Formulario di Analisi 2

Parametrizzazioni

Coordinate cilindriche:

• x = ρ cosϑ = x₀
• y = ρ sinϑ = y₀
• z = z

det J = ρ

Coordinate sferiche:

• x = ρ sinφ cosϑ
• y = ρ sinφ sinϑ
• z = ρ cosφ

det J = ρ² sinφ

Superfici regolari

• Una superficie regolare S: D⊂R²→R³ è semplice ⇔ φ(u₁,u₂), ∀ (u₁,u₂)∈(u₀,v₀)

• È regolare se di classe C¹ e se ha matrice Jacobiana:

  J(φ(u,v)) = det |∂_ux(u,v) ∂_vx(u,v)| =/ 0

  rg: |∂_uy(u,v) ∂_vy(u,v)|

  |∂_uz(u,v) ∂_vz(u,v)| = 2

• Vetore normale: ∂_uφ(u,v)^∂_vφ(u,v) ≠ 0

  N(u₀,v₀) = ∑_i(∂_uφ(u,v) ^ ∂_vφ(u,v)

  N(u₀,v₀) = ∑_i(∂_uφ(u₀,v₀))

  N(u,v) = ∂_uφ(u,v) ^ ∂_vφ(u,v)

• Piano tangente: N(u₀,v₀)·(x-x₀, y-y₀, z-z₀)=0

Integrali curvilinei

∫_γf(u(t))||φ'(t)||dt = ∫_γf(x)ds

L(φ) = ∫_γds = ∫_γ||φ'(t)||dt

Se ∂f = ∂₁u ∂₂ → ∫_α^βf(x)ds

= ∫_α^βf(u)ds

= ∫_α^βf(c)ds

Baricentro:

• x_i(δ) = 1/m(Γ) ∫_Γx_if(x)ds
• m(Γ) = ∫_Γδ(x)ds (Γ non costante)
• x_i(β) = ∫_Γx_ids
• β=κ → x_i(β)=∫_γx_ids

→ Γ = γ∪{S₁ → S_k} → x_i(δ) = m(β₁)+m(Γ₂)

+...+m(Γ_k)→m(Γ_n)

Integrali doppi

• D è normale rispetto ad x se, per x∈[a,b]

  posso scrivere α(x)≤y≤β(x)

  α(y)∈f(x)∈β(y)

• Area di D = μ(D)=∫_x∈[a,b][β(x)-α(x)]dx

  = ∫∫dx dy

• Formule di riduzione: D è normale rispetto ad x:

  ∫∫_Df(x,y)dx dy = ∫_a^b[∫_α(x)^β(x)f(x,y)]dy)dx

• D è normale rispetto ad y:

  ∫∫_Df(x,y)dx dy = ∫_γ^δ[∫β(y)

     f(x,y)dx]dy

Baricentro:

x(β)= 1/m(D) ∫∫_Γx(x,y)dx dy

y(β)= 1/m(D) ∫∫_Γy(x,y)xdy

dove m(D)= ∫∫_Γδ(x,y)dxdy

(f≠δ non costante)

(Ɐ δ=κ) μ(D) = ∫∫_βdxdy x(β)= 1/m(D)∫∫_βxdxdy

PARAMETRIZZAZIONI

Coordinate cilindriche:

• x = ρ cosϑ x₀
• y = ρ sinϑ y₀
• z = z z₀

det J = ρ

Coordinate sferiche:

• x = ρ sinφ cosϑ
• y = ρ sinφ sinϑ
• z = ρ cosφ

det J = ρ² sinφ

SURFACE REGOLARI

• Una superficie regolare F: DC → R³ è semplice a F(u₀, v₀) ↦ (u₀, v₀) ∀ (u₀, v₀ ) ∈ DC
• F regolare se di classe C¹ e se ha matrice jacobiana:

rg: JF(u₀, v₀) = [ ∂x(u, v) ∂y(u, v) ∂z(u, v) ] = 2

D(i, u₀, v₀) = F_u(u₀, v₀) ∧ F_v(u₀, v₀) ≠ 0

Versor normale: N(u₀, v₀) = F_u(u₀, v₀) ∧ F_v(u₀, v₀) / || F_u(u₀, v₀) ∧ F_v(u₀, v₀) ||

Piano tangente in (u₀, v₀): N(u₀, v₀) ⋅ (x-x₀, y-y₀, z-z₀) = 0

INTEGRALI CURVILINEI

∫_δ f( u(t) ) || φ'(t) || dt = ∫_δ f(x) ds

L(φ) = ∫_δ ds = ∫_α^β || φ'(t) || dt

se f = f₁ ∪ f₂ ⇒ ∫_δ f(x) ds = ∫_δ₁ f(x) ds + ∫_δ₂ f(x) ds

BARICENTRO

x_i(δ) = 1/m(δ) ∫_δ x_i f(x) ds, m(δ) = ∫_δ g(x) ds (f non costante)

