Funzioni a più variabili

FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

DE:

Una funzione reale di m ∈ ℤ_>1 variabili reali è una terna ordinata (A, B, f), tale che A ⊆ ℝ^m, B ⊂ ℝ, f è una relazione cioè un sottoinsieme di A x B che associa ad ogni elemento di A un unico elemento di B, e si scrive:

f : A → B x → f(x)

A = dom B = codom

f è DOMINIO f è CODOMINIO

Il grafico di una funzione f: A → B e il sottoinsieme di A x B che definisce f, cioè:

Γ_f = { ( x₁, ..., x_m, f(x₁, ..., x_m) ) | (x₁, ..., x_m) ∈ A } ⊂ A x B ⊂ ℝ^m+1

Se m = 1, Γ_f ⊂ ℝ² "CURVA" y = f(x)

Se m = 2, Γ_f ⊂ ℝ³ "SUPERFICIE" z = f(x,y)

FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

DEF:

Una funzione reale di m variabili reali è una terna ordinata (A, B, f) tale che A è una relazione cioè un sottoinsieme di AxB che associa ad ogni elemento di A un unico elemento di B, si scrive:

f : A → B x → f(x)

A = dom B = codom

Il grafo di una funzione f : A → B è il sottoinsieme di AxB che definere f, cioè:

Gf = {(x₁, ..., x_m, f(x₁, ..., x_m)) | (x₁, ..., x_m) ∈ A} ⊆ A x B ⊆ ℝ^m+n

Se m=1 , Gf ⊆ ℝ² "CURVA" y = f(x)

Se m=2 , Gf ⊆ ℝ³ "SUPERFICIE" z = f(x,y)

INSIEME DI DEFINIZIONE

DEF

Date una "ESPRESSIONE ANALITICA" f(x₁, ..., x_m), l'insieme di definizione (o campo di esistenza) di f (in ℝⁿ) è il sottoinsieme massimo in cui f(x₁, ..., x_m) è ben definita

ESEMPIO 1

x² ⇒ NON È NIENTE DA SOLA

x²: ℝ ⇒ ℝ_>0x ↑ ⇒ x²

x²: ℝ_≠0 ⇒ ℝ>0x ↑ ⇒ x²

ESEMPIO 2

f(x, y) = √(3-2x+y) - y²

C.E.:3-2x+y>0g(x, y) ≷ 0

g(x, y) = 0: 3-2x+y=0; y=2x-3

^x⁄_y

0

i

g(0,0) = 3 ≥ 0

Nel semipiano contenenti l'asse y g è positive

L’insieme di definizione include la retta

D_f = {(x, y) ∈ ℝ²: y ≥ 2x - 3}

La frontiera è la retta

⟹ D_f ⊂ D_f ⟹ D_f CHIUSO

D_f ∩ D_f ≠ ∅ ⟹ D_f NON APERTO

D_f CONNESSO

ESERCIZIO

f(x, y) = log (3x + y + 1) -

1/√(2y - x)

C.E.

{

3x + y + 1 > 0

2y - x > 0

{

3x + y ≠ 0

2y - x ≠ 0

g₁(x, y) > 0

g₂(x, y) > 0

3x + y + 1 = 0

y = -3x - 1

g₁(0, 0) = +1

g₁ ∩ g₂

{

3x - y + 1 = 0

2y - x = 0

⟹

x = -2/7

y = -1/7

D_f = {(x, y) ∈ ℝ²: x < -2/7, y > -3 - 1}

∪ {(x, y) ∈ ℝ²: x > 2/7, y > 1/7x}