Formulario Fisica T-B

Formulario Fisica T-B

Termodinamica

• ΔE = α∙E₀∙ΔT
• E = E₀(1 + αΔT)

• ΔV = β∙V₀∙ΔT
• V = V₀(1 + βΔT)

• ΔV = B∙V₀∙ΔT
• V = V₀(1 + BΔT)

pV = nRT

ΔV = PSΔV ↔ W = ∫_Vc^Vf pDV

Lavoro in Trasformazioni di Gas Ideali

1. Isobara: p = cost.
   • W = ∫_Vc^Vf pDV ↔ W = p ∫_Vc^Vf DV = P(Vf - Vc) ↔ W = pC(Vf - Vc)
2. Isocora: V = cost.
   • W = ∫_Vc^Vf pDV ↔ W = 0
3. Isoterma: T = cost.
   • W = nRT log(Vf/Vc)
4. Adiabatica: Q = cost ↔ pV^γ = cost.
   • W = ∫_Vc^Vf pDV = (Vf^{1 - γ} - Vc^{1 - γ}) / (1 - γ)
   • -nRT / (γ - 1)(T_f - T_c)

1^o Principio della Termodinamica

1. Isobara: ΔU = Q - L
2. Isocora: L = 0 ↔ ΔU = Q
3. Isoterma: ΔU = 0 ↔ Q = L
4. Adiabatica: Q = 0 ↔ ΔU = -L

Calore Scambiato in Trasformazioni Reversibili di Gas Perfetti

δQ = δQ_isocora + δQ_isobara

• ∫Q₁₀₀ = nC_vdT_isoc
• ∫Q₁₀₀ = nC_pdT_isob

PΔV = nRT

Formulario Fisica T-B

Termodinamica

• Dilatazione lineare

Δℓ = α·ℓ₀·ΔT

ℓ = ℓ₀(1 + αΔT)

• Dilatazione volumica dei solidi

ΔV = β·V₀·ΔT

V = V₀(1 + βΔT)

V = V₀(1 + 3αΔT)

• Dilatazione volumica dei liquidi

ΔV = β·V₀·ΔT

V = V₀(1 + βΔT)

• Equazione di stato dei gas perfetti

pV = nRT

• Temperatura di equilibrio

T₀ = (m₁ c₁ T₁ + m₂ c₂ T₂) / (m₁ c₁ + m₂ c₂)

• Lavoro in una trasformazione quasi statica

dW = pδV ↔ W = ∫(V_C to V_F) pδV

• Lavoro in trasformazioni di gas ideali

1. Isobara: p = cost.

W = ∫(V_C to V_F) pδV → W = p ∫(V_C to V_F) δV = p(V_F - V_C) => W = pC(V_F - V_C)

2. Isocora: V = cost.

W = ∫(V_C to V_F) pδV → W = 0

3. Isoterma: T = cost.

{ W = ∫(V_C to V_F) pδV → w = ∫(V_C to V_F) nRT / V δV = nRT ∫(V_C to V_F) δV/V } PV = nRT } → W = nRT log_e(V_F/V_C)

4. Adiabatica: Q = cost. ↔ pV^γ = cost.

W = ∫(V_C to V_F) pδV = ∫(V_C to V_F) cost. dV / V^γ = cost. / (1-γ) (V_F^(1-γ) - V_C^(1-γ) ) = 1 / (1-γ) (PSV_F = P_CV_C) Usando l’eq. di stato dei gas perfetti: W = 1 / (1-γ) (PSV_F - PV_C) = -nRT / (γ-1) (T_F - T_C)

• I° Principio della Termodinamica

ΔU = Q - L ↔ Q - L = U_F - U_I

1. Isobara: ΔU = Q - L

2. Isocora: L = 0 ⇒ ΔU = Q

{ dU = mc dT ↔ dU = nC_v dT

3. Isoterma: ΔU = 0 ⇒ Q = L

4. Adiabatica: Q = 0 ⇒ ΔU = -L

• Calore scambiato in trasformazioni reversibili di gas perfetti

È sempre possibile approssimare una trasformazione quasi statica in una serie di trasformazioni isocore e isobare definizione:

δQ = δQ_isocora + δQ_isobara

{ ∫Q₁₀₀ = nC_v dT_isoc

{ ∫Q_isob = nC_p δT_isob

Da { δT_isoc = Vδp / nR PδV = nRδT δT_isob = PδV / nR

OTTIAMO :

dQ = _cv/_R Vdp - _cp/_R pdV = _cv/_R pdV - _cp/_R pdV + _cv/_R Vdp - _cp/_R pdV =

= _cv/_R (pdV + Vdp) + _cp-_cv/_R pdV

dT = ¹/_nR (Vdp - pdV)

= > dQ_m = n_cv dT + _cp-_cv/_R pdV

DA QUI, INTEGRANDO E PONENDO IL TERMINE _cp-_cv/_R = 1 SI OTTIENE

Q = n_cv (T_F - T_c) + ^V_F/_Vc pdV

DISTINGUIAMO ALLORA I CASI:

1) ISOBARA: p = cost

{ Q = n_cv (T_F - T_c) + ρ∫_Vc^V_F V_c dV

Pv = nRT_F => Q = n_cp (T_F - T_c)

Pv = nRT_c

2) ISOVOLA: V = cost

Q = n_cv (T_F - T_c)

3) ISOTERMA: T = cost

{ Q = ∫_Vc^V_F pdV

Pv = nRT => Q = nRT ℓn ^V_F/_Vc

1^O PRINCIPIO DELLA DINAMICA

- Kelvin – Planck : “NON È POSSIBILE REALIZZARE UNA TRASFORMAZIONE CICLICA     IN CUI L’UNICO RISULTATO SIA LA CONVERSIONE DI TUTTO     IL CALORE ASSORBITO DA UNA SORGENTE IN LAVORO.”

- Clausius : “NON È POSSIBILE REALIZZARE UNA TRASFORMAZIONE IN CUI L’UNICO     RISULTATO SIA IL TRASFERIMENTO DI CALORE DA UNA SORGENTE     A TEMPERATURA INFERIORE A UNA A TEMPERATURA SUPERIORE.”

Rendimento DI UNA MACHINA TERMICA

η = ^L/_Qass = 1 - ^|Q_d|/_Qass CON 0 ≤ η < 1

COEFFICIENTE DI PRESTAZIONE   DI UNA MACHINA FRIGORIFERA

ω = ^Q_ass/_L

TEOREMA DI   CARNOT

”IL RENDIMENTO DI UNA MACHINA TERMICA NON PUÒ ESSERE     MAGGIORE DI QUELLO DI UNA MACCHINA REVERSIBILE DI CARNOT.”

η _R ≤ η _c η _η ≤ η _c

Rendimento DI UNA ‑ MACHINA DI CARNOT

η _c = 1 - ^T_F/_Tc CON T_F < T_c

ENTROPIA

dS = δQ / T   => DA CUI DERIVERANNO DUE DISTINTE FUNZIONI ADDITIVE:

ΔS = ∫_Tc^T dQ / T => e = NOTO Q (CALORE CEDUTO O ASSORBITO)

ΔS = ∫_Tc^T_F δQ / T_c CON δQ = n_cv dT + pdv

* PROCEDIMENTO

- PER L’ 1^O P.D.T.O. :> dU = δQ - δL = TdS – pdV => TdS = dU + pdV

Inoltre sappiamo che:

_δQv = C_vdT ⇒ _δQ = C_v^dT/_T

_δQ = TdS

da cui otteniamo:

⇒ ΔS = nC_vln T_f/_Ti + nC_pln V_f/_Vi = nC_pln T_f/_Ti - nR ln P_f/_Pi

1) Isocora: V = cost ⇒ ΔS = nC_v ln T_f/_Ti = nC_v ln P_f/_Pi

2) Isobara: P = cost ⇒ ΔS = nC_p ln T_f/_Ti = nC_p ln V_f/_Vi

3) Isoterma: T = cost ⇒ ΔS = nR ln V_f/_Vi = -nR P_f/_Pi

Elettrostatica

• densità di carica:
  • d. di c. lineare λ → dq = λdℓ
  • d. di c. superficiale σ → dq = σdS
  • d. di c. volumica ρ → dq = ρdV
• forza di CoulombF=1/4πε₀ q₁q₂/r²F=1/4πε₀ε_r q₁q₂/r²
  • _{con ε0 = 8.854 ×10^-12 c²/Nm²}
• campo elettricoE→=F→/q₀
  • E→=q/4πε₀r²
• singola carica puntiforme: E→=q/4πε₀r²
• più cariche puntiformi: E→=1/4πε₀∑q_i/r²
• distribuzione continua: E→=1/4πε₀∫dq/r²
• dipolo elettrico: E→=p/2πε₀x³
• dipolo elettrico assialmente: E=p/d³/4πε₀
• distribuzione lineare: E=2kσ/x
• filo circolare carico:E=1/4πε₀(x²+R²)^3/2/21π
• distribuzione superficiale:E=σ/2ε₀

Simmetria piana: lastra singola

∮_S E•dS = ∫∫_∑ Ed∑cos0° = ∫∫_S Ed∑cos0° = 2EΔS => E = ^σ⁄_2ε0

Simmetria piana: coppia di lastre

• E = ^σ⁄_2ε0 + E = ^σ⁄_2ε0 = ^σ⁄_ε0
• E = ^σ⁄_2ε0 E = ^σ⁄_2ε0 => E = 0

Simmetria sferica: superficie cavità di raggio R

• k ∮_R E•dS = q => E • ∑ Ed∑ = q => ε₀ = ε∮_S EdS q
• E = ^q⁄_4πε0r²
• k ε₀ E => q => E = ^q⁄_ε0

Simmetria sferica: sfera uniformemente carica di raggio R

• k ρ = ^q⁄_V => q = ρV E_V V ε₀ E(⁴⁄_3γ³R³)
• Forse:
• E = ^ρr⁄_3ε0      E = ^{Q - V}⁄_4πε0R²

Simmetria sferica: guscio sferico con R₁ (interno) e R₂ (esterno)

• r > R₂ E = ^q⁄_4πε0r²
• ε₀ = ε₀
• R₁ < r < R₂ Q_total = ρVvar = ρV_δ

Potenziale elettrico

V = ^q⁄_4πε0 con ∫_A^BEdr= ∫_A^Bq⁄_4πε0 = V_B-V_A

Differenza di potenziale

ΔV_AB = V_A - V_B = ∫_B^AEdr = ^q⁄_4πε0 = R     , V = ^Q⁄_4πε0

Magnetismo

• Forza di Lorentz
  • F = q v × B
• Campo magnetico
  • B = Fmax / q₀ · v
• Movimento di cariche in un campo magnetico
  1. θ = 90° → v⊥B → Moto circolare uniforme
     • F = m v² / r
     • F = q v B
     • v = m v / q B
     • T = 2πr / v = 2π m / |q| B
  2. v // B → Moto rettilineo uniforme
  3. 0° < θ < 90° → Moto elicoidale
• Forza agente su un filo percorso da corrente rente in un C.M.
  • F = i L × B
• Momento torcente
  • T_c = l a b B sinθ = i A B sinθ = i Ā × B
• Momento del dipolo el.
  • T_d = N spire · i · a b = N · i · Ā
• Momento torcente per N spire
  • T_N = M_d × B = N i Ā × B = N i A B sinθ
• Legge di Biot-Savart
  • dB = μ₀ i dl² × r̂ / 4πr²
• Filo percorso da corrente
  • B = μ₀ i / 2πr
• Spira circolare
  • B = μ₀ i / 2R ↔ d = 0
• Filo curvilineo
  • B = μ₀ iθ / 4πr
• Forza agente fra due fili
  • F_ab = μ₀ i_a i_b l / 2πd
• Teorema di Ampere
  • ∫B dl = μ₀ i_tot
• Campo prodotto da un filo rettilineo
  • h → B = μ₀ i / 2πr
• Campo magnetico generato da un solenoide
  • B = μ₀ i N / 2πr
• Campo magnetico di un toroide
  • B = μ₀ i N / 2πr
• Flusso del campo magnetico
  • Φ_B = ∫ B dĀ
• Legge di Faraday
  • ε = - dΦ_B / dt
• Legge general di Faraday
  • ∫ E dl = - dΦ_B / dt