Funzioni a più variabili

Funzioni di più variabili

Definizione di funzione di più variabili

Una funzione reale di m ∈ ℤ_>1 variabili reali è una terna ordinata (A, B, f), tale che A ⊆ ℝ^m, B ⊆ ℝ, f è una relazione cioè un sottoinsieme di A x B che associa ad ogni elemento di A un unico elemento di B, e si scrive:

f : A → B

x → f(x)

A = dom

B = codom

f è DOMINIO

f è CODOMINIO

Grafico di una funzione

Il grafico di una funzione f: A → B è il sottoinsieme di A x B che definisce f, cioè:

Γ_f = { ( x₁, ..., x_m, f(x₁, ..., x_m) ) | (x₁, ..., x_m) ∈ A } ⊆ A x B ⊆ ℝ^m+1

Se m = 1, Γ_f ⊆ ℝ² "CURVA" y = f(x)

Se m = 2, Γ_f ⊆ ℝ³ "SUPERFICIE" z = f(x, y)

Definizione di funzione di più variabili (ripetizione)

Una funzione reale di m variabili reali è una terna ordinata (A, B, f) tale che A è una relazione cioè un sottoinsieme di AxB che associa ad ogni elemento di A un unico elemento di B, si scrive:

f : A → B

x → f(x)

A = dom

B = codom

Il grafo di una funzione f : A → B è il sottoinsieme di AxB che definisce f, cioè:

G_f = {(x₁, ..., x_m, f(x₁, ..., x_m)) | (x₁, ..., x_m) ∈ A} ⊆ A x B ⊆ ℝ^m+n

Se m=1, G_f ⊆ ℝ² "CURVA" y = f(x)

Se m=2, G_f ⊆ ℝ³ "SUPERFICIE" z = f(x, y)

Insieme di definizione

Date una "ESPRESSIONE ANALITICA" f(x₁, ..., x_m), l'insieme di definizione (o campo di esistenza) di f (in ℝⁿ) è il sottoinsieme massimo in cui f(x₁, ..., x_m) è ben definita.

Esempio 1

• x² → NON È NIENTE DA SOLA
• x²: ℝ → ℝ_>0
• x ↑ → x²
• x²: ℝ_≠0 → ℝ>0
• x ↑ → x²

Esempio 2

f(x, y) = √(3-2x+y) - y²

C.E.: 3-2x+y > 0

g(x, y) ≠ 0

g(x, y) = 0: 3-2x+y=0; y=2x-3^x/_y0

ig(0,0) = 3 ≥ 0

Nel semipiano contenente l'asse y g è positivo. L'insieme di definizione include la retta:

D_f = {(x, y) ∈ ℝ²: y ≥ 2x - 3}

La frontiera è la retta

D_f ⊆ D_f → D_f CHIUSO

D_f ∩ D_f ≠ ∅ → D_f NON APERTO

D_f CONNESSO

Esercizio

f(x, y) = log (3x + y + 1) - 1/√(2y - x)

C.E.:

• {3x + y + 1 > 0
• 2y - x > 0
• {3x + y ≠ 0
• 2y - x ≠ 0

g₁(x, y) > 0

g₂(x, y) > 0

3x + y + 1 = 0

y = -3x - 1

g₁(0, 0) = +1

g₁ ∩ g₂

• {3x - y + 1 = 0
• 2y - x = 0 →
• x = -2/7
• y = -1/7

D_f = {(x, y) ∈ ℝ²: x < -2/7, y > -3 - 1} ∪ {(x, y) ∈ ℝ²: x > 2/7, y > 1/7x}