Formulario per esame Analisi 2

Modulo Retta tra due punti

||u|| = √(x + y + z)
u = (x,y)
√x = |x|

Distanza tra due punti

d = √((x - x)^2 + (y - y)^2 + (z - z)^2)
|u|⋅|v| cos(α)⟂= 0 → ⋅v ⋅v ⋅vu +u +u = 0

Proiezione

ℝ^3 x = x + t⋅a
y = y + t⋅b
z = z + t⋅c
V = (x-x , y-y , z-z ) = (a,b,c)
P = (x , y , z ) = passaggio

Prodotto vettoriale

C = u x v
Piano: x = x + t m + s⋅n
π = vettore risultante ⋅ ⋅a( )+ b( ) + c( ) = 0
y = y + t m + s n
z = z + t m + s⋅n
m=(1,0,f(x,y))
n=(0,1,f(y,z))

Distanza P - π

Distanza P - π: (x , y , z )

FORME QUADRATICHE

|ax + by + cz + d| π: ax + by+ cz + d = 0
π = polinomio di 2° grado di n variabili
π⟂P|dist. Min: π ∩ (r π per P)

x xy xz x -λ xy xz r param.

in π, ottengo t, sostituisco in retta param.A = A-λId =2 2yx y yz yx y -λ yz → coordinate P LIMITI2 2zx zy z zx zy z -λ Scala Infiniti n x xx → 0 : log x – x – x – a – x! – xℝ ℝn →Singolare → det=0 ∞ x x nx → : x – x! - a – x – x – log xTangente // in (x,y,z)Det (A-λId) = - Trovo r’(t) generico- Sostit.(x,y,z) nella parametr. → Passaggio- Sostituisco la t in r’(t) → V dir tangente (a,b,c)Sferiche/Polari ⟂Normale in (x,y,z)come tangente, poi:⋅- (a,b,c) (n ,n ,n ) = 01 2 3- Pongo n =1 e assegno le altre in modo da1rispettare la condizione trovata → V dir normaleGRADIENTEdirezione tangenteDERIVATA DIREZIONALECilindriche ∇= f(x ,y ) · v0 0PIANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE* in (x ,y )0 0∇z = f(x ,y ) + f(x ,y ) · (x-x , y-y )0 0 0 0 0 0*solo se è differenziabile SostituzioneSuccessioniSTUDIO FUNZIONE

a(x,y)→ (0,0)

lim (1/n ) lim f(x)n→∞

(x,0)→ (0,0)- Dominio

(0,y)→ (0,0)HESSIANOnradici: √f(x) = ± f(x) se n pari → f(x) ≥ 0

a(x,y)→ ∞ lim (n )n→∞frazioni: den ≠ 0 logaritmi: arg ˃ 0

TAYLOR se ||(x,y)||→ ∞ lim f(x) n→∞

Arcsin: (-1, 1) Tan: ≠ π/2+kx (x,0) → (∞,0)(0,y) → (0,∞)- Segno f(x) ≥ 0

Coordinate polariMOLTIPLICATORIContinuità → Serie Derivabilità P=(h,k) lim p→ 0DI LAGRANGElim f(x) = lim f(x) = Lx→ x x→ x0- 0+ Conservativo ↔Differenziabilità PotenzialeDerivate in croce uguali∄- Regolarità t|r ’ ( t ) = (0,0), u , v | r ᴧ r (0,0)= Lavoro indipendente dal percorso → ʃ F ds = 0u v ɣℝ ℝ F(x,y,z) = (f (x,y,z),f (x,y,z),f (x,y,z))n n→ 1 2 3- Punti Stazionari - Max/Min* Irrotazionale ↔ rot(F)= 0Campo vettoriale1) Calcolo derivate parziali generiche ʃF =...+c(y)POTENZIALE2)

Pongo derivate parziali = 0 → trovo (x ,y ) 10 03)

Calcolo derivate seconde generiche (Hf)

Sostituisco (x ,y )0 0 ∂U =...+c’(y) → ʃc’(y) = c(y)+k

Trovo det: 5) Autovalori: ∂y- det>0, 1°+ → min rel - Def+ → Min- det>0, 1°- → max rel - Def- → Max DIVERGENZA- det<0 → sella; - Indef → Sella- det = 0 → non si sa ROTORE*Max/Min con Vincolo: JACOBIANO

Interno (→ f, Hf)∇Bordo (→ f(x)=0) f(x,y,z) =(f (x,y,z),f (x,y,z))1) Parametrizzo vincolo (Φ) Triangolo: t p + ( 1 - t ) q 1 22) g ( t ) = f ( Φ ( t ) ) ( = f ○ Φ ( t ) )3) Derivare g(t) e trovare t per cui g’(t)=0

LAVORO Curvilineo 2°Specie4) Tornare in x, y tra t |A=(x , y ) e t |B=(x , y )A A A B B B5) Hf, sostituisco punti stazionari e valuto in f devo trovare le tAssoluti: lim f(x,x) (x,y)→ ±∞, Spigoli figure