Formulario Fisica: Meccanica e Elettromagnetismo

Cinematica

1) Moto uniformemente accelerato

Δ(t) = S₀ + V₀t + 1/2 at²

V(t) = V₀ + at

s(t), V(t) t, a(t)

2) Problemi di incontro

• Scrivo moti e poi impongo che la posizione finale sia uguale alla posizione finale dell'altro
• Se nei dati c'è la distanza (sicuramente d) per calcolare l'intervallo di tempo può d ed è minimo si impone d = 0 e si calcola T
• Per calcolare il valore minimo di d_t per evitare l'impatto si impone che la posizione finale di A (x_A) sia minore della posizione finale di B (x_B)

x_A < x_B   x_A − x_B < 0   ⇒   e = 0, calcola il valore di d' dall'equazione ottenuta

3) Incontro su traiettoria circolare

• Si calcola la lunghezza della pista   C = 2πR
• In base ai dati del problema si impostano le leggi orarie come se si stesse risolvendo un moto rettilineo
• Si segue dunque il procedimento 1) per trovare T
• Per trovare le distanze percorse costruisco il tempo trovato nelle leggi orarie dei 2 moti

In quel caso vanno convertite

Sempre se le velocità sono tangenziali e non angolari

4) Moto circolare uniforme

ω_m = Δθ/Δt    ω₁ = dθ/dt

θ(t) = θ_₀ + ωt   Vs = 2π/T_ₑ − 2πfl

a_n = V²_tang/R   ω²R = αnR

α_c = dω/dt   Vs = ωR   ⇒   ω = 2π/T

S.R9

f = 1/T_ₑ   ⇒ N giri in un

5) Moto circolare uniformemente accelerato

θ = θ_₀ + ω_₀t + 1/2 αt²

ω = ω_₀ + αT

dθ = dθ/dt   ω = dθ/dt

a_t^tot = d²T + 2 R

α = a_t/R

6) Legge oraria in coordinate cartesianze NCUA

{

 x_f(t) = Rcos (1/2 αt²)

 y_f(t) = Rsin (1/2 αt²)

}

 → derivate x e y  → sul tempo θ  → deducendo ulteriore moto accelerazione

Cinematica

• Moto uniformemente accelerato
  • ΔS(t) = S₀ + V₀t + ½a_tt²
  • Ω(t) = Ω₀ + 2a(t_x - t₀)
• Moto rettilineo uniforme
  • ΔS(t) = S₀ + Vt

Problemi di incontro

• Scrivo i moti e poi impongo che la posizione finale sia uguale alla posizione finale dell'altro.
• Se nei dati c'è la distanza (sicuramente!) per calcolare l'intervallo di tempo giusto ad X minimo si impone d = 0 e si calcola T.
• Per calcolare il valore massimo di d per evitare l'impatto si impone che la posizione finale di A (x_A) sia minore della posizione finale di B (K_B)
• x_A < K_B ↔ x_A - x_B < 0 → e = 0 calcola il valore di d_A dall'equazione ottenuta.

Incontro su traiettoria circolare

• Si calcola la lunghezza della pista C = 2πR
• In base ai dati del problema si impostano le leggi orarie come se si stesse risolvendo un moto rettilineo
• Si esegue dunque il procedimento 1) per trovare T
• Per trovare le distanze percorse sostituisco il Tempo trovato nelle leggi orarie dei 2 moti

Moto circolare uniforme

• ω_m = ΔΘ/Δt
• ω₁ = dγ/dt   γ(t) = γ₀ + ωt
• ν = 2π/T   ν = ω/2πf
• α = dω/dt
• ω = ν ΣR → ω = π/T
• π/T * f → N giri in 1 s

Moto circolare uniformemente accelerato

• γ = γ₀ + ω₀t + ½αt²
• ω = ω₀ + αT
• dγ = d→ Δt ← 2t + 2c
• α = d_t/R

Legge oraria in coordinate cartesiane MCUA

• (x(t) = Rcos(α/2 + αt²))
• (y(t) = Rsin(α/2 + αt²))
• derivando x e y sul tempo si risolve

