Formulario Statistica

M (X)

1 1

4.1.4 proprietà della media aritmetica

Z = X + Y M (Z) = M (X) + M (Y )

⇒ 1 1 1

4.2 Media Geometrica √ N

N

M (X) = ∏ x

0 i

i=1

4.3 Media Armonica N

M (X) =

−1 N 1

∑ x

i

i=1

4.3 Media Quadratica √ N

2 1 2

M (X) = ∑ x

2 N i

i=1

5 - Variabilità

​

La variabilità​ è la tendenza di un carattere ad assumere modalità differenti.

​

Si ha assenza di variabilità​ quando un carattere assume il medesimo valore su tutte le

unità statistiche di una popolazione ( ).

x = x = .

.. = x = M

1 2 N 1

5.1 classificazione indici di variabilità

esistono 3 categorie di indici che misurano la variabilità:

1. Intervalli di variazione​ : differenza tra valori che occupano particolari posizioni nella

distribuzione;

2. Scostamenti medi​ : media di scostamento da un valore di riferimento;

3. Differenze medie​ : sintesi degli scostamenti tra tutte le possibili coppie di valori;

5.2 Intervalli di variazione

differenza tra valori che occupano particolari posizioni nella distribuzione;

5.2.1 campo di variazione x − x

(N ) (1)

5.2.2 differenza interquartile Q − Q

3 1

prende il 50% delle osservazioni

5.2.3 Differenza interdecile D − D

9 1

Prende l'80% delle osservazioni

5.3 Scostamenti medi

Scelto un valore medio (generalmente o ) di riferimento, calcolo tutti gli

M M M e

1

scostamenti e ne faccio un'opportuna media N

1

S = ∑ |

x − M |

M i

N i=1

5.4 Deviazione standard (o scarto quadratico medio)

5.4.1 Distribuzione di unità √ N 2

1

σ= ∑ (x − M )

i 1

N i=1

5.4.2 Distribuzione di frequenza √ k 2

1

σ= ∑ (x − M ) n

i 1 i

N i=1

5.5 Varianza N 2

1

2

V ar(X) = σ = ∑ (x − M )

i 1

N i=1

NB​ : non è un indice di variabilità poiché non ha la stessa unità di misura del fenomeno

5.5.1 Formula indiretta per il calcolo della Varianza

N 2

1

2 2

σ = ∑ x − M

i 1

N i=1

5.5.2 Varianza nei e Varianza tra i gruppi k

1 2

V ar = ∑ σ n

nei j

N j

j=1

k 2

1

V ar = ∑ (x + x ) n

tra j j

N j=1

2

σ = V ar + V ar

nei tra

5.6 Differenze medie

Sono indici definiti da una sintesi degli scostamenti tra tutte le possibili coppie di valori.

N

S = 2 ∑ x (2j − N − 1

)

(j)

j=1

5.6.2 Delta di Gini (con ripetizione) S

Δ =

R 2

N

5.6.2 Delta di Gini (senza ripetizione) S

Δ= N (N −1)

NB​ : le parentesi vogliono dire che le modalità del carattere devono essere ordinate

5.6.3 Delta di Gini in distribuzione in frequenza

k

S = 2 ∑ x n (2C − N − n )

j j j j

j=1

6 - Ineguaglianza (Concentrazione) ​

Studio che può essere applicato a tutti i caratteri trasferibili (noi parleremo di reddito​ ).

