Analisi matematica 1 - Formulario

B

= =

+ +

- -

A =

-

A c 1 1

C B 213

C

+ = = +

2) =

5

=Zeg(x x ax

11 =

+ .

-

Jey(x 5) 2 -

1) ax

+

= =

- 6))42221+ 1ax)

eg1x 2

/x

11 -

+ - =

= x +

-eg(x -[11x2 3) 1ax)

2x x2

1)

11 1

x

x =

+ + -

- - - +

cc0

=

x + I)

2(x I2

(x x2

1)

+ +

-

= +

22 u

-e(x 3/(x

=[21x2 dx

1)

11 x =

+ + -

- - +

- I

DI

2x1 x =

= -

= -

4)

)(x (2) ax

-eg(x =[21x2 . 2) +

(X

1)

11 3 =>

x +

+ + -

-

- -

- /2x E

-eg(x =[11x2 8

yax edx

1)

11 3 at

x xdx

=

1

.

+ + -

- t

- =

=

=

- =

- +

.

)

-eg(x =[11x2 2 1

. at

1)

11 3 =

x

+ + +

-

- - 2)

-eg(x =[11x2 22 at

/

1)

11 3

x =

+ + - -

.

- - +

253

-eg/x+ =[11x2 1) anctgt+c=

11 RISOSTUIScot

3

x .

+ -

- - 2 andg(Es

-eg/x+ =[11x2 3)

1)

11 +

3

x -

.

+ -

- - 21actg(5 3)

-[11x2

eg(x 1)

11 c

-

x +

= + + -

- - ESPONENZIALE

INTEGRAL DIPENDENT

FUNZIONI TRAMITE UN

Il

X PER

DA DI

(f(ax)dx ax

t

- =

ESEMPIO ⑰ =

/ce ex at dx

e axax

t = = = =

0x

5)

+

-1

I SCOMPONCO DENOMINATORE

I

=

- t(t 3)(t 5)

+ + C

B

A

t 1

- t

= t

t t 5

t

t(t 3)(t 5) 3

+ +

+

+ A

TROVO *

t s

:

t 1 t

- 0

=

+

- -

*( 3) 5)

+

+

+ + 5

A ,

=

-

TROVOB ~

3

3

7

v 3)

3 3

↑

3 ((

BL

Al++ t +

+

1( 7 v

+

-2 - 3

t = -

t

- t

t( t t 5

t

3)(+ 5) 3

~

+ +

+

I

B =

-

TROVO C 5) <

5 5)

5)

1(x -

A(+ ( +

+ <(t

+ +

B

t2 + + 5

- = -

- t

+ ~

t t 5

t

t(t 3)((

5) 3

+ +

+

E

c = (ita /

5 at

=) - at =

+ + -

=eg(t 22917

eg(t 5)

31 c

=- - +

+ + =

+

t

RISOSMISCO =eg(ex

52gex 3) 5)

eg(ex c

+

= - +

+

+

INTEGRALI COME

FUNZIONI COSENO

HANNO SeNo

DI ARGOMENTO

CHE E

-coskx

Sein Kx dx +c

· =

. k

simkx

(Cos Kx Ox +C

=

. I

POTENZE SENO i

COSENO

DI E

· DISPARI

ESPONENTE

·. /simx /eimx/eimx)2

Swim x)

(sim"

01x= 1-COS2x

SiM2

oX

0x= APPLICO (ID x

FOND

x =D =

.

=Dax= x

eimx(1-cos2x)2dx ot=-simvax

cosx=t

=

=>

=(ex 2)2

(1 +

- . -

-

x

-

((1 72)20t

- =

= ~

( 1)dt

2 27

+ + =

-

= z

-20053x 22)

COS5x

E 2

= 2)

(t (t c

t +c +

-cosx-

c

c = - + +

=

-

=

+ +

-

= + -

+ 3

5

ESPONENTE PARI

.. COS2x

1 +

COS2x=

S 2

/(Osx)"

(cos4x dx 01x= 1 Cos2x

APPLICO FORMULE DI BISEZIONE -

= Sinx = 2

-ax

/(ECOS2x) =

E)(1 20052x)dx

cos22x + =

= + 2054x 20s2x)ax

I)(1 1 +

= =

+ +

(1 20s2x)ax

2054x

I =

+

+ +

= Ieim4x linex)

-(2x e +

+ +

INTEGRALE PER PARTI

(f(x)g(x)0x (f(x)g(x)ax

f(x)g(x)

= -

FORMULA PARTI

INTEGRAZIONE PER

DI

ESEMPIO x2 f(x)

f(x) x

= I =

Sx enx dx

. I

gi(x)

g(x) enx =

= -enx 2

enxx

enx-(

&. .

