Formulario, Analisi matematica I

Tipi di matrici

Matrici nulla e diagonali

Nulla: Gli elementi sono tutti nulli. Diagonale: Matrice quadrata con tutti elementi nulli tranne quelli sulla diagonale.

Matrice identica e trasposta

Identica: Matrice diagonale con tutti elementi uguali all'unità (I). Trasposta: Matrice ottenuta scambiando righe con colonne (A).

Matrice simmetrica e inversa

Simmetrica: Matrice quadrata dove gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale sono uguali. Inversa: Si abbia una matrice quadrata A, se esiste una matrice B tale che A*B = B*A = I allora A è invertibile e B è l'inversa. L'inversa si denota come A^-1.

Relazioni tra matrici

Relazione: A*A = I = A * A. A = 1 * C. C: Matrice trasposta dei complementi algebrici. Determinante: Se il determinante è 0, il rango è massimo. Se il determinante = 0, si prova con una sottomatrice.

Prodotti tra vettori

Prodotto scalare (u*v): Se si annulla, i vettori sono ortogonali. Prodotto vettoriale (u^v): Se si annulla, i vettori sono paralleli. Prodotto misto (w*(u^v)): Se si annulla, i vettori sono complanari.

Se devo trovare una t tale per cui u^v è ortogonale a w: (u^v)*w = 0.

Equazioni delle rette

Forme delle rette

Forma cartesiana: ax + by + cz + d = 0. Forma parametrica: x = x_P + at, y = y_P + bt, z = z_P + ct, dove (x_P, y_P, z_P) sono le coordinate di un punto. Forma esplicita: y = mx + q [ m = -a/b ; q = -c/b ].

Condizioni di parallelismo e perpendicolarità

Parallelismo: a/a' = b/b', m = m'. Perpendicolarità: a*a' + b*b' = 0, m*m' = -1. Il prodotto scalare dei coefficienti angolari è -1.

Equazioni specifiche delle rette

Equazione cartesiana: Passante per P₀ = (X₀, Y₀): a(X - X₀) + b(Y - Y₀) = 0. Raggruppo i termini noti ponendo -aX - bY = c, ottenendo ax + by + c = 0.

Retta passante per A e ortogonale al piano: y = ... + ...t, z = ... + ...t, x = ... + ...t.

Retta passante per due punti: Calcolo vettore che passa tra i due punti tramite (X_b - X_a)i + (Y_b - Y_a)j + (Z_b - Z_a)k, poi y = ... + ...t, z = ... + ...t.

Retta parallela a un'altra e passante per A: In forma y = mx + q. m è lo stesso perché sono parallele; poi nell'equazione generale sostituisco m, x e y e ottengo q. Oppure uso la formula della retta passante per un punto: y - y_A = m(x - x_A).

Retta ortogonale a un'altra e passante per A: Applico la formula y - y_A = m(x - x_A) dove m = -1/m.

Retta passante per A e ortogonale a due piani: Trovo nuovo vettore con (X_b - X_a)i + (Y_b - Y_a)j + (Z_b - Z_a)k, poi equazione parametrica in forma di graffa x, y, z.

Retta ortogonale a due rette e passante per A: Prendo i coefficienti delle rette (numeri che moltiplicano la t), faccio il prodotto vettoriale e ottengo un nuovo vettore. La retta avente vettore nuovo e passante per A si scrive in forma parametrica con graffe x, y, z.

Dalla forma parametrica alla...