6.1 Gruppo inferiore e Gruppo superiore

- Gruppo inferiore​ : costituito dalle unità statistiche con redditi più bassi;

i

- Gruppo superiore​ : costituito dalle unità statistiche con redditi più elevati;

N − i

6.2 Reddito cumulato

Il reddito cumulato in corrispondenza della posizione -esima è formato da:

i

i

Q (X) = ∑ x

i (t)

t=1

Si noti che Q (X) = T

N

6.3 Media inferiore, Media superiore e Media generale

Media dei gruppi inferiori​ : i

Q

− 1

M (x) = = ∑ x

i

i (t)

i i t=1

Media dei gruppi superiori​ : T −Q

+

M (x) = i

i N −i

Media generale​ : N − +

[ ]

1 1

M (X) = ∑ x = M (X) i + M (X) (

N − i

)

* *

(t) i i

N N

t=1

6.4 Requisiti di un indice di Ineguaglianza/concentrazione

​

1) In presenza di equiripartizione​ l'indice deve essere uguale a zero;

​

2) In presenza di massima ineguaglianza​ l'indice deve assumere valore 1 (almeno

quando la numerosità della popolazione );

N → ∞

​

3) L'indice deve essere invariante alle trasformazioni di scala​ ;

4) L'indice deve diminuire se tutti i valori vengono aumentati di una quantità ;

x a > 0

(i)

5) L'indice deve essere sensibile ai trasferimenti;

6.5 Indice di Bonferroni

è basato sul confronto tra la media inferiore e la media totale

6.5.1 Indice puntuale − −

M (X)−M (X) M (X)

V (X) = =1−

1 i i

i M (X) M (X)

1 1

Questo indice da un'informazione "puntuale" sull'ineguaglianza, e cioè, il suo risultato

dipende dalla particolare suddivisione in gruppo superiore ed inferiore

6.5.2 Indice generale

sintetizzo gli valori di con la

N V (X) M (X)

i 1

N N −

M (X)

1 1

B (X) = ∑ V (X) = 1 − ∑ i

i

N N M (X)

1

i=1 i=1

Commento​ : medialmente il reddito medio del gruppo inferiore è pari al x% del reddito medio

dell'intera popolazione.

6.6 Indice di Zenga

confronta la media superiore con quella inferiore

6.6.1 Indice puntuale + − −

M −M M

I (X) = =1−

i i i

+ +

i M M

i i

6.6.2 Indice generale N N −

M

1 1

I (X) = ∑ I (X) = 1 − ∑ i

+

i

N N M i

i=1 i=1

6.7 Indice di Gini

confronta la quota della popolazione con la quota del reddito

- quota di popolazione​ : frequenza relativa del gruppo inferiore

i

N

- quota di reddito​ : reddito cumulato del gruppo inferiore diviso il reddito totale

Q

i

T

6.7.1 Indice puntuale Qi −

i − M (X)

i

ρ

( ) = = [

...] = 1 − = V (X)

N T i i

i

N M (X)

1

N

6.7.2 Indice generale N N

1 i i 1

G

(X) = ∑ ρ

( ) = ∑ V (X) i

* *

i

N N

N N

i

∑ i=1 ∑ i=1

i

N

i=1 i=1

7 - Simmetria

7.1 simmetria di due valori rispetto ad un terzo

​

Dati due valori e , con , si dicono simmetrici​ intorno ad un valore , con

x x x > x M

j i j i

, se

x ≤ M ≤ x

i j (

x − M ) = (

M − x )

j i

ovvero

x + x − 2

M = 0

j i

​

Quando l'uguaglianza è falsa ci sarà asimmetria​ .

7.2 asimmetria puntuale

​

Chiamiamo l'indice di asimmetria puntuale :

A (M )

1

A (M ) = x + x − 2

M

i (i) (N −i+1)

7.3 simmetria nel caso di N valori ​

Gli valori ordinati​ si dicono simmetrici rispetto ad​ se tutte le

N x ≤ .

.. ≤ x M

(1) (N )

asimmetrie puntuali sono nulle​ .

A (M ) = x + x − 2

M = 0 = 1

...N

∀i

i (i) (N −i+1)

Se è diverso da zero anche per un solo valore, allora non c'è simmetria.

