Formulario Integrali per Analisi Matematica

INTEGRALI INDEFINITI NOTEVOLI

IMMEDIATI

1. ∫ k dx = kx + c
2. ∫ xⁿ dx = ^xn+1⁄_n+1 + c, n ≠ -1, n ∈ ℝ
3. ∫ ¹⁄_x dx = ln |x| + c
4. ∫ ¹⁄_a dx = ^{ln u}⁄_a + c
5. ∫ cos x dx = sin x + c
6. ∫ sin x dx = -cos x + c
7. ∫ ¹⁄_cos²x dx = Tan x + c
8. ∫ ¹⁄_sin²x dx = -cotg x + c
9. ∫ ¹⁄_√(1+x²) dx = arcsen x + c
10. ∫ ¹⁄_√(x²-1) dx = arc cos x + c
11. ∫ ¹⁄_x√(x²-1) dx = arc cos x + c
12. ∫ x^-1 e^ax dx = e^ax x + c

QUASI IMMEDIATI

1. ∫ g'(x) dx = g(x) + c
2. ∫ [f(x)]ⁿ g'(x) dx = [f(x)]ⁿ⁺¹⁄_n+1 + c
3. ∫ ^f'(x)⁄_f(x) dx = ln |f(x)| + c
4. ∫ ^f'(x)⁄_{ln a * f(x)} dx = ^f(x)⁄_{ln a} + c
5. ∫ [cos g(x)] g'(x) dx = sin g(x) + c
6. ∫ [sin g(x)] g'(x) dx = -cos g(x) + c
7. ∫ ^f'(x)⁄_{cos² f(x)} dx = tan g(x) + c
8. ∫ ^g'(x)⁄_{sin² g(x)} dx = cot g(x) + c
9. ∫ ^f'(x)⁄_{√(1-f(x)²)} dx = arc tan f(x) + c
10. ∫ ^f'(x)⁄_{√(1+f(x)²)} dx = arc sec f(x) + c
11. ∫ ^f'(x)⁄_{√(1-f(x)²)} dx = arc sin f(x) + c
12. ∫ ^-f'(x)⁄_{√(1-f(x)²)} dx = arc cos f(x) + c

PROPRIETÀ DI LINEARITÀ

1. ∫ [a f(x) + b g(x)] dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx con a,b ∈ ℝ
2. ∫_a^b f(x) dx = 0 ∫ f(x) dx con b = 0
3. ∫ {[f(x) + g(x)] x} = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx con a = b = 1

INTEGRALI INDEFINITI NOTEVOLI

IMMEDIATI

1. \( \int k \, dx = kx + c \)
2. \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, \, n \neq -1, \, c \in \mathbb{R} \)
3. \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + c \)
4. \( \int \frac{dx}{a+x} = \ln |a+x| +c \)
5. \( \int \cos x \, dx = \sin x + c \)
6. \( \int \sin x \, dx = -\cos x + c \)
7. \( \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + c \)
8. \( \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + c \)
9. \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + c \)
10. \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln |x+\sqrt{x^2+a^2}| + c \)
11. \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln |x+\sqrt{x^2 - a^2}| +c \)
12. \( \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + c \)
13. \( \int e^{x} dx = e^{x} + c \)
14. \( \int a^{x} dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + c \)