Problemi Velocità Angolare

• Conversione da _giri/_min a _rad/_s

_rad/_s → _giri/_min

dω = ω d

Per calcolare l'accelerazione in un transitorio

∫ ₀^t dt = ∫ ₀^t dt

ω(t) = αt

ω(t) = αRt

la ω in funzione del tempo quindi varia durante il transitorio

Moti Composti

1. Si proietta il moto sui due assi di riferimento
   • x(t) = x₀ + v₀ t cosα
   • y(t) = y₀ + v₀ t sinα

Traiettoria Moto Parabolico

• Composizione in moto verticale e moto rettilineo uniforme
• Si elimin▒ il tempo ottenendo equazione della traiettoria

y = x g₀/2v₀² cos² α

• Per trovare la gittata bisogna imporre y=0

_sinα/_cosα - g_x²/2v₀² cos² α → Risolvendo

X = _v²0/g sin(2α)

• Per trovare il valore ideale di α sostituisco opportunamente nell'equazione in base alle relazioni date dal problema

Formule da Ricordare

Formul▒ di duplicazione: sin(2α) = 2cosαsinα

Formul▒ parametrica: Sn = g_t/₁+^t2

y_max = _{v²0 sin² α}/g

• i.e. y(t) = v₀sinα - g t

cos▒ Che

• Sostituendo nella legge dell'azoto: t = t₀sinα

Dinamica

\(\vec{F} = m \cdot \vec{a} = m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} \)

Forze Fondamentali

\(\vec{F} = m \vec{g} \)

\( \vec{F}_{e} = K \langle A \rangle \)

\(\vec{F}_{g} = - \frac{d}{dr} \frac{m M}{r} \hat{u}_{r}\)

\( \vec{F}_{c} = -m \vec{\omega}^2 \vec{R} \)

Momento di una forza e Teorema della quantità di moto

\( \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \rightarrow \frac{d}{dt} \vec{p} \)

Teorema del momento angolare

\(\frac{d}{dt} \rightarrow \frac{d}{dt} \vec{r} \)

Forze di Attrito

\(\vec{F}_{s} \leq \mu_{s} \mid \vec{N} \mid\)

\(\vec{F}_{d} = \mu_{d} \mid \vec{N} \mid \) → per avere TRU bisogna imporre la risultante delle forze = 0

Lavoro

\(L = \int \vec{F} \cdot d \vec{s} = \int \mid \vec{F} \mid \cdot ds \cdot \cos \theta \)

Forza elastica: \( \frac{1}{2}K(Ax^2) \)

Forza peso: \( mgh \)

Potenza: \(\frac{dL}{dt} \)

Impulso

\(J = \int_{0}^{t} \vec{F} \cdot dt = \int_{p_0}^{p_1} \vec{p} \cdot dt \cdot \vec{p} = p_i - p_f = \Delta p \)

Teorema delle Forze Vive

\(F \cdot ds = m \cdot a \cdot ds = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot ds = \frac{d}{dt} \cdot m us \cdot ds

-> \(\int \frac{1}{m \cdot ds} = \frac{1}{2}m v_{ab}^{2} = \frac{1}{2} m v_{ab}^{2}

Energia

U = - \Delta V

\(E_{c} = \frac{1}{2}mv^2\)

\(E_{p} = mgh\)

\(E_{el} = \frac{1}{2} k A^2 \)

Forze Conservative

\(\Delta E_m = costante\)

Forze Non Conservative

\(\Delta E_m = \int \Rightarrow \text{Forze non conservative}

Pendolo -> lo si può risolvere con l'energia

• Problemi di attrito -> condizione di attrito N ≥ 0
• Scrivo la legge del moto: T₁ + N = m₂
• Mi trovo N e lo impongo ≥ 0
• Trovo T₁ dall'energia e lo sostituisco nella disequazione

