Formulario Integrali per Analisi Matematica

Integrali indefiniti notevoli immediati

1. ∫ k dx = kx + c
2. ∫ xⁿ dx = ^xn+1⁄_n+1 + c, n ≠ -1, n ∈ ℝ
3. ∫ ¹⁄_x dx = ln |x| + c
4. ∫ ¹⁄_a dx = ^{ln u}⁄_a + c
5. ∫ cos x dx = sin x + c
6. ∫ sin x dx = -cos x + c
7. ∫ ¹⁄_cos²x dx = tan x + c
8. ∫ ¹⁄_sin²x dx = -cotg x + c
9. ∫ ¹⁄_√(1+x²) dx = arcsen x + c
10. ∫ ¹⁄_√(x²-1) dx = arc cos x + c
11. ∫ ¹⁄_x√(x²-1) dx = arc cos x + c
12. ∫ x^-1 e^ax dx = e^ax x + c

Quasi immediati

1. ∫ g'(x) dx = g(x) + c
2. ∫ [f(x)]ⁿ g'(x) dx = [f(x)]ⁿ⁺¹⁄_n+1 + c
3. ∫ ^f'(x)⁄_f(x) dx = ln |f(x)| + c
4. ∫ ^f'(x)⁄_{ln a * f(x)} dx = ^f(x)⁄_{ln a} + c
5. ∫ [cos g(x)] g'(x) dx = sin g(x) + c
6. ∫ [sin g(x)] g'(x) dx = -cos g(x) + c
7. ∫ ^f'(x)⁄_{cos² f(x)} dx = tan g(x) + c
8. ∫ ^g'(x)⁄_{sin² g(x)} dx = cot g(x) + c
9. ∫ ^f'(x)⁄_{√(1-f(x)²)} dx = arc tan f(x) + c
10. ∫ ^f'(x)⁄_{√(1+f(x)²)} dx = arc sec f(x) + c
11. ∫ ^f'(x)⁄_{√(1-f(x)²)} dx = arc sin f(x) + c
12. ∫ ^-f'(x)⁄_{√(1-f(x)²)} dx = arc cos f(x) + c

Proprietà di linearità

1. ∫ [a f(x) + b g(x)] dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx con a,b ∈ ℝ
2. ∫_a^b f(x) dx = 0 ∫ f(x) dx con b = 0
3. ∫ {[f(x) + g(x)] x} = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx con a = b = 1

Integrali indefiniti notevoli immediati

1. ∫ k dx = kx + c
2. ∫ xⁿ dx = ^xn+1⁄_n+1 + c, n ≠ -1, n ∈ ℝ
3. ∫ ¹⁄_x dx = ln |x| + c
4. ∫ ¹⁄_a dx = ^{ln u}⁄_a + c
5. ∫ cos x dx = sin x + c
6. ∫ sin x dx = -cos x + c
7. ∫ ¹⁄_cos²x dx = tan x + c
8. ∫ ¹⁄_sin²x dx = -cotg x + c
9. ∫ ¹⁄_√(1+x²) dx = arcsen x + c
10. ∫ ¹⁄_√(x²-1) dx = arc cos x + c
11. ∫ ¹⁄_x√(x²-1) dx = arc cos x + c
12. ∫ x^-1 e^ax dx = e^ax x + c

Quasi immediati

1. ∫ g'(x) dx = g(x) + c
2. ∫ [f(x)]ⁿ g'(x) dx = [f(x)]ⁿ⁺¹⁄_n+1 + c
3. ∫ ^f'(x)⁄_f(x) dx = ln |f(x)| + c
4. ∫ ^f'(x)⁄_{ln a * f(x)} dx = ^f(x)⁄_{ln a} + c
5. ∫ [cos g(x)] g'(x) dx = sin g(x) + c
6. ∫ [sin g(x)] g'(x) dx = -cos g(x) + c
7. ∫ ^f'(x)⁄_{cos² f(x)} dx = tan g(x) + c
8. ∫ ^g'(x)⁄_{sin² g(x)} dx = cot g(x) + c
9. ∫ ^f'(x)⁄_{√(1-f(x)²)} dx = arc tan f(x) + c
10. ∫ ^f'(x)⁄_{√(1+f(x)²)} dx = arc sec f(x) + c
11. ∫ ^f'(x)⁄_{√(1-f(x)²)} dx = arc sin f(x) + c
12. ∫ ^-f'(x)⁄_{√(1-f(x)²)} dx = arc cos f(x) + c

