Formulario di Fisica Sperimentale

Teorema di Gauss

Flusso del campo elettrico

Φ(E) = E・S = EScosΘ

Φ(E) > 0 → Θ < π/2

Φ(E) < 0 → Θ > π/2

Φ(E) = 0 → Θ = π/2

Se vogliamo sia superficie che l'intensità del campo:

Φ(E) = ∫E・dS

Superficie chiusa (sfera)

Φ(E) = ∫E・dS = ∮ϕdS = ∮ϕdS = ∮ϕdS = ϵq/r² =_{per costruzione}= q/ε₀

q > 0 flusso uscente

q < 0 flusso entrante

Superficie analisi

dΦ(E) = ϵdS = ϵdS = edScosΘ

Ω = S/r² dΩ = dS/r²

dΦ(E) = ϵdS = edS = edScosΘ

Φ(E) = ∮dΦ(E) = ∮dΦ(E) = 9/4πε₀

Teorema di Gauss

Il flusso del campo elettrico creato da più cariche relativo ad una superficie chiusa dipende unicamente dalle cariche nette contenute all'interno della superficie ed è proporzionale secondo un fattore 1/ε₀.

Φ(E) = 9/4πε₀

Se E → 0 → Φ(E) = 0

Se ΦE = 0 → E = 0

Teorema di Gauss - Flusso del campo elettrico

φ(E) = E • S = ES cosθ

φ > 0 → θ < π/2

φ = 0 → θ = π/2

Se vogliamo sia la superficie che l'intensità del campo:

Φ(E) = ∫Σ E • dS

Superficie chiusa (sfera)

Φ(E) = ∫∑ Σ • dS = ∫G dS = εG dS = εGπ v² = \(\frac{1}{4πε₀}\) \(\frac{q}{r²}\) \(\sum^G\) = \(\frac{q}{ε₀}\)

q > 0 flusso uscente

Superficie qualsiasi

∫Σ Ṣ/r² dΩ = \(\frac{dS}{r²}\)

dΦ(E) = ε • dS = ε dS cosθ

dS' = dS cosθ (proiezione topocotto X elusso del cosθ)

dΦ(E) = ε dS cosθ = \(\frac{q}{4πε₀}\) \(\frac{dS'}{r²}\) \(\frac{q}{4πε₀}\) dΩ

φ(E) = ∫∑ dΦ(E) = \(\frac{q}{4πε₀}\) ∫Σ dΩ = \(\frac{q}{4πε₀}\) ∫ dΩ = \(\frac{q}{4πε₀}\) 4π = \(\frac{q}{ε₀}\)

Teorema di Gauss

"Il flusso del campo elettrico creato da più cariche risultato ad una superficie chiusa dipende unicamente dalla carica netta contenuta all'interno della superficie, ne risulta proporzionale secondo un fattore 1/ε₀."

Φ(E) = ∫Σ E • dS = \(\frac{q_{int}}{ε₀}\)

Se Σ = 0 ⇒ φ(E) = 0

Se φ = 0 ⇒ Σ = 0

Campo elettrico

Integrali e calcoli

dE_x = dE cosθ = ¹/_4πE0 ^dq/_r² cosθ

y = r senθ

x = r cosθ, r = ^x/_cosθ

y = ^x/_cosθ senθ = x tgθ

dy = ^x/_cos²θ dθ

dq = λdy = λ ^x/_cos²θ dθ

dE_x = ¹/_4πE0 dq ²/_cos²θ ^cosθ/_x² dq = ¹/_4πE0 ^λ/_x cosθ dθ

E = ∫dE_x = ¹/_4πE0 ^λ/_x ∫^+π/2/_-π/2 cosθ dθ = ¹/_4πE0 ^λ/_x [senθ]^+π/2/_-π/2 = ¹/_2πE0 ^λ/_x

Anello

x, ρ_{(cono totale)}, RdG_z = dG cosθ = ¹/_4πε0 ^dϑ/_r² cosθ

r² = R² + x²

x = rcosθ

cosθ = ^x/_r = ^x/_√(R²+x²)

dε_z = ¹/_4πε0 ^dϑ/_R²+x² = ¹/_4πε0 ^x/_{(R²+x²)^3/2} dϑ

ε = ∫ dε_z = ¹/_4πε0 ^x/_{(R²+x²)^3/2} ∫ dϑ= ¹/_4πε0 ^x/_{(R²+x²)^3/2} q

Disco

R, δ, ϑ

Spacco in anelli infinitesimi di raggio r e spessore dr corpo infinitesimo dell'anello:

ϑ = δπr² dϑ = δ2πr dr

dε = ¹/_4πε0 ^{x dϑ}/_{(R²+x²)^3/2} = ¹/_2ε0 ^{x δr}/_{(R²+x²)^3/2} dr

ε = ∫ dε = ^xδ/_2ε0 ∫₀^R r/_{(R²+x²)^3/2} dr = ^xδ/_2ε0 [ ^-2/_√R² ]₀^R = ^xδ/_ε0 ^{[-√(R2+x2) + x]}/_x = ^δ/_2ε0 [ 1 - ^x/_√(x²+R²) ]

