formule analisi matematica 2

Formula di Pappo-Guldino

Vol= ²∫_a^bf²(z)⋅dR

Integrali doppi e cambiamento di coordinate

Cambiamento coordinate: { x = x(u,v) y = y(u,v) }_T = { x = x(u,v) ∣ det( _JΣ(u,v) ) = ρ ∣ y = y(u,v) }

Derivate direzionali

∂f (x₀,y₀) → ⇒ = ∂f ∖ ∂f

Teorema di Weierstrass

I continui in K → compacti

Max e Min relativi

∇f((x₀,y₀) ∣ is 0

Classificazione

• Determinante (H_f (x₀,y₀)) < 0 → Sella
• Determinante ² _∇ f ≥ 0 ↔ minimo
• Determinante (H_f (x₀,y₀)) > 0 e f_xx (x₀,y₀) ≥ 0 → minimo
• Determinante (H_f (x₀,y₀)) > 0 e f_xx (x₀,y₀) ≤ 0 → massimo

Formula di Pappo-Guldino

Vol = 2π ∫¹₀ f²(x') cR = 1^*/2

Integrali doppi e cambiamento di coordinate

Cambiamento coordinate ∬D:{x = x(u,v)}{y = y(u,v)}Jξ(u,v) = ∣∣ u xv> xu yv v yu ∣∣∬T→D :∬t f (x(u,v), y(u,v)) • det (Jξ (u,v)) • dudv

Coordinate polari

{x = ρ cos (ϑ) y = ρ sin (ϑ) det (J_ξ (ρ, ϑ)) = ρ{ ρ>0, 0≤ϑ≤2π}

Derivate direzionali

∂f/∂t (x₀, y₀) = lim_h→0 [ (x₀+ht, y₀+kt) - f(x₀, y₀)] / t x' = (α,β)

Teorema di Weierstrass

I continui in K, chiusi = ∃ amm.ti che ∈ int

Max e Min relativi

∇f (x₀, y₀ = (0,0)) ∇f : ∂f/∂x (x₀, y₀) ∂f/∂y (x₀, y₀)

Classificazione

• Determinante (H_f (x₀, y₀)) < 0 → Sella
• Determinante (H_f (x₀, y₀)) > 0 e f_xx (x₀, y₀) ≥ 0 → Minimo
• Determinante (H_f (x₀, y₀)) > 0 e f_xx (x₀, y₀) ≤ 0 → Massimo

Max e min vincolati

All'interno un segno di Fermat. Nel bordo cus → moltiplicatori di Lagrange: ℒ(x,y,μ) = f(x) - μ g(x) {f(x): funzione, e stato g(x): vincolo (ramsible = 0)}

Setup

∇ℒ (x, y, μ) e trovi punti critici sul bordo

Nota

Controllare permutazioni da Non Gondilabita

Concavità / Convessità

• H_f(x,y) semidefinita positivo → convessa
• H_f(x,y) semidefinita negativo → concavo

EDO di I ordine: variabili separabili

1. g' (x) = α se g (x) = 0 per qualche x ∈ J
2. g' (x) = G^-1 (F (x) + c) con G = ∫_1/g dy, F = ∫ϕ (x) dx

Lineare

y' (x) = g₀ e^{-A₀ (x)}y - g (x) A₀ (x) = ∫_x0^xA (t) dt

EDO di II ordine: omogenea

Δ > 0 y₀ (x) = C₁ e^{μ₁ x} + C₂ e^{μ₂ x}

Δ y₀ (x) = e^αx (C₁ cos (βx) + C₂ sin (βx))

μ_1,2 = α ± i β

Δ = 0 y₀ (x) = C₁ e^{μ₁ x} + t₂ xe ^μx

Particolare

• Forzante esponenziale
• Forzante polinomiale
• Forzante trigonometrica