Formulario di analisi matematica 2

Matrice Hessiana

( )MATRICE HESSIANA: D f x >0Hf semidefinita positiva : , guardare la traccia (A+C)det Hf =0Se basta controllare il segno di A+Cdet Hf <0Se Hf non è definitadet Hf Se si considerano i minori:dim>2 ( ) >0 ¿det A A definifa+¿⟨ ⟩A. i( ) ( )<0 >0det A per i minori dispari e det A per iminori pari se e solo se A definita−¿B. i i

Massimi e Minimi Liberi

( )∇ =0f x xDove è PT STAZIONARIO0 0( )ϰH definita + allora x è MINIMO LOCALE STRETTO 0f 0( )ϰH non è definita allora x è un PUNTO DI FLESSO 0f 0( )ϰH definita – allora x è MASSIMO LOCALE STRETTO 0f 0

Estremi Vincolati

1. Vincolo in forma implicita ( )( ) x , y( )=f ( ) ( )−c+L x , y , λ x , y λ g x , y , è punto stazionario se 0 0∇ L=0Sostituire i punti in f e trovare i massimi e minimi assoluti
2. Ricerca di massimi e minimi sulla frontiera∇ =0Punti stazionari interni f

( )=0L x , y , λPunti stazionari vincolati su tutte le equazioni del vincolo
• Su punti angolosi del bordo (intersezioni tra le linee del vincolo)
• 33. Caso R ( )( )( )=f ( )−c+L x , y , z , λ x y , z λ g x , y , z ∇, punti stazionari con L=0
• 1 ( ) ( )( )=f ( ) ( ) ( )−c+ +per curve L x , y , z x , y , z λ g x , y , z μ x , y , z
• Trovare massimi e minimi e sostituirli nella funzione f
• ❑ ∬ ⅆ ⅆ ∬ ⅆ ⅆx x y y x y∬ dxdy = =x yAREA: BARICENTRO: ;G GA AΩ ∬ | |( )( )=∬ ( ) ( )ϑ ϑ ⅆ ⅆ ϑ
• f x , y f ψ ρ , det J ρ, ρCAMBIO DI VARIABILI: ψ( )ψ s∭ ⅆ ⅆ ⅆx y zVOLUME: Q
COORDINATE POLARI, CILINDRICHE E SPERICHE:
{ ϑ+x=x ρcos | |0 =ρdet J
1. POLARI: ; ψϑ+y= y ρ sin0
{ +x=x ρcos θ0 | |=ρdet J+y= y ρ sin θ
2. CILINDRICHE: ; ψ0z=z