Formulario, Analisi matematica I

MATRICI

-nulla: gli elementi sono tutti nulli

-diagonale: matrice quadrata con tutti elementi nulli tranne diagonale

-identica: matrice diagonale con tutti elementi eguali all'unità I=

-trasposta: matrice ottenuta scambiando righe con colonne A

-simmetrica: matrice quadrata dove gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale sono uguali

-inversa: si abbia una matrice quadrata A, se esiste una matrice B tale che A*B=B*A=I allora A è invertibile e B è l'inversa. L'inversa si denota come A

relazione: A*A = I = A *A

A = 1 * C C : matrice trasposta dei complementi algebrici

detA

somma → stesse dimensioni

prodotto → A(m*n) * B(n*p) = C(m*p) es → a d g 1 4 7 a1+d2+g3 a4+d5+g6 a7+d8+g9

b e h 2 5 8 b1+e2+h3 b4+e5+h6 b7+e8+h9

c f i 3 6 9 c1+f2+i3 c4+f5+i6 c7+f8+i9

rango : ordine più grande minore non nullo. Se il determinante 0 → rango massimo.

Se il determinante = 0 → provo con sottomatrice

VETTORI

-prodotto scalare u*v → se si annulla sono _|_

-prodotto vettoriale u^v → se si annulla sono \\

-prodotto misto w*(u^v) → se si annulla complanari [se devo trovare una t tale per cui u^v sono _|_ a w → (u^v)*w]

RETTE

forma cartesiana: ax+by+cz+d = 0

at

x = xP + bt

forma parametrica: y = yP + dove xP,yP,zP sono le coordinate di uno dei punti

dt)

(z = zP +

forma esplicita: y=mx+q [ m = - a/b ; q = - c/b ]

parallelismo → a/a' = b/b' m=m'

perpendicolarità → a*a' + b*b' = 0 ; m*m' = -1 prodotto scalare dei coefficienti angolari = -1

– eq. cartesiana della retta passante per Po = (Xo,Yo) : a(X-Xo) + b(Y-Yo) = 0, raggruppo i termini noti ponendo -aX-bY=c → ax+by+c=0

x = ...+...t

retta passante per A e _|_ al piano : y = ...+...t

– z = ...+...t x = ...+...t

- retta passante per due punti : calcolo vettore che passa tra i due punti tramite → (Xb-Xa)i+(Yb-Ya)j+(Zb-Za)k poi y = ...+...t

z = ...+...t

- retta \\ a un'altra e passante per A : nella forma y= mx+q → m è lo stesso perchè sono \\ ; poi nell'eq generale sostituisco m,x e y e ottengo q. oppure c'è

la formula della retta passante per un punto → y-yA=m(x-xA)

- retta _|_ a un'altra e passante per A : applico la formula y-yA=m(x-xA) dove m = -1/m

- retta passante per A e _|_ a due piani : trovo vettore nuovo con (Xb-Xa)i+(Yb-Ya)j+(Zb-Za)k poi eq parametrca → graffa xyz

- retta _|_ a due rette e passante per A : prendo i coefficienti delle rette (num che moltiplicano la t), faccio prodotto vettoriale e ottengo un nuovo vettore.

La retta avente vettore nuovo e passante per a si scrive in forma parametrica → graffa x,y,z

dalla forma parametrica alla forma cartesiana → ricavo t da una delle tre eq e la sostituisco nelle altre due ottenendo come risultato una graffa con due equazioni

dalla forma cartesiana alla forma parametrica → metto in un graffa le due eq fornite e al terzo posto z=t , nelle prime du e eq sostituisco z con t : da una dell prime

eq ricavo x o y che andrò a sostituire nell'altra; risolvo la graffa e ottengo x y z con i parametri.

PIANI

prodotto misto = 0 → tre vettori complanari X-Xo Y-Yo Z-Zo

eq cartesiana → prodotto misto = 0 → X1-Xo Y1-Yo Z1-Zo = 0 ottengo una forma A(X-Xo)+B(Y-Yo)+C(Z-Zo)=0 → A=(Y1-Yo)*(Z2-Zo)-(Y2-Yo)*(Z1-Zo)

X2-Xo Y2-Yo Z2-Z1 [ ABC → coefficienti di i j k ] B=( X2-Xo)*(Z1-Zo)-( X1-Xo)*(Z2-Zo)

C=( X1-Xo)*(Y2-Yo)-( X2-Xo)*(Y1-Yo)

- piano passante per tre punti : prodotto misto come sopra = 0

- piano passante per A e _|_ a una retta : metto i coefficienti del vettore al posto di abc in ax+by+cz+d=0 e i coefficienti del punto al posto di xyz e ricavo d. Riscrivo

la forma generale con d.

- piano passante per A e \\ a due vettori : trovo vettore w con prodotto vettoriale che sia _|_ ai due vettori. Nella forma ax+by+cz+d=0 sostituisco abc con i coeff di w

e xyz con i punti di A e trovo d. riscrivo l eq generica con d. Oppure | X-XA Y-YA Z-ZA |

| ….. ….. …... | = 0 i puntini sono i

| ….. ….. …... | numeri tra parentesi

dei due vettori

- piano \\ retta : prodotto scalare =0

- intersezione retta piano : sistema, sostituisco le xyz della retta nell'eq del piano, trovo t e la sostituisco nelle xyz della retta (graffa con x,y,z)

- \\ di piani : trovo vettori direzionali e guardo se sono proporzionali

- _|_ di piani : trovo vettori direzionali poi prodotto scalare = 0

- k per cui una retta appartiene a un piano :prodotto scalare =0

- k per cui una retta è \\ a un piano : prodotto scalare =0 tra i coeff del piano

- k per cui una retta è _|_ a un piano :prodotto vettoriale nullo

- punto intersezione di tre piani : sistema graffa con le tre equazioni

AREA → dati due vettori trovare a: faccio il prodotto vettoriale e trovo i coefficienti di ijk, ne calcolo il modulo tramite

[attenzione se ho una forma (a+1)=a +2a+1], impongo l'uguaglianza all'area e ricavo a.

VOLUME → prodotto misto = volume imposto , ricavo il parametro.