Nozioni contenute nel Formulario di Fisica I

M M M

CENTRO DI MASSA DI UN SISTEMA DI N MASSE PUNTIFORMI

{ }

N N N

∑ ∑ ∑

x ∙ m y ∙ m ∙m

( ) ( ) (z )

i i i i i i

i=1 i=1 i=1

C= x , y , z

= = =

C C C

M M M

DENSITA’ VOLUMICA DI MASSA

dm

ρ( x , y , z)= dV

BARICENTRO DI UN CORPO RIGIDO

{ }

N N N

∑ ∑ ∑

x ∙ m y ∙ m z ∙ m

( △ ) ( △ ) ( △ )

i i i i i i se g di i = g

i=1 i=1 i=1

G= x , y , z

≅ ≅ ≅

G G G

M M M

se g uniforme ovunque:

{ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑

1 1 1 1 1 1

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

G= x xdm= xρ x , y , z dV , y ydm= yρ x , y , z dV , z zdm= zρ x , y , z

( ) ( ) (

= = =

G G G

M M M M M M

M V M V M V

CENTRO DI MASSA DI UN CORPA RIGIDO

{ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑

1 1 1 1 1 1

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

C= x xdm= xρ x , y , z dV , y ydm= yρ x , y , z dV , z zdm= zρ x , y , z

( ) ( ) ( )

= = =

C C C

M M M M M M

M V M V M V

BARICENTRO DEI BARICENTRI

{ }

N N N

1 1 1

∑ ∑ ∑

G= x X M y Y M z Z M

= = =

G Gi i , G Gi i , G Gi i ,

M M M

i=1 i i=1

=1

tot tot tot

CONDIZIONI DI EQUILIBRIO CORPO RIGIDO

N N

∑ ∑

́ ́ ́ [ ]

R F M P F

( )

= =0 = −O ∧ =0

i o i i

i i=1

=1

QUANTITA’ DI MOTO / totale DI UN SISTEMA

N

∑

́

p ∙ V −1

[ ] p p

́ ́

p m ∙ s

́ =m =

=Kg∙ tot i

i=1

LEGGE DI AZIONE DELLE FORZE

́

d p F

́

́

F ∙ a a

= =m ́ ́ =

dt m

SISTEMA ISOLATO DI N CORPI PUNTIFORMI

d p

́ p

=0 ́ =cost.

tot

dt

VELOCITA’ DEL CENTRO DI MASSA

1

́

V ∙ p

= ́

c tot

M

QUANTITA’ DI MOTO TOTALE DI UN SISTEMA DI N CORPI PUNTIFORMI

́

p ∙ V

́ =M

tot c

FORZE FITTIZZIE

a

−́¿

́

F =m∙ ¿

FORZA CENTRIFUGA

́ ́ ́

́ 2 2

F θ λ=mr ω λ

=mr

c

MOMENTO POLARE DELLA QUANTITA’ DI MOTO

́ ́ ́ 2 −1

[ ]

∣ ∣ ∣ ∣

L P−O m V L P−O ∙mV ∙ senα=mV ∙ b L ∙ m ∙ s

=( ) ( )

∧ = =Kg

o o o

MOMENTO ASSIALE DELLA QUANTITA’ DI MOTO

́ ́

L V

=(P−O) ∧(m )

a ⊥

TEOREMA DEL MOMENTO DELLA QUANTITA’ DI MOTO

V

́¿

m

́

d L

́ ́

o

M V

= + ∧¿

o o

dt

MOMENTO ASSIALE DELLA QUANTITA’ DI MOTO DI UN CORPO CHE RUOTA ATTORNO

AL PROPRIO ASSE

́ 2

L r ω

́

=m

a

FORZA CENTRIPETA

́ 2

F ω n n=−λ

́

=mr

c

LAVORO DELLE FORZE

́ [ ]

L F ∙ B− A L ∙ B−A ∙ cosθ L ∙ m=J

∣ ∣

( )

= =F =N

AB ,γ AB , γ

B ́

∫ ́

L F dl

=

AB ,γ A ,γ

LAVORO DELLA FORZA ELASTICA

1 1

2 2

L k x k x

= −

AB ,γ A B

2 2

ENERGIA CINETICA / TOT. di un sistema di N corpi puntiformi

N

1 1

∑

2 2 2

−2

[ ]

