Formulario Integrali per Analisi Matematica

INTEGRALI INDEFINITI NOTEVOLI

IMMEDIATI

1. ∫k dx = kx + c
2. ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + c _n≠-1
3. ∫(1/x) dx = ln |x| + c
4. ∫e^x dx = e^x + c
5. ∫cos x dx = sin x + c
6. ∫sin x dx = - cos x + c
7. ∫sec² x dx = tan x + c
8. ∫csc² x dx = - cot x + c
9. ∫sec x tan x dx = sec x + c
10. ∫csc x cot x dx = - csc x + c
11. ∫(1/√(1-x²)) dx = arcsin x + c
12. ∫(-1/√(1-x²)) dx = arccos x + c
13. ∫(1/(1+x²)) dx = arctan x + c
14. ∫(-1/(1+x²)) dx = arccot x + c
15. ∫x^a e^bx dx = (x^a e^bx)/b^a+1 + c
16. ∫x^"-a" e^"bx" dx = -(x^-a e^bx)/b^a+1 + c

QUASI IMMEDIATI

1. ∫g'(x) dx = g(x) + c
2. ∫g'(x) f(g(x)) dx = ∫f(t) dt _{(sub. t=g(x))}
3. ∫ln(x) dx = x ln x - x + c
4. ∫(1/(1+x²)) dx = arctan x + c
5. ∫(1/√(1-x²)) dx = arcsin x + c
6. ∫tⁿ x^m dt = x^m-n+1/(m-n+1) + c
7. ∫p'(x) √(q(x)) dx = 2/3 q(x)√(q(x)) + c
8. ∫(p'(x)/(√(a²-x²))) dx = arcsin(x/a) + c
9. ∫(-p'(x)/(√(a²-x²))) dx = arccos(x/a) + c
10. ∫p'(x) dx = p(x) + c
11. ∫q'(x) (f(p(x))) dx = F(g(x)) + c

QUASI IMMEDIATI

1. ∫(f(x)/g(x)) dx = ln |g(x)| + c

PROPRIETÀ DI LINEARITÀ

1. ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫f(x) dx + b ∫g(x) dx _{con a,b ∈ R}
2. ∫k dx = kx + c
3. ∫cf(x) dx = c∫f(x) dx _{c ∈ R, c ≠ 0}

Integrale di un rapporto tra polinomi: casi particolari

1. ∫ 1/(ax + b) dx

   Moltipluchiamo l'integrando per la derivata del Numeratore.

1/a ln |ax + b| + C

2. ∫ x^c/(x^a + 1) dx

   Ci riconduciamo all'integrale già visto immadiato 3.

3. ∫ 1/(xⁿ - aⁿ) dx con n ≠ 1

   ∫ 1/(xⁿ - aⁿ) dx → (1/(1 - m))(xⁿ⁻¹ - aⁿ⁻¹ + C

4. ∫ (ax + b)/(cx + d) dx con grado di ax+b = grado di cx+d

   Occorre operare la divisione tra i polinomi ottenendo Q (quoziente) e R (resto):

   (ax + b)/(cx + d) = Q + R/(cx + d)

   Quindi avremo (ax + b)/(cx + d) = Q log |cx + d| + C

5. ∫ 1/(ex² + bx + c) dx

   Bisogna distinguere 3 casi in base al segno del Δ.

INTEGRALI IRRAZIONALI

∫ √(a² - x²) dx = 1/2 [ x √(a² - x²) + a² arcsin x/a ] (|x| ≤ |a|)

∫ x √(a² - x²) dx = -(√(a² - x²))³/3 (|x| ≤ |a|)

∫ √(a² + x²) dx = x/2 √(a² + x²) + a²/2 log |a + √(a² + x²)/x| (|x| ≤ |a|)

∫ dx/√(a² + x²) = arsinh x/a = log |x + √(x² + a²)|

∫ dx/√(x² + a²) = arsinh x/a = log |x + √(x² + a²)|

∫ x dx/√(a² + x²) = √(x² + a²) - a log |a + √(x² + a²)/x|

∫ dx/x² - a² = 1/a arcinsh x/a = 1/2 log |a + √(x² + a²)/x| (per |x| > |a|) - 1/2 log |a - √(x² + a²)/x| (per x > 0, ± per x < 0)

∫ x dx/√ x² - a² = √(x² - a²) a arcsin (per |x| ≥ |a|)

∫ dx/√ x² - a² = arcosh x/a = log (|x| + √(x² - a²)) (per |x| ≥ |a|)

∫ dx/√ a² - x² = arcsin x/a = log (|x| + √ x² - a²)

∫ x dx/ a² - x² = √(a² - x² a cosh (x/a)|) log ((|x| + √ x² - a²)

∫ dx/√ a² - x² = = √ x² - a² - (per |x| > 1)

∫ dx/√ a² b x c = = √( x² - a²) (per |x| > a, ± per x - 0

∫ a dx/ a² - b dx + c = (√( b² -4ac))/a arsinsin √( b² -4ac ta 4) = 2/2√(a² b x + c) b/4a (per a < 0)

∫ dx/√ a² bx + c = (√( b² - 4ac - a² )b/ 2a 4) = 4 (a b) 2

∫ a² bx + c = (1/√a ln| 2 √(a(a² + bx + c) 2 2ax +2 b |)