• x_i(δ) = kf(x_i), x_i(β) = -1/m(β) ∫_δ x_i ds (se f = k)
• − ∫_R y = Z δ Z, x = Y δ Y x_i(δ) = m(β₁)x_i(β_max)]

INTEGRALI DOPPI

D è normale rispetto ad x se, per z [a,b] posso scrivere δ(x) e β(x) α(y) < y < β(y)

Area di D = μ(D) = ∫_a^b (β(x) - α(x) ) dx = ∬_D dx dy

Formule di riduzione:

• D è normale rispetto ad x:
• ∬_D f(x,y) dx dy = ∫_a^b ( ∫_α(x)^β(x) f(x,y) dy ) dx

• D è normale rispetto ad y:
• ∬_D f(x,y) dx dy = ∫_a^b ( ∫_γ(y)^β(y) f(x,y) dx ) dy

BARICENTRO

x(β) = 1/m(β) ∫∫_δ(x,y) f(x,y) dx dy, y(β) = 1/m(β) ∫∫_δ y f(x,y) dx dy

dove m(D) = ∫∫_δ f(x,y) dx dy (se f non costante)

• (se δ = K) μ(D) = ∫∫_δ dx dy < x(β) = 1/μ(D) ∫∫_δ x δ(x,y) dx dy

• CAMBIAMENTO DI VARIABILI:

∬_D ρ(x,y) dxdy = ∬ ρ(ϕ(u,v)) |detJϕ(u,v)| du dv

INTEGRALI DI SUPERFICIE

• ∬_S ρ(x,y) ds = ∬_D f(ϕ(u,v)) ||ϕ_u(u,v) ∧ ϕ_v(u,v)|| du dv

notare bene: ||ϕ_u(u,v) ∧ ϕ_v(u,v)|| = √(EG - F²), dove

  E = ||ϕ_u(u,v)||²

  F = ϕ_u(u,v) · ϕ_v(u,v)

  G = ||ϕ_v(u,v)||²

• S: Superficie di rotazione:

  ∬_S ds = L(β₀) L(β_r)

   [lunghezza della curva da viene ruotato]

   [lunghezza dell'arco di circonferenza percorso da un punto nella rotazione]

INTEGRALI TRIPLI

• E è normale rispetto al piano xy ↔ ∃D normale: E = {(x,y,z)|(x,y) ∈ D, α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)}

            x ∈     y ∈     z ∈

            (y,z) ∈           x ∈

• Volume: m(E) = ∭ f(x,y,z) dxdydz

• Formule di riduzione:

• BILANCIO:

  se E è normale rispetto ad xy ↔ {(x,y,z) ∈ D, α(x,y) ≤ z ≤ β}  

      => ∭_E f(x,y,z)dydz = ∫_D (∫_α(x,y)^β(x,y)) f(x,y,z) dxdy

      per FIL

   z ∈      [α;β],

    per STRATI

    ∭_E f(x,y,z) dxdydz = ∫_D (∬_α,β f(x,y,z) dydz) dx

    dove } m(S) = ∭_S

BARICENTRO:

  x(B) = 1/m(E)∭_E x δ(x,y,z) dxdy dz,   γ(B) = 1/m(E) ∭_E y δ(x,y,z) dxdy dz,

(S non è una costante)

   (m ⊆ x|R)     x(B) = ∭_E x dxdy dz

• DOMINIO CHE VIENE RUOTATO

• Solidi di rotazione: μ(T) = ∭ dx dy dz · L(β_r)

  [ARCO CIRCONF. RELAT. DA B]

CAMPI VETTORIALI

• Un campo F(x) è irrotazionale se ^∂F_i/_∂xj = ^∂F_j/_∂xi <=> rot F(x) = 0 = ∇∧F
• Un aperto è connesso se è formato da un "unico pezzo"; un aperto è semplicemente connesso se è connesso e non ha "buchi".
• Un campo F(x) irrotazionale in un aperto semplicemente connesso A è conservativo in A.
• Il potenziale relativo ad un campo conservato si ricava:

  (I) U(x,y) = ∫F₁(x,y) ds

  (II) ^∂U/_∂x(x,y) = F₁(x,y) e ^∂U/_∂y(x,y) = F₂(x,y)

  • caso IR²:
    • ^∂U/_∂x(x,y,t) = F₁(x,y,z) => U(x,y,z,t) = ∫F₁ dx = G(x) + c(y,z)
    • ^∂U/_∂y(x,y,z) = ^∂/_∂y(G(x) + c(y,z)) = G'(x) + c₁(y,z)
      • in cui c₁(y) = ∫G^'(y) dy + H(z)
    • ^∂U/_∂z(x,y,z,t) = ^∂/_∂z(G(x) + H(y) + c₂(z,t)) = H'(y) + c'₂(t)
• Se F(x) è conservativo e γ è regolare => ∫_a^b F ds = U(x₀) - U(x₀) = U(γ(b)) - U(γ(a))

