Formulario di Algebra lineare e geometria

Matrice determinante e proprietà

Scambio di segno

Nel determinante, se scambiamo due colonne, il segno cambia.

Complemento algebrico

Il complemento algebrico di un elemento a_ij in una matrice è calcolato eliminando la riga i e la colonna j.

Matrici invertibili

Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero.

Similitudine delle matrici

• Due matrici A e B sono simili se esiste una matrice invertibile P tale che A = PBP^-1.
• