Chimica - Formule

In conclusione, l’incertezza assoluta in una somma algebrica (o in una combinazione lineare di più

termini) è sempre pari alla somma aritmetica dei contributi di incertezza assoluta in modulo, mentre

l’errore assoluto è dato dalla somma algebrica (con il proprio segno) dei contributi degli errori assoluti.

D) Prodotto di due grandezze. );

= ⋅ ± ( ± ( )

Esempio: ; misure dirette

( ) ( ( ) )

( )

± () = ⋅ ± ()

misura indiretta: ( )

Anziché valutare l’errore assoluto, conviene valutare quello relativo, per poi maggiorarlo, trovando

poi l’incertezza relativa ed infine quella assoluta: 2

( )< ( )<

; ;

() − ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

() = = = =

⋅ ⋅

( ) ( )

) )

⋅ ( + ⋅ (

) ( ( ) )

≅ ≅ ( + ( )

( )

⋅

( )

(somma degli errori relativi) ) )

( = − ; ( = −

Nella relazione precedente si è considerato che in realtà e che il

( ( ( ) ) )

) ))

(( ⋅ ( ( ⋅

prodotto è un infinitesimo di ordine superiore (2° ordine) rispetto alla somma

( ) )

) ))

( + ⋅ ( (infinitesimo di 1° ordine), e risulta pertanto trascurabile rispetto quest’ultima.

( ( )

Il calcolo dell’incertezza relativa prosegue come al solito:

|()| |( ) )| |( )| |( )| ) )

= + ( ≤ + < ( + ( = ()

( ) ( ) ( )

(somma delle incertezze relative) || )

() = ⋅ () = | ⋅ | ⋅ (( + ( ))

Per cui, l’incertezza assoluta si ottiene come: ( ) ( )

E) Prodotto di più grandezze. ); );

= ⋅ ⋅ … .⋅ ± ( ± ( … ± ( );…

Esempio: ; misure dirette

( ) * ( ( ) ) * *

( )

± () = ⋅ ⋅ … ⋅ ± ()

misura indiretta: ( ) *

Si può facilmente dimostrare che quanto detto per il prodotto di due sole grandezze si estende anche al

prodotto di più di due:

() − ) )+.

() = = = ( + ( . +( )

( ) *

|()| |( ) )+. )| |( )|+. )| )

= + ( . +( ≤ . +|( < ( + ⋯ + ( )

( ) * ( * ( *

Per cui, l’incertezza assoluta si ottiene come:

|| | | )

() = ⋅ () = ⋅ … ⋅ ⋅ [( + ⋯ + ( )]

( * ( *

F) Prodotto di grandezze per una costante. );

= ⋅ ⋅ , ∈ ; ± ( ± ( )

Esempio: misure dirette

( ) ( ( ) )

( )

± () = ⋅ ⋅ ± ()

misura indiretta: ( )

Valutiamo l’errore relativo, come per il punto D), per poi maggiorarlo, trovando quindi l’incertezza

relativa ed infine quella assoluta: 3

() − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) )

() = = = = ≅ ( + ( )

( )

⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )

Come si può notare, nel calcolo dell’errore relativo scompare del tutto la costante moltiplicativa. Il

calcolo dell’incertezza relativa prosegue poi come al solito:

|()| |( ) )| |( )| |( )| ) )

= + ( ≤ + < ( + ( = ()

( ) ( ) ( )

| | ) )]

() = ⋅ ⋅ ⋅ [( + (

Per cui, l’incertezza assoluta si ottiene come: ( ) ( )

G) Potenza di una grandezza.

(+ , )

= , ℎ ∈ ± (

Esempio: misura diretta: ( ( (+

± () = ± ()

misura indiretta:

(+

Osservando che è pari al prodotto di h fattori tutti uguali a , il caso si riconduce al prodotto di più

(

grandezze, il cui errore relativo di misura è ovviamente, come nel caso F):

) )

() − ( ( ) (

( ( ( ) )+. )

() = = ≅ + + ⋯+ = ( + ( . +( = ℎ ⋅ ( )

( ( ( (

( ( ( ,

|()| |ℎ |( )| )

= ⋅ ( )| = |ℎ| ⋅ < ℎ ⋅ ( = () ℎ ∈

(in quanto per ipotesi )

( ( ( (+

||

() = ⋅ () = E E ⋅ ℎ ⋅ ( )

Per cui, l’incertezza assoluta si ottiene come: (

Â

Î

h

Si dimostra che analoghe conclusioni si hanno anche nel caso in cui :