• Urti
• Elastico

{ m₁v_1i + m₂v_2i = m₁v_1f + m₂v_2f

{ m (v_1i² - v_1f²) = m₂ (v_2f² - v_2i²) :>

{ v_1f = m₁ - m₂ v_1i + 2m₂ v_2i

{ v_2f = m₂ - m₁ v_2i + 2m₁ v_1i

• Anelastico

v_f = m₁v_1i + m₂v_2i

FORMULARIO DI ELETTROMAGNETISMO

1. Distribuzione discreta di carica -> uso la sovrapposizione degli effetti
• Forza elettrostatica

F = q_i E_i = ∨

• Campo elettrostatico

E = F/q = q/4πε_or²

2. Potenziale in un punto dell’asse

V( z )=1/4πε_o ∑ q_i/r_i

3. Distribuzione continue di carica

λ = dq/dl σ = dq/ds ρ = dq/dz

• Distribuzione lineare -> campo E tale sull’asse

1. dq = λ dx          q_(x) = α

2. Sostituendo nella formula per calcolare il campo E
3. Integro da 0 a ∛ e moltiplico per 2
4. Stessa cosa per il potenziale

• Distribuzione superficiale -> disco

1. dq = σ ds

2. Considero il campo E generato da una circonferenza

3. Divido il disco in tante spire circolari di raggio kdr

-> La carica sulla spira infinitesima è q = Q/2πrdr

4. Sostituisco
5. Integro da 0 a R
6. Per il potenziale stesso procedimento

Differenza di Potenziale

ΔV = −∫_a^b ℰ · ds

ℰ = −∇V

Flusso di ℰ

∫_S ℰ · ds = 0

∇ × ℰ = 0

Legge di Gauss → Vero Quando ho Simmetrie

• ∮ℰ(r) · ds = ∫_V ρ_int dz / ε₀
• ∇ · ℰ = ρ/ε₀

Pressione Elettrostatica

F/S = σ²/2ε₀

Conduttori

• Campo in corpo interno nullo, il potenziale è costante

Condensatori

C = Q/ΔV

Condensatore Piano

C = ε₀S/d

Cilindrico

C = 2πε₀L/ln(R_B/R_A)

Sferico

C = 4πε₀R_AR_B / (R_B - R_A)

Energia Condensatore

U = QV/2 = 1/2 CV² = 1/2 q²/C

Forza tra le Armature

F = ε₀S E²/2

Dipolo Elettrico

Piano Infinito

ℰ = σ/2ε₀, ∇ · ℰ = σ/ε₀

Campo tra 2 Lastre Infinite

ℰ = σ/ε₀, V = σd/ε₀

Filo Infinito → Uso Gauss

ℰ(l) = λ/2πε₀r

V = (λ/2πε₀) ln (r/R₀)

Cilindro Carico Internamente

Come un Filo Infinito

Sfera

ℰ in = (Q/4πε₀)(r̂/r²), V in = −(Q/4πε₀r)

Induzione Elettrostatica

Se vogliamo trovare la carica di un conduttore messo a massa in presenza di un altro conduttore

1. Calcolo il potenziale del primo conduttore
2. Calcolo la differenza di potenziale tra i due che li mando a 0
3. Risolve e ottengo la carica

Dielettrici

• Uso Gauss per trovare il flusso del vettore induzione dielettrica

  _{sp> (S)} D d_S ≠ 0 => D = 9/5

  ∫_D B = ε_o E + P; ε_rε_oE

• Non ricavo in base al fatto che si trova in un vuoto dielettrico

  ∫_S D d_S = ε_rε_oE

  nel dielettrico

B = ∑_o / ε_o = ε / ε_o nel vuoto

• Per calcolare ∫_S devo trovare prima il vettore P^'

  P^' = ε_o (E_t-E_i) I P^' = P^' ·n

  ∫_D P_r = -∫^' P^'

Equazioni dell'elettrostatico nel dielettrico

• ∫_S D = 0∮_i di = 0

∇^- = ε_o∫∫^o ĩ d_S = Q

Condizioni di continuità all'interfercia tra 2 mezzi

E_t1, E_t4

B_n1 = B_n2

Correnti stazionarie

• Densità di corrente: JO = nqg^O = J dR → densità di carica per velocità di deriva
• Equazione di continuità: J_n = -de/dct
• Intensità di corrente:

  I = dI/dt = ∫J ĩn d_S

  Flusso della densità di corrente

• Leggi di Ohm (forma locale)

  J^'(O) = σE^'

  V = Rĩ

• Resistenza conduttore di sezione costante

  R = ^l/σS = ρ^l/∫⁰S_L

• Campo o forza locale:

  d P = ∫^! x dV E^$_b