A (M )

1

7.4 Sintesi delle simmetrie puntuali (indice del verso di asimmetria)

N

1

M (A (M e)) = ∑ (x + x − 2

M e) = 2

(M − M e)

1 i (i) (N −i+1) 1

N i=1

NB:​ M = M = M e

1

ATTENZIONE​ :

- se c'è simmetria => 2

(M − M e) = 0

1

- se => non è detto che ci sia simmetria

2

(M − M e) = 0

1

7.5 Indice di intensità di Asimmetria N

1

M (|A (M e)|) = ∑ |

A (M e)|

1 i i

N i=1

l'indice è sempre :

≥ 0

​

- = 0 se e solo se​ c'è simmetria;

- >0 se c'è asimmetria

Nei casi di ambiguità, in cui ma si può trarre informazione

M (A (M e)) = 0 M (|A (M e)|) > 0

1 i 1 i

sul verso di asimmetria utilizzando l'indice "alternativo"del verso, dato da:

N

3 3

1

M ((x − M e) ) = ∑ (x − M e)

1 i

N i=1

NB​ : nelle distribuzioni di frequenza non è possibile usare questo indice

8 - interpolazione

8.1 determinazione dei parametri della retta a minimi quadrati

︿ ︿

α = y − α x

0 1

︿ Cod(X,Y ) Cov(X,Y )

α = =

1 Dev(X) V ar(x)

8.1.1 procedimento indiretto per il calcolo della codevianza e covarianza

N

C od(X, Y ) = ∑ x y − N x y

i i

i=1 N

1

C ov(X, Y ) = ∑ x y − x y

i i

N i=1

8.2 Indice di determinazione della bontà di adattamento della retta

2 2

interpolante: I (o R )

d

8.2.1 Varianza Spiegata e Varianza Residua N 2

1

V = V ar(Y ) = ∑ (y − y )

T otale i

N i=1

N ︿ 2

1

V = ∑ (y − y )

Spiegata i

N i=1

N ︿ 2

1

V = ∑ (y − y )

Residua i

N i

i=1

8.2.2 Devianza Spiegata e Devianza Residua N 2

D = D ev(Y ) = ∑ (y − y )

T otale i

i=1

N ︿ 2

D = ∑ (y − y )

Spiegata i

i=1

N ︿ 2

D = ∑ (y − y )

Residua i i

i=1

2

8.2.3 Calcolo I d ︿

quota di variabilità di spiegata da (retta interpolante)

y y 2 D V

I = =

s s

d D V

T t

2 è un rapporto di composizione, e quindi l'indice è compreso tra

I [

0, 1

]

d ︿

2

- se

I = 0 α = 0 D = D

⇒

d R T

2

- se la retta interpolante passa per gli N punti

I = 1

d 2

8.2.4 espressione alternativa I d 2 2

Cod(X,Y ) Cov(X,Y )

2

I = =

d Dev(X)Dev(Y ) V ar(X)V ar(Y )

D , α e Dev(X)

8.2.5 legame tra s 1 ︿

2

D = α D ev(X)

*

S 1

9 - Statistica Bivariata

9.1 calcolo delle frequenze teoriche

n n

︿ *

i j

n = * *

ij N

9.2 calcolo delle Contingenze ︿

C = n − n

ij ij ij

i = 1

, .

.., r iga

j = 1

, .

.., c

olonna

9.2.1 Contingenze relative ︿

C n −n

ij ij ij

ρ = = ︿

︿

ij n

n ij

ij

9.2 - indici di connessione

Sintesi delle contingenze relative

9.2.1 Indice di Mortara

Media aritmetica ponderata del valore assoluto delle contingenze relative

r c r c

︿

1 1

M (|ρ |) = ∑ ∑ |

ρ | n = ∑ ∑ |

C |

*

1 ij ij ij ij

N N

i=1 j=1 i=1 j=1

9.2.2 Indice di Pearson

Media quadratica ponderata delle contingenze relative

r c r c

√ √ 2

(C )

︿

1 1 ij