• LAVORO: ∫_γ F(t) * γ(t)

  L*(t) ds = ∫^b_a F(γ(t)) * γ'(t) dt
• ∫_∂D F ds = ∬ ∂F₂/_∂y - ∂F₁/_∂x dx dy
• ∫∫_D div F dx dy

• FLUSSO:∫∫_D P•N ds = ∫∫∫_D div F dx dy dz

  • ∫∫∫∫ rot F dx dy dz = ∫∫∫∫_E N_u ^ F du dv
  • ∫∫∫∫ rot F•N ds = ∫∫∫∫_Σ rot F•N•ddά

Equazioni Differenziali

• Variabili Separabili:
  • y' = a(x) · b(y)
  • B(y(x)) = A(x) + c → y(x) = B^-1(A(x) + c)
  • Equazioni di Monge:
    • y' = g(^y/_x), posto z(x) = (^y/_x) → y(x) = x[z(x)] → z'(x) = z(x) + z(x)²
    • y' = g(^x/_y) → t.t x≠0 → g(^x/_y) ≠0 z(x) = ^x/_y
    • y' = g(ax + by), posto z(io=ax+by) → z'(x) = a + by'
    • y = g(ax + by) → c = ^-a/_b, → c ≠ 0 → z = b - b(ax + by) + a
• Lineari di 1º Ordine:
  • y' = a(x) + b(x)y → y(x) = e^A(x)( ^{∫ e-A(x) · b(u)eA(u)du + k})
  • Eq. di Bernoulli:
    • y' = a(x)y + b(x)y^q, posto z(io=y^1-q) → y(x) = y^1-q(z)
    • z' = (1/(1-q))(a(x) - z) + b(x)(z²)^1/(1-q)
• Lineari di 2º Ordine:
  • y'' + b(x)y' + c(x)y = g(x)
  • Considero l'equazione omogenea associata:
    • y'' + b(x)y' + c(x)y = 0
  • Le coefficienti costanti → y'' + b*y' + c*y = 0 → considero il polinomio caratteristico associato:
    • λ² + bλ + c = 0
  • Se Δ = 0 →
    • y_l(x) = c₁e^λx + c₂xe^λx
  • Se Δ > 0 →
    • y_l(x) = c₁e^λ₁x + c₂e^λ₂x
  • Se Δ < 0 → ±iβ:
    • b_i ± iβ
  • y_l(x) = c₁e^ax(cos(βx)) + c₂e^ax(sin(βx))
  • Una cerca le soluzioni particolari:
    • Pongo y_p(x) = c₁y_(1)(x) + c₂y_(2)(x)
    • Pongo c'₁(x)y_(1)(x) + c'₂(x)y_(2)(x) = 0
    • Calcolo c'₁(x)y_(1)(x) + b₂y_(2)(x) = b per trovare c'
    • Calcolo c'₁(x)y_(1)(x
    • › ∫d(g(x)) + b₁y_(1)(x, soluzione omogenea → 0 = constante
  • s.r:
    • P1 e=lim z(lim x) vale log

Curve

• Chiusa: ψ(a) = ψ(b)
• Semplice: ψ(t₁) = ψ(t₂) ⇒ t₁ = t₂
• Regolare: se ψ di classe C¹ e ψ'(t) ≠ 0 ∀t → άˆ propri.
• Se C^a esiste ψ' e le regione (anche infinitesima) fuori Ö(α, β) di class C¹ (a tratti)
• ∮ φ su γ se C^a lemma delle curve chiuse → ∯ f div φ(div=P, Q) = ∯ φ(P(x₁,...,x_n)) - φ(x) = ν(φ)
• Se φ di classe φ ed ∀ → γ

  ^∞φ(t) dT

  • Se ψ di classe C¹ → γ

    ^∞

    engagmt. SIANO φ(t) ogni cont.
• p : ( T∞, ψ'(s) T∞, N'(s) - B(s) = T(s), B(s) = T(s) ∧ N(s)

Topologia

• Aperto: se ∀B⊂A 3D₃(ps)⊂A
• chiuso: se Rⁿ\A è apro.
• Limitato: se ∃M>0 : A ⊂ BH(0) ∀PoƎA, d(P₀,O)≤M
• Compito E chiuso è bo
• Chiusura A⁻̅ = A ^O
• condotte cenreta

Cfn.dm osculatoria : τ(L) = ¹/_k(L), C(s) = δ(s) + π(s)Ν(s)

Se ̅