Formule degli Svolgimenti degli esercizi - Analisi Matematica

Prodotto cartesiano

X = cartesiano

Distanza tra 2 punti

P₁ = (x₁, y₁)P₂ = (x₂, y₂)

d = √(x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²

Inclinazione della retta

y = mx      m = pendenza retta

m = (y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)

Eq. esplicita

y = mx + q

Eq. implicita

ax + by + c = 0

Eq. circonferenza nel piano

x² + y² + ax + by + c = 0

Eq. di una parabola

y = ax² + bx + c

Eq. ellisse

x²/y² + y²/b² = 1

Eq. iperbole

x²/y² - y²/b² = 1

Iperbole equilatera

y = 1/x

Equazioni e disequazioni

Equazione

Grado I: ax + b = 0 → x = -b/a

Grado II: ax² + bx + c

Calcolo Δ = b² - 4ac

• Δ > 0
• Δ = 0
• Δ < 0

x₁,₂ = (-b ± √Δ) / 2a      = ±b √b² - 4ac / 2a

Logaritmi

c = Argomento del logaritmob = Base (realismi > 1)y = Numeri reali, > 0

Funzione Inversa

b^y = a

Proprietà

[1] Log_b b = 1Base e Argomento coincidono

[2] Log_b 1 = 0Qualunque numero elevato a 0 fa 1 o non può essere a

[3] Log_b (x^a) = a Log_b xRegola dell'esponenziale

[4] Log_b (x·y) = Log_b x + Log_b yLogaritmo del prodotto

[5] Log_b (x/y) = Log_b x - Log_b yLogaritmo del rapporto

[6] Log_b x = Log_c x / Log_c b

• x > 0
• b > 0, b ≠ 1
• c > 0, c ≠ 1

[7] Log_e x = Log x

[8] Log₁₀ x = Lnx

Tipi di Logaritmo 7-8

• - Log_e x = Lnx;
• - Log₁₀ x = Log x

1. Verifica se è un limite notevole.
   • a) Se semplice risolvo come limite notevole
   • b) Se complicato usa altre opzioni se possibile
2. (b) Posso risolvere con le gerarchie (infiniti e infinitesimi)
   • b1) Risolvo con le gerarchie
3. (b) Posso usare il raggruppamento
   • b2) Se fattibile risolvi con raggruppamento
   • b3) Se non è fattibile risolvo con il procedimento (a)

È un limite notevole

Procedimento complicato

Lo svolgo con i limiti notevoli

Lo risolvo come limite notevole

È risolvibile con le gerarchie

Posso usare il raggruppamento

Risolvo

DERIVATE

Rapporto Incrementale

f'(x₀) = Lim_{x → x0} (f(x) - f(x₀))/(x - x₀)

Lrm_d f(x₀) = Lim_{x → x0⁺} (f(x) - f(x₀))/(x - x₀)

Lrm_s f(x₀) = Lim_{x → x0⁻} (f(x) - f(x₀))/(x - x₀)

Somma: f ± g derivabile in x₀ : (f ± g)'(x₀) = f'(x₀) ± g'(x₀)

Prodotto: f · g derivabile in x₀: (f · g)'(x₀) = f'(x₀)g(x₀) + f(x₀)g'(x₀)

Quoziente: f/g , g ≠ 0 derivabile in x₀:

(f/g)'(x₀) = (f'(x₀)g(x₀) - f(x₀)g'(x₀))/[g(x₀)]²

(1/g)'(x₀) = -g'(x₀)/[g(x₀)]²

Teorema della Composizione (g₀f)'(x₀) = g'(f(x₀))f'(x₀)

1. [m/g(x)] = D[g(x)]/g(x)
2. [g²(x)] = 2g(x) · D[g(x)]
3. [sin(g(x)) = cos(g(x)) · D[g(x)]

Teorema dell'Inverso (f⁻¹)'(y = 0) = 1/f'(x₀)

Continuità e Derivabilità

1. Continuità Lim_{x → x0} f(x) = f(x₀) [Lm_{x → x0⁻} = Lm_{x → x0⁺}] = stesso risultato
2. Studiare la derivabilità in un punto, devi confrontare i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale nel punto coincidono

Lim_{x → x0⁻} (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) = Lim_{x → x0⁺} (f(x) - f(x₀))/(x - x₀)

[1] Segno e Zeri

• f(x) > 0
• f(x) = 0

[5] Derivata f' = 0

• - Per i punti stazionari
• - Faccio il limite con x che tende ai valori trovati se:
  • f' = +∞ → Punto di cuspide
  • f' = ±∞ → Punto a T_B verticale

[6] Derivata f' > 0

1. Segno della funzione trovo se i punti stazionari di max o di min rel
2. Pongo f'(x) = 0 (Nominatore)
3. Trovo i punti stazionari, il risultato = 0
   • f'(x) > 0 → Monotonia crescente
   • f'(x) < 0 → Monotonia decrescente
4. Quando il mio risultato è positivo (>0) o negativo (<0), pongo il mio risultato:
   • Es: 2 - x > 0 → x < 2
   • 2 - x < 0 → 2 < x

[7] Concavità

Serve la f''(x) e vediamo che f''(x) > 0 concava

1x1

• Non è derivabile in 0
• Esiste il f' ovunque in R
• Connessa

Vaporizzo a le curve contrapposte