica con dϵ(x₀;y₀)

Sfrutto l'equazione del piano come approssimazione della funzione

Derivato direzionale x

∂ϵ(x₀,y₀)t il lim [f(x₀+tNx,y₀) + tNx]0 ϵ(x₀,y₀)

∂ x lim

t→0

lim→0 f(x+Nx,y₀)x; ϵ(x₀,x₀)tx + ∂ϵ (x₀,y₀)kx( ... )N₂ + k₁ ( ... )tx² ... ... t²t³txy₄ +

lim t₄ ( ... )( ... ) ( ... ) ( ... )

Nx → 0 1