Proprietà di linearità

1. ∫ [a f(x) + b g(x)] dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx con a,b ∈ ℝ
2. ∫_a^b f(x) dx = 0 ∫ f(x) dx con b = 0
3. ∫ {[f(x) + g(x)] x} = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx con a = b = 1

Integrale di un rapporto tra polinomi: casi particolari

• ∫ ¹⁄_ax+b dx = Moltiplichiamo e dividiamo per la derivata del denominatore:
  = ∫ ^c⁄_a(ax+b) dx = ¹⁄_a ln |ax+b| + c e ci riconduciamo all'integrale risolv quasi immediazio.
• ∫ ¹⁄_x²+a² dx = ∫ ¹⁄_x²/a²+1 dx = ¹⁄_a² ∫ ¹⁄_1+y² dy = ¹⁄_a arc tan ^x⁄_a + c Ci riconduciamo all'integrali quasi immediati.
• ∫ ¹⁄_(x-a)^m dx con m ≠ 1
  ∫ (x-a)^-m dx = ^(x-a)-m+1⁄_-m+1+c = ¹⁄_1-m(x-a)^1-m+c
• ∫ ^ax+b⁄_cx+d dx = con m grado di cx+d, n grado di ax+b
  Occorre operare la divisione tra i polinomi ottenendo il quoziente Q e il resto R:
  cx+d: ax+b, 2x+4, 3x-5 dx= 2x+4, 3x+5.
  R Quindi si scrive: ∫ (Q+ ^R⁄_ax+b) dx = ∫ Q dx +R ¹⁄_aln|ax+b| +c ci riconduciamo al caso 1.
• ∫ ¹⁄_ax²+bx+c dx =
  Bisogna distinguere 3 casi in base al segno di Δ: Δ 0 e^x + bx + c = è ammette due radici reali e distinte.
  Allora e^x + bx+ c = e(x - x₁)(x - x₂) quando x è e.
  e^x + bx + c = A₁/(x−x₁) + A₂/(x−x₂)
  A = A/(x−x₁)(x−x₂) A₁+A₂=A. x₁−A. x₂ Riscriviamo: A₁+A₂= 0.-A₁x₂+A₂x₁≠1.
  Assumiamo quindi: ∫1/(ex + bx + c) dx = ∫A₁/x-x₁+A₂/x−x₂ dx = ∫ 1/(ex+bx+c) dx = 1/e ∫ A₁/x-x₁+A₂/x-x₂ dx = ln |A₁ ln |x-x₁|+A₂ ln |x-x₂|) + c
• ∫ (bx + k)/(ex² + bx + c) dx = -ln |k/2e1/(ex² + bx + c)dx = (-ln|ax²/bx + c - ln|k/x² + bx +c = -ln= ln |1>/2eln |2x + bx + k/2e| dx = -ln|2ex + b||x − b|/ln a ln (ex2 + bx + ce^{x + bx} + b + c dx x+ c= ln |A₂x/(ex2 + bx + c)|) + e/2 |e x₁ − a + A₂/ex2 + bx + c

Integrale indefinito delle funzioni razionali fratte

m > n Abbiamo dove grado di R(x) = grado p₂(x) Se la frazione ricorre la formula di decomposizione m = n Applicheremo Hermite quando posso decomporre il P₂(x) Scomponiamo P₂(x) sopra esteri primi reali o irridotti del 2 Allora sono uno si contentere riesi le costantiTab checonSe il conSe UnaAlloraQuestionario

∫¹⁄_x - ∫ ¹⁄_x-A ^→ ∫ ¹⁄_x dx - ∫ ¹⁄_x-A dx = -ln |x| - x^-2 + ln |x-A| + c = -ln|x-A| + c

es. ∫ ^x2⁄_{(x-A)²(x-x+1)} dx ≡ ^x2⁄_(x-A)(x-x+1) ≡ ^A₁⁄_(x-A) + ^A₂⁄_(x-x+1) + ^Bx+C⁄_(x-A)(x-x+1) =

(A₁ x + A₂^x-x+1) + ^A₂⁄_(x-A)² = ^{(A₂ x + A₂x)}⁄_(x-x+1)²

A₁ + A₃^x-1 + A₄^x-2 + B – 2B + C(x-A)(x^2-x+1) + c =

A₁ x³ + A₄ x² + A₅ x + A₆ + -A₁ + -A₂^x-2 =

Then ^{erctan {∫ 1⁄_x-1 + x⁄_(x-A)2 → ∫1⁄_x-A \int 1⁄_(x-A)2 dx = ln |x-A| + c}