T mV T ∙ m ∙ s T m V

= =Kg =

tot i i

2 2

i=1

TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA

B ́

∫ ́

L F dl=T

= −T

AB ,γ B A

A ,γ

GRADIENTE: f(x,y,z) continua, con derivate prime continue

∂ f , y , z ∂ f x , y , z ∂ f , y , z

(x ) ( ) (x )

́ ́ ́

gradf x , y , z i+ j+ k

( )= ∂x ∂y ∂z

NABLA ∂ ∂ ∂ ́

́ ́

i j+ k f x , y , z x , y , z

( )=gradf

+ ∇ ( )

∇=¿ ∂x ∂ y ∂z

DIVERGENZA

∂ A x , y , z ∂ A x , y , z ∂ A x , y , z

( ) ( ) ( )

́ ́ ́ ́ ́ ́

x y z

A x , y , z i+ j+ k ∙ A x , y , z A x , y , z

( )= ( )=¿ ( )

¿ ∇

∂x ∂y ∂z

ROTORE ∣ ∣

́ ́ ́

i j k

∂ ∂ ∂

́

Rot A x , y , z ́

( )= =∇ ∧ A x , y , z

( )

∂x ∂y ∂z

A A A

x y z

FORZE CONSERVATIVE ED ENERGIA POTENZIALE

❑ ́ ́

∮ ́ ́ ́

F dl F dl=−dW F=−gradW=−∇ W

=0 ∀γ

γ

FLUSSO DI UN VETTORE

❑

∫

́ ́

dϕ= A n dS A n dS

́ ϕ= ́

S

TEOREMA DI STOKES

❑ ❑

́

∮ ∫

́ ́

A ∙ dl= Rot A n dS S costruita su γ

́ ∀

γ S

ENERGIA POTENZIALE DELLA FORZA PESO

W z con la condizione che sia nulla per z=0

( )=mgz

ENERGIA POTENZIALE DELLA FORZA ELASTICA

1 2

W x k x

( )= con la condizione che sia nulla con la molla a riposo (x=0)

2

CONSERVAZIONE DELL’ ENERGIA MECCANICA

T A

( )=T se su un corpo agiscono solo forze conservative

+W +W (B)

A B T

n.c.

L B+W

=¿ A

( )

¿ (B)

[¿ ]−[T +W ]

AB ,γ A

¿

POTENZA

∆L ∆L dL J

́ [ ]

P P= lim P= F ∙ v P Watt

( )

= = ́ = =W

m ∆t ∆ t dt s

∆t→ 0

1° EQUAZIONE CARDINALE DELLA MECCANICA DEI SISTEMI

applicata al corpo rigido

d p

́ )

c

́

F ∙ a

= =[M ́ ]¿

e c

dt

Risultante di tutte≤forze esterne che agiscono sul sistema

¿

2° EQUAZIONE CARDINALE DELLA MECCANICA DEI SISTEMI

́

dL

́ ́

O = Momento polare totale delle sole forze esterne calcolate rispetto al punto

M V p

́

= + ∧

eO O tot

dt

́

L

O. = momento polare totale della quantità di moto calcolato rispetto a O.

O p p

́ = ́

Per corpo rigido tot c

MOMENTO DI INERZIA POLARE DI UN CORPO E DI UN SIST. DI CORPI PUNTIFORMI

N

2 2 ∑ 2

[ ]

I r I m I ∙ r

=m∙ =Kg∙ = (m )

O O O i i

i=1

MOMENTO DI INERZIA ASSIALE DI UN CORPO E DI UN SIST. DI CORPI PUNTIFORMI

N

2 ∑ 2

2 [ ]

I m I ∙ r

I r =Kg∙ = (m )

=m∙ a

a a i i

i=1

MOMENTO DI INERZIA POLARE DI UN CORPO RIGIDO

❑

∫ 2

I r ∙dm

=

O M

MOMENTO DI INERZIA ASSIALE DI UN CORPO RIGIDO

❑

∫ 2

I r ∙ dm

=

a M

MOMENTO ASSIALE TOTALE DELLA QUANTITA’ DI MOTO DI UN SISTEMA DI CORPI

PUNTIFORMI CHE RUOTANO ATTORNO AD UN ASSE

❑

∫ 2

́

L ω r ∙ dm=I ∙ ω

= ́ ́

a a

M

TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA APPLICATO AI SISTEMI

L L L

+ =T −T =T −T

Per il corpo rigido->

e , AB i , AB B A e , AB B A

ENERGIA CINETICA DI UN SOLIDO CHE RUOTA ATTORNO AD UN ASSE

1 2

T I ω

= a

2

TEOREMA DI KOENIG N

1 1

∑

2 2 (r )

T M V Valido per c. rigidi e sist. dic. puntiformi T m V Energia cinetica to.tale

=T + =

c c c i i

2 2

i=1

1 2

M V

nel Sist. di rif. Relativo del centro di massa. Energia cinetica del centro di massa

c

2

come se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema.