Costante lungo la superficie

ε ∥ BASI∮ _SȞ(ε) • d_S = ∫_FISTO ε • d_S + ∫_BASI ε • d_S = ∫_LATO ε • d_S = ∫_LATO εd_S = ε ∫ d_S = ε2πrh

Q_INTERNO = λh

ε2πrh = λh/ε₀

ε = 1/2πε₀ λ/r

Cilindro

P, R

r ≥ R∮ _SȞ(ε) = ε2πrh = q_int/ε₀

r ≥ R

q_int = ρV = ρπR²h

ε2πrh = ρπR²h/ε₀

ε = ρR²/2ε₀ • 1/r

r < R

q_int < q_tot

q_int = ρV = ρπr²h

ε2πrh = ρπr²h/ε₀

ε = ρ/2ε₀ r

Sfera

R, P

q_int = q

Per simmetria E ha lo stesso a pari distanza r > R e L una superficie sferica.

^Q⁄₀ = q_int/ε₀

Θ^4πr⁄_S = q/ε₀

G = 1⁄_4πε0 q/r²

q_int = ρV(r); V(r) = q/v_tot

q/V(r) = q/ε

9/V_tot = q/ε

q_int = q_vol; V(v) = (4/3) πr³ = q/R³ × r³

Q = 9 ε_rr³/ε₀

ÉlTIV² = 9ε_rr³/ε₀

G = 1/4πε₀ q/R³ r

Corpo costruente

Il lavoro svolto dalla forza elettrica non dipende dal percorso ma solo da estremo di integrazione

Energia potenziale elettrostatica

W = ∫_A F_e⋅dr = ∫_A q₁q₂/r y' ⋅ (dy dx²_vx + dq dx_ydy)

U_e = 1/4πε₀ 9 q₁q₂/r

[U₂] = J = ∫_va^v_b dU_e = -ΔU_ef = -grad(U) vettore orientato nella direzione di massima variazione

L'energia potenziale si pone al lavoro con riferimento per spostare una carica puntiforme (U_o=0), o uno più punti.

U_AB=∫_{i AB} F_est·dr=∫_{i A} F_e·dr=-QU=ΔU_e

Circostanze

Il lavoro subito da una forza conservativa su un percorso chiuso si annulla (percorso di ampiezza coincide con linee di forza).

W=∮F_e ·dr=0

F_e=q·E

Δ(Σ)=∮F_e ·dr=0/ integrare di un solo valutato sull’intera percorse = circostanza=> se Δ(Σ)=0 ∃U, se Δ≠0 ∄U

Potenziale elettrostatico

La grandezza differenza per unità di estors lavoro che subisce il campo Eclatante:

U_e=¹/_4πε·^q₀q/_r +K = q_{v0Ve=¹/4πε·^q/r [DV] ξ^qc = V}OSS

Elettromot (eV) = volume della grande potenziale di una carica elementare e=1,602·10^-19 C

Assorbimento da una ΔV=ΔV

U_e=eΔV=1,602·10^-19 CV=C v =eVξ±=V:

U_eξ_n=-Gmod(U)_n, ξ=-Gmod(V), [C/Vm]

Teorema di Gauss

Base inferiore

→ E = 0, Φ (E) = 0

Superfici trascurabili rispetto alle basi

Base superiore

d(Φ(E)) = ε ⋅ d&bar;s = Emds

Tragitto dq/ε₀ = σds/ε₀

Emds = σ ds/ε₀ G_M = σ / ε₀

Il Th. di Gauss fornisce il valore del campo elettrico sulla superfici del condensatore in funzione della densità di carica superficiale.

Condensatore Piano

𝕂: stesso valore in ogni punto o polo distano dal piano uscente

T sullo sup. laterale del cilindro nullo

(e/s)𝔹(E) = q / 𝛼𝔹(E) = ∫E・dS = ∫E・dS + ∫E・dS

q_int = S𝕂S𝕂 = q / 𝛼𝕂 = q / 𝛼

∫ΔV = ∫E_x dx = ∫(q / 𝛼) dx = q / 𝛼 x[ C = q / ΔV = 𝛼 q / qr / 𝛼 d = 𝛼 / d ]

Condensatore cilindrico

𝔹(E) = E 2πr h = q_int / 𝛼r eq_int = 0𝕂 = 0

r_i eq_int = S𝕂h = S 2πr h

E 2πr h = S 2πr h / 𝛼𝕂 = q / 𝛼 l / vr > r_e

q_int = q + q - q = 0𝕂 = 0

densità lineare di carica:

₀ = ^q/_h = ^q/_{2r A} = ⁹/₅ 2r _A = ⁶ 2r _A

G = ^{9/_{2r A}}

G = ⁹/_ε0V = ^λ/_r[^Δv/_∫R2Edr]q = &lambda; h

C = q/ΔV = λh 2πε₀/ln R₂/R₁

Condensatore sferico

r > R₂ 𝛤 = 0 V = 0

R₁ < r < R₂ G = ¹/_4πε0 ^q/_r² V = ¹/_4πε0 ^q/_r

r < R₁ 𝛤 = 0 v = V(R₁) = ¹/_4πε0 ^q/_R1

ΔV = ^q/_4πε0

C = q/ΔV = 4πε₀

Densità di corrente

J = I/S[a/m²]

I ⁵/_S

v_d = dl/dt

dl = v_ddt

dN = ndV = nSdl = nSv_ddt

dq = qdN = qnSdl = qnSv_ddt

I = dq/dt = qnS_t*

JS* con J = qnv_d = qv_d

I = J * S

Se J non è costante: I = ∫J·ds

Conservazione della carica

Equazione di continuità.

∫ J·ds = -dq/dt

corrente netta uscente

diminuzione di carica nel sistema

Legge di Ohm

Un generatore svolto M e per spostare un carico dq è opposto una variazione dell'energia potenziale ai capi del differenziale.

dW = -dU = -dq(V_i - V_f) = dq(V_f - V_i) = dqΔV = IdtΔV

Potenza fornita dal campo elettrico:

P= dV/dc = ΔV I

Legge di Ohm

Per un conduttore ohmico:

P = ΔV I = RI² = ΔV²/R

R = ΔV/I, ΔV = RI

Serie

I₁ = I₂ = I

V = V₁ + V₂ = (R₁ + R₂) I

R_eq = R₁ + R₂

Parallelo

V₁ = V₂ = V

I = I₁ + I₂

¹⁄_Req = ¹⁄_R1 + ¹⁄_R2

Forza di Lorentz

F_m = q v × B = qv B sen θ

v // B ( θ = 0 )

v ⊥ B ( θ = π/2 )

Generica

F_m = 0

Moto rettilineo uniforme

Moto circolare uniforme

r = ½mv²/qB

r = mv/ qB

K = mv²/2

Il vettore generatore di Laplace

dF = dq v × B = (dn/q) v × B = m s ds × qB/v

F = ∫ s ds × q B = I ds × B

dF = I ds × B = I ∫ ds × B = I ∫ ds × B

F = I ∫ ds × B = I ( ∫ ds × B )

F = Is × B

Campo magnetico creato da una carica in moto

B = (μ₀ / 4π) q v (μ_t x μ_r) / r²

Legge elementare di Laplace

I. Corrente in un circuito generico

B = (μ₀ / 4π) q v (μ_t x μ_r) / r²

v = ds/dt

I = dq/dt → dq = I dt

dB = (μ₀ / 4π) dq v (μ_t x μ_r) / r² = (μ₀ / 4π) I ds (μ_t x μ_r) / r² = (μ₀ / 4π) I ds (μ_t x μ_r)

Campo magnetico creato da un filo

dB = (μ₀ / 4π) dq r (μ_t x μ_r) / r² = (μ₀ / 4π) I ds (μ_t x μ_r) / r²

μ_t x μ_r = μ_y sen α = sen α (massimo) elemento (nullo x)

B = ∫dB = (μ₀ / 4π) I ∫(dy / r²) sen α

Estremi: y = -∞ → θ = -π/2 y = +∞ → θ = π/2

x = r cosθ, r = x / cosθ

y = r senθ 1 / cosθ = x cosθ

dy = x (dθ / cosθ)

senα = sen(π/2 + θ) = cosθ

B = (μ₀ / 4π) I ∫(-π/2 to π/2) (dθ / cosθ) cos²θ cosθ = (μ₀ / 4π) I / x [sinθ]^π/2_-π/2= (μ₀ / 4π) I / x

Forza tra correnti

Regione di Biot-Savart (Secondo Filo)

B = μ₀ I / 2π x

I₁ crea un B_A nei pressi di I₂

I₂ subisce B_A e risente di una forza (col principio):

F₂ = I₂ L B_A = I₂ L μ₀ I₁ / 2π x = L μ₀ / 2π x I₁ I₂

Teorema di Gauss

Campo magnetico creato da un polo ⟹ linee di flusso chiuse

Preso una superficie chiusa le linee di flusso entranti sono uguali a quelle uscenti.

Φ(B) = ∮_S B · dS = 0

superficie aperta lΦ(B) = ∫_S B · dS

"Preso un lense chiuso, il flusso del campo retinito ad uno streaming e presente A e il reggimo presechi superficie aperta B che arro ad uno como continuo,"

Φ(B) = ∫_A B · dS = ∫_B B · dS

Teorema di Ampère

∮ B · deCirconferenza

B = μ₀ I / 2πr

B dℓ = ∫ B dℓ = B ∮ de = B 2πr = μ₀ I