-(2 - x

dx dx enx c C

- = = =

+

-

. - +

4

2

ESEMPIO

/ ax =

aX-(

-Si dx =

, ,

=(m ax-eg(rinx 11 2

+ =

+

,

=)M I ax-eg/vinx +11 c

+ = tg

t =

2t

I sinx= E

1 22 antgt

minx+e)dx

=)(1 =

+

egleinx+1 APPLICO FORMULE

LE PARAMETRICHE

+ =

-

- Zangt

72

1 x =

-

COSX = 22 dt

2

1 + dx

+ - =

(1 1)

egleimx 1

In at +

c

=x + + =

-

- 1

+ 1 1d+

I

(

eg(1imx 1 x =

2 2

2t

-

+

+ +

= +

+

+

1 72

+

(2 olt

11

eg(nimx 2

x

c 2

+ +

= +

+ -

+ +

+ 1

t Z

2

/ =

+

at

eg(rinx 1) dz

4 +

x

2 -

( =

- 1)

+

+

= + + +

)2zdz

eg(xmx =

1) c x

+

= -

+

+ E)

)

eq(einx 2) RISOSTUISCOz

c -

x =

+

+

= -

+ 7 1) Ricostituisco

21

=-eq(rimx t

x

c

+ -

+ =

+ 1)

(g

21

egleinx x

c -

+

+ +

=- + RRAZIONALI

INTEGRALI FUNZIONI

DI Xrn)

Sf(xr Q

dx

· rne

re

...,

, ...,

, t dei denominatori di

FACCIO UNA Le

SOSTUZIONE s

X m c m

= n

....,

= .

: . .

ESEMPIO

*

S 2 t6dx

z

ax 6t5dt

r 1 DX

r 6

+3 m

Dm s

c =

=

= = =

=

= = =

.

.

Ess +3)

6((1

festi +3)(1

St -

8150t + 673dt

6150

64502 = =

.

= .

. =

=> . t 1

-

73 6((1

72)

+)41 +

6((1 . 6((t3

+ +5)

+ tot

t

- 72 3 +6 +8)dt

tt

t

dt 15

4

+

+ + .

+ =

= + +

+

+

+ =

-

= - + +

t)

(

- - )

5

- + risostruisc

+

+ e

+ +

8)

**

58

X6

5

x c

+ t

I +

+

b)

· (f(X be

ax2 ax a

- ,

, s

1x

A2)dx

(f(x 1

.. -

, /Gx)2

2

b b

b -ax 1 1

=

= - -

. -

ESEMPIO --simt

Saçax 0 x2

12

SE E 1

x ax =

ax -

= = cost

=Est-Saintsat= I cost

= 3 cost

X =

)9cost(-Bent)

I dt =

=- -

simt simt) ot

3) -

dx =

18/ cos2t

1

contat C0s27 +

= =

= 2

q/1

232

18(1 cos2tdt

+

+ a + =

+ = -

= sim2t)

=-q(t 2eimt cost

imet=

c

+ + E [5)2

=Deimt 1

simt

-st) 1-cost=

cost

2 t -

+

q(t RISOSTUISCU =D =

=

c

+

= arecos

t

=> =

)

E -

(ancos 1 c

9 +

-

=- +

A2 1

.. +

ESEMPIO

S =

2 2

xxx S c E

=) simet

MRox rimat ot

cosht

ox=

ax x =

= =

=

simet)3

(

) E coshtdt

· =

: siment

+

simbst

2

) - olt=

cosht

: sat funzioni

faccio goniometriche

ec

come

=25) simast olt sostituisco

simet cosht esponenziali

sono

e ,

I

=212 simht

rimht olt=

. . dz

=252/ simht(cosht-1) simptat

cosht ot

dz

dt= z =

= = simht

int

=2N) 1)

mat(z- = 2v/cost

2Vz(=

=22((z z) cosht)

1) dz c +c

-

=

- + = =

-

( 2 2)

2k) + =

( (

cosht E

=simmette c

-

2 +

= +

+ =

A2 1

·

I -

ESEMPIO

(2x280x = (E) - ax

=)o(- 252) E

) (4-2)ax

ev) cost acosht

x

-

= =

ax = =

= Zeimht

o olt

=

simht

2VI)

set

e) simetat=

Zeimatdt= .

M cosht

- met (cosht-cosat/ot=

costit

=2) 25/ 2 22)

at= at = e-t

et

Scont +

=221) at) cosht

coshtalt =

=

- 2

=ex2(riment (et 2

2 a

Olt et ot

etdt dz

z

c =

+ - =

/et =

=

+ .

(z 41z

=212(rimet c -

+ +

1 =

=2 (riment dz

c

+ - + z)

(imet+c RISOSTOISCO Z

ancty

=212 2 =

- cosht=

(rimet RICAVO

et) LA RISOSTINISCO :

=2 E

<-zandg

+ = coshx Y

=

+c-2ancty(= 1)

(simet ()

=21 + =

- ↓

x

e yz

y 1

(E +

1)

=2) -

=

=

= -2ancy

1 + -

- ↳ E

E

et e

= + -

simht= cosht-1

I (E) 2 1

-

"ax+h)

Sf(x lax from o le radice

de dentro

compare o

· ,

ax+b "

PONGO t

=

ESEMPIO

S 3t2dt 73

73 372dt bdx 2

dx x

2 x

e =

x x -

-

=

=

= -

-

- =

:

((2 2) at

73(

-3) 3 =

+

- -

((2 t)

73) 372) ot

- =

.

-

= 2 t3)

3((t ot

- =

= "]

=

3 [ + a sostvisco

-

= . =(2

3(E x)4)

x"

( c

+

-

- -

= "I )

Sf(x ? ax

· , th

poico =

ESEMPIO

SE 1

x +2

+ 1)

t2(x

07 +2

+2x +2x 2

+

1

1 1 D

bx

x bx

=

= - +

= = - -

=

+ -

- =

=

=

X 2

- 2

1

(2x 72

t2 bx(+ 2 2) =

bx +

1

1

x = = +

- =

- + =

= 12 1

-

1) (1 2)

(t 2 2

2 + +

- +

-

+ ht

dX -

Dax

at t

= =

=

(t2 1) ( -,

2

- +

2 je

S e at

7 =

. .

( Ez- ot =

=> At

e B D

C

4t +

- +

=

+2)

G 1)

1)(t 12 t

1

1

-

+ + 1

+

+ + - +

+2

(G ya + =

= )

+ +

+ TROVO B

A Di

C

, ,

,

0B

A 1)

22 1

=

= -

-

= =

2 g 2a

(= 21dt

/

S

= + + +

+ =

= =

1)

eg1++

-eg/t

antit 21 c

2 +

+

-

-- ? I2-2+ e

-eg 1

--2anty C

+

+

SCHEMA f(x)

PER DELL'INTEGRABILIT

STUDIO UNA

Lo DI =00}

Data f(x) stabilire RU

/2)

integrabile de

I (2

in 12

una e

se ove

= ,

, logaritmi)

(in

1) i di

argomenti

denominato

FCX) :

che

INDIVIDUO I PUNT annullano

ILLIMITATA

DOVE ESSERE

POTREBBE o

sono

genere punti

de

Se de considero loro

anche

co

sono

o .

2) CONSECURVI

NELL'UNIONE INTERVALLI

L'INTERVALLO FRONTERA

DI CIASCUNO

IN SIA

DIVIDO UNPUNTO E

SOLO

CISIA STUDIARE

I CHE DI

DA

CUI

x]v[x