QUASI IMMEDIATI

1. \( \int [g(x)]' \, dx = g(x) + c \)
2. \( \int [g(x)]^n [g(x)]' \, dx = \frac{[g(x)]^{n+1}}{n+1} + c \)
3. \( \int \frac{[g(x)]'}{g(x)} \, dx = \ln |g(x)| + c \)
4. \( \int \frac{[g(x)]^{n}[g(x)]'}{a+[g(x)]^{n+1}} \, dx = \frac{1}{a} \ln |a+[g(x)]^{n+1}| + c \)
5. \( \int \cos[g(x)] [g(x)]' \, dx = \sin[g(x)] + c \)
6. \( \int \sin[g(x)] [g(x)]' \, dx = -\cos[g(x)] + c \)
7. \( \int \frac{[g(x)]'}{\cos^2[g(x)]} \, dx = \tan[g(x)] + c \)
8. \( \int \frac{[g(x)]'}{\sin^2[g(x)]} \, dx = -\cot[g(x)] + c \)
9. \( \int \frac{[g(x)]'}{\sqrt{a^2 - [g(x)]^2}} \, dx = \arcsin \frac{[g(x)]}{a} + c \)
10. \( \int \frac{[g(x)]'}{\sqrt{a^2 + [g(x)]^2}} \, dx = \ln \left| [g(x)] + \sqrt{[g(x)]^2 + a^2} \right| + c \)
11. \( \int \frac{[g(x)]'}{\sqrt{[g(x)]^2 - a^2}} \, dx = \ln \left| [g(x)] + \sqrt{[g(x)]^2 - a^2} \right| + c \)
12. \( \int \frac{[g(x)]'}{a^2 + [g(x)]^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{[g(x)]}{a} + c \)

PROPRIETÀ DI LINEARITÀ

1. \( \int [a f(x) + b g(x)] \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx \quad \text{con} \; a,b \in \mathbb{R} \)
2. \( \int c f(x) \, dx = c \int f(x) \, dx \quad \text{con} \; c \equiv 0 \)
3. \( \int [f(g(x))g'(x)] \, dx = F(g(x)) + c \)

INTEGRALE DI UN RAPPORTO TRA POLINOMI: CASI PARTICOLARI

1. \( \int \frac{1}{ax+b} \, dx = \)

Moltiplichiamo e dividiamo per la derivata del denominatore:

\( = \int \frac{c}{a}(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \ln \vert ax+b \vert +c \)

e ci riconduciamo all'integrale risolv quasi immediazio

2. \( \int \frac{1}{x^2+a^2} \, dx = \) \( \int \frac{1}{x^2/a^2+1}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{1}{1+y^2}\,dy=\frac{1}{a}arc\,tan\frac{x}{a}+c\)

Ci riconduciamo all'integrali quasi immediati.

3. \( \int \frac{1}{(x-a)^m} \, dx \) con \( m \neq 1 \)

\( \int (x-a)^{-m} \, dx = \frac{(x-a)^{-m+1}}{-m+1}+c=\frac{1}{1-m}(x-a)^{1-m}+c \)

4. \( \int \frac{ax+b}{cx+d} \, dx = \) con \( m \) grado di \( cx+d \), \(n\) grado di \( ax+b \)

Occorre operare la divisione tra i polinomi ottenendo il quoziente \( Q \) e il resto \( R \):\( cx+d: ax+b \) \( 2x+4 \), \( 3x-5 \) \( dx= \) \( 2x+4 \), \( 3x+5 \).\( R \)

Quindi si scrive: \( \int (Q+ \frac{R}{ax+b}) dx = \int Q \, dx +R \frac{1}{a}\ln\vert ax+b\vert +c \) ci riconduciamo al caso 1.

5. \( \int \frac{1}{ax^2+bx+c} \, dx = \)

Bisogna distinguere 3 casi in base al segno di \( \Delta \): \( \Delta 0

e^x + bx + c = è ammette due radici reali e distinte.

Allora e^x + bx+ c = e(x - x₁)(x - x₂) quando x è e.

e^x + bx + c = A₁/(x−x₁) + A₂/(x−x₂)

A = A/(x−x₁)(x−x₂) A₁+A₂=A. x₁−A. x₂

Riscriviamo: A₁+A₂= 0.

-A₁x₂+A₂x₁≠1.