TEOREMA DI HUYGENS-STEINER

2 I =¿ momento di inerzia assiale calcolato rispetto ad una retta // ad a e

I Md

=I + c

a c d=¿

passante per il centro di massa c. distanza fra retta // e a.

MOMENTO DI INERZIA ASSIALE DI UN CILINDRO RISPETTO AL PROPRIO ASSE

1 1

2 2

I M ∙ R I M ∙ l

= =

per un asta molto lunga

a a

2 12

URTO PERFETTAMENTE ELASTICO

L L → T → L , L

+ =T −T =T =0 =0

e , AB i , AB B A B A e, AB i , AB

1.Energia cinetica totale si conserva: -Corpi deformabili -> forze interne conservative/=forma

-Corpi rigidi -> forze interne conservative

L =0

e , AB -Se il sistema è isolato

-Sistema non isolato ma forze esterne non fanno lavoro

-Sistema non isolato, forze esterne fanno lavoro, ma intervallo dell’urto brevissimo

d p

́

́ c

2. Quantità di moto si conserva : F =

e dt

-Se il sistema è isolato ́

F =0

-Se il sistema non è isolato, ma la risultante delle e

́

F ≠ 0 ∆ t

-Se il sistema non è isolato, , ma l’intervallo dell’urto è infinitesimo

e ́

dL

́ O

3. Momento della quantità di moto si conserva: M =

eO dt

-Se il sistema è isolato ́

M =0

-Se il sistema non è isolato, ma eO

́

M ≠ 0 ∆ t

-Se il sistema non è isolato, , ma intervallo dell’urto è infinitesimo

eO

URTO PERFETTAMENTE ANELASTICO

No conservazione dell’energia cinetica perché le forze interne non sono conservative

́

p L

́

Per e valgono le stesse considerazioni che per l’U.P.E.

tot o

LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE [per masse puntiformi]

m m

1 2 2

−11 −2

F=−γ u γ ∙ 10 N ∙ m ∙ Kg

́ costante di gravitazione universale

=6,67

r

2

r

N.B. Forza sempre attrattiva

[tra masse non puntiformi]

d m

❑ ❑

́ ∫ ∫ 2

F d m u M M

́

=−γ forza che agisce su dovuta a

1,2 1 r1 1 2

2

r

M M

1 2

ACCELERAZIONE GRAVITAZIONALE

M

g u

́ =−γ ́ r

2

r

ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE di 2 MASSE PUNTIFORMI

m m

❑ ́ ́ ́ ́

∮ 1 2

F dl F dl=−dW W r

( ) condizione nullità masse a distanza infinita.

=0 ∀γ =−γ r

γ

ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE di N MASSE PUNTIFORMI

N N

1 ∑ ∑

W W

=

tot ij

2 i=1 j=1

ENERGIA POTENZIALE DI 2 MASSE NON PUNTIFORMI

d m

❑ ❑

∫ ∫ 2

W d m

=−γ 1 r

M M

1 2

VETTORE CAMPO GRAVITAZIONALE

́

F

́

H= m

CAMPO GRAVITAZIONALE DI UNA MASSA PUNTIFORME

M

́

H x , y , z u

( )=−γ ́ r

2

r

POTENZIALE GRAVITAZIONALE

❑ ́ ́

∮ ́ ́

H dl=0 γ H dl=−dV

∀

γ

POTENZIALE GRAVITAZIONALE DI UNA MASSA PUNTIFORME

M

V r

( )=−γ con la condizione che sia nulla a distanza infinita dalla massa.

r

POTENZIALE GRAVITAZIONALE DI N MASSE PUNTIFORMI

❑ dm

∫

V x , y , z

( )=−γ r

M

FORZA DI COULOMB TRA 2 CARICHE PUNTIFORMI<