); |( )| |ℎ )| |ℎ| |( )| |ℎ| )

() = ℎ ⋅ ( = ⋅ ( = ⋅ < ⋅ ( = ()

( ( ( ( (

(+

||

() = ⋅ () = E E ⋅ |ℎ| ⋅ ( )

Per cui, l’incertezza assoluta si ottiene come: (

( (-. = -

= =

Esempio di grandezza reciproca: , in cui . Per cui, si ha facilmente:

h 3

"

# !

); ) |ℎ| ) |−3| )

() = ℎ ⋅ ( ( = ⋅ ( = ⋅ ( = 3 ⋅ ( )

( ( ( ( (

(-.

|| | |

e quindi: () = ⋅ () = ⋅ 3 ⋅ ( )

( # )-(

!

= = ⋅

Rientrano pertanto in questo caso anche i rapporti, ad esempio: .

(

# #

Applicando le regole sopra esposte, si ottiene facilmente: 4

) ); |()| |( ) )| |( )| |−( )| ) )

() = ( − ( = − ( ≤ + < ( + (

( ) ( ) ( ) ( )

= ()

( ) )]

() = N N ⋅ [( + (

( )

)

H) Formule monomie complesse.

() );

= ⋅ √ ± ( ± ( )

Esempio 1: ; misure indirette:

) ( ( ) )

()

± () = ⋅ P ± ()

misura indiretta: )

Applicando le ultime regole, si ha facilmente:

1 1

) ); ) );

() = 2 ⋅ ( + ⋅ ( () = 2 ⋅ ( + ⋅ (

( ) ( )

2 2

1

()

|| ) )T

() = ⋅ () = E ⋅ P E ⋅ S2 ⋅ ( + ⋅ (

) ( )

2

Esempio 2: $ (.

P

= .(.0

8 ⋅ ⋅

) ); );

± ( ± ( ± ( )

misure diretta: ( ( ) ) . .

$ !"

1&

± () = V W ± ()

misura indiretta: !,&

2⋅& ⋅&

# "

Applicando le ultime regole, si ha facilmente:

3 3

) ) ) ) ) )

() = ⋅ ( − ( − 1,7 ⋅ ( () = ⋅ ( + ( + 1,7 ⋅ (

( ) . ( ) .

5 5

$ !"

1& .

|| ) ) )\

() = ⋅ () = Z Z [ ⋅ ( + ( + 1,7 ⋅ (

( ) .

!,&

2⋅& ⋅& 4

# "

I) Determinazione dell’incertezza assoluta mediante calcolo differenziale. = ( , , … )

Come è noto dall’Analisi Matematica, data una funzione reale di più variabili reali ( ) *

si dimostra che la variazione infinitesima di x (o differenziale totale di x) è una combinazione lineare dei

, ,

differenziali delle variabili …, avente per coefficienti le derivate parziali della funzione

( ) .

rispetto alle stesse variabili: 5

;( )<

, , , . .

( )

, , , . . ( ) .

( ) .

= V Z W ⋅ + V Z W ⋅ + ⋯

= =

( )

5 5

( )

≠1 ≠2 6 ( )

= ( ) =

In particolare, per una funzione di una sola variabile si ha: .

( ( (

#

() < → () ≅ ),

Pertanto, nell’ipotesi di errori piccoli rispetto alle misure (ovvero si ha:

(7

;( )<

, , , . .

( )

, , , . . ( ) .

( ) . ) )

() = V Z W ⋅ ( + V Z W ⋅ ( + ⋯

= =

( )

5 5

( )

≠1 ≠2

Differenziali notevoli ed implicazioni sul calcolo approssimato dell’errore assoluto

6 ( )

= ⋅ → = ⋅ = ⋅ → () ≅ ⋅ ( )

( ( ( ( (

)

= ± → = ± → () ≅ ( ± ( )

( ) ( ) ( ) ) )

= ⋅ → = ⋅ + ⋅ → () ≅ ⋅ ( + ⋅ ( →

( ) ) ( ( ) ) ( ( )

) )

⋅ ( + ⋅ (

) ( ( ) )

() = = ( + ( )

( )

⋅

( )

1 1

( ( (

) )

= → = ⋅ − ⋅ → () ≅ ⋅ ( − ⋅ ( →

( ) ( )

) )

) ) )

) )

1

( ) )

() = e ⋅ − ⋅ f ⋅ = ( − ( )

( ) ( )

)

) (

) )

1 1 1 (

!

" ( ) )

= # → = ⋅ = ⋅ → () ≅ ⋅ ( → () = &sdo