Assumiamo quindi: ∫1/(ex + bx + c) dx = ∫A₁/x-x₁+A₂/x−x₂ dx =

∫ 1/(ex+bx+c) dx = 1/e ∫ A₁/x-x₁+A₂/x-x₂ dx =

ln |A₁ ln |x-x₁|+A₂ ln |x-x₂|) + c

6. ∫ (bx + k)/(ex² + bx + c) dx = -ln |k/2e

1/(ex² + bx + c)dx = (-ln|ax²/bx + c - ln|k/x² + bx +c = -ln

= ln |1>/2e

ln |2x + bx + k/2e| dx = -ln|2ex + b|

|x − b|/ln a ln (ex2 + bx + c

e^{x + bx} + b + c dx x+ c

= ln |A₂x/(ex2 + bx + c)|) + e/2 |e x₁ − a + A₂/ex2 + bx + c

INTEGRALE INDEFINITO DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

• m > n

  Abbiamo

  dove grado di R(x) = grado p₂(x)

  Se la frazione

  ricorre la formula di decomposizione

• m = n

  Applicheremo Hermite quando posso decomporre il P₂(x)

  Scomponiamo P₂(x) sopra esteri primi reali o irridotti del 2

  Allora sono uno si contentere riesi le costanti

Tab che

con

Se il con

Se Una

Allora

Questionario

\(\frac{1}{x}\) \(-\) \(\frac{1}{x-A}\) ^{\(\rightarrow\)} \(\int \frac{1}{x} dx\) \(- \int \frac{1}{x-A} dx = -\ln |x| - x^{-2} + \ln |x-A| + c = -\ln|x-A| + c\)

es. \(\int \frac{x^2}{(x-A)^2(x-x+1)}dx\) \(\equiv\) \(\frac{x^2}{(x-A)(x-x+1)}\) \(\equiv\) \(\frac{A_1}{(x-A)} + \frac{A_2}{(x-x+1)} + \frac{Bx+C}{(x-A)(x-x+1)} =\)

\((A_1 x + A_2^{x-x+1}) + \frac{A_2}{(x-A)^2} =\) \(\frac{(A_2 x + A_2^{x})}{(x-x+1)^2}\)

\(A_1\) + \(A_3^{x-1} + A_4^{x-2}\) + \(B\) – \(2B\) + \(C(x-A)(x^{2-x}+1) + c\)

=\(A_1 x^3 + A_4 x^2 + A_5 x + A_6\) + \(-A_1\) + \(-A_2^{x-2}\)

=\(\left(A_1+B\right)x^3-\left(2A_1\right)^x-2B+c(2A_4-A_{1}+A_{2}+A_1^2 + C)\)

\(\boxed{\begin{align*} A_4 + C = 0 & \rightarrow & A_1 = A_1 \\ 2A_4 + A_7 - 2B + C = 0 & \rightarrow & A_3 = A_4 \\ 2A_1 + A_2 - 2C = 0 & \rightarrow & B = b \\ A_1 + A_2 + C = 0 & \rightarrow & C = 0 \end{align*}}\)

Quando:\(\frac{1}{x-1}\) + \(\frac{x}{(x-A)^2}\) \(\rightarrow\) \(\int\frac{1}{x-A}\)

I impr.

\(\ \dfrac{1}{(x-A)^2}\) dx = \(\ \ln |x-A| + c \)

II impr.

\(\ \dfrac{1}{(x-x)^2}\) dx = \(\ \int (x-A)^{-2} \) dx = -\(\dfrac{1}{x-A}\)

III impr.

\(\ \int \dfrac{x}{x^2-x+1} \) dx = \(\ \int \dfrac{2x}{2} \) dx = \(\ \{2x+1\} \) dx = \(\ \int \dfrac{2}{2(x-2)}\)

=\(\dfrac{1}{2}\ln|x-x+1|+ \dfrac{1}{2} \ln |2x+A|\) dx

IV impr.

\(\ \int \dfrac{1}{x^2-x+1} \) dx ^{\(\boxed{Then}\)} _erctan \(\ \dfrac{2x-A}{\sqrt{3}}| \) + c

In definitiva ^{\(\int_\displaystyle{\ln}\)} | - \(\dfrac{1}{x-A}\) - \(\dfrac{1}{2} \ln|x^2-x+1 + \dfrac{2}{2}\sqrt{3}\)