Formule degli Svolgimenti degli esercizi - Analisi Matematica

Prodotto cartesiano e distanza tra due punti

Prodotto cartesiano e la distanza tra due punti sono concetti fondamentali nella geometria euclidea. Consideriamo due punti P₁(x_p, y_p) e P₂(x, y). La distanza tra questi punti è calcolata come:

√((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²)

Inclinazione della retta

L'inclinazione o pendenza della retta y = mx è data da:

m = (y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)

Equazioni delle rette

• Eq. esplicita: y = mx + q
• Eq. implicita: ax + by + c = 0

Equazione della circonferenza nel piano

x² + y² + ax + by + c = 0

Equazione di una parabola

y = ax² + bx + c

Equazione dell'ellisse

(x² / y²) + (y² / b²) = 1

Equazione dell'iperbole

(x² / y²) - (y² / b²) = 1

Iperbole equilatera: y = 1 / x

Equazioni e disequazioni

Equazione di primo grado

ax + b = 0 -> x = -b/a

Equazione di secondo grado

ax² + bx + c
Calcolo Δ = b² - 4ac

• Δ > 0
• Δ = 0

x_1,2 = (-b ± √Δ) / 2a

Disequazioni

• >, <, >=, <= Grado I: ax + b * 0
• Grado II: ax² + bx + c * 0

Prodotti notevoli

• Quadrato di un binomio con somma: (a+b)² = a² + 2ab + b²
• Quadrato di un binomio con differenza: (a-b)² = a² - 2ab + b²
• Differenza di quadrati: a² - b² = (a-b)(a+b)
• Cubo di un binomio con somma: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• Cubo di un binomio con differenza: (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
• Prodotto notevole della somma di due cubi: a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)
• Prodotto notevole della differenza di due cubi: a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
• Quadrato di un trinomio con somma: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
• Quadrato di un trinomio con differenza: (a - b + c)² = a² + b² + c² - 2ab + 2ac - 2bc
• Trinomio notevole: (x + a)(x + b) = x² + Sx + P, S = a + b , P = a ° b

Proprietà delle potenze e operazioni algebriche

• Prodotto di potenze con la stessa base: a^m ⋅ aⁿ = a^m+n
• Quoziente di potenze con la stessa base: ^am/_aⁿ = a^m−n
• Potenza di potenza: (a^m)ⁿ = a^m⋅n
• Prodotto di potenze con stesso esponente: aⁿ ⋅ aⁿ = (a ⋅ b)ⁿ
• Quoziente di potenze con stesso esponente: ^an/_bⁿ = (^a/_b)ⁿ

Frazioni di frazioni

• Caso a) ^A/_B ▬▬▬ ^C/_D = A : B : C : D = (^A/_B) ⋅ (D : C) = ^{A ⋅ D}/_{B ⋅ C}
• Caso b) ^A/_B ▬ ^C/_B = ^{A ⋅ C}/_B
• Caso c) ^A/_B ▬ ¹/_C = ^A/_{B ⋅ C}

Logaritmi

Log_ba = y dove b^y = a
a = argomento del logaritmo
b = base (positivi > 1)
y = numeri reali, + O -

Proprietà

1. Log_bb = 1 (Base e argomento coincidono)
2. Log_b1 = 0 (Qualunque numero elevato a 0 dà 1)
3. Log_b(x^α) = α Log_bx (Regola dell'esponenziale)
4. Log_b(x·y) = Log_bx + Log_by (Logaritmo del prodotto)
5. Log_b(x/y) = Log_bx - Log_by (Logaritmo del rapporto)
6. Log_bx = Log_cx / Log_cb

x > 0, b > 0 , b ≠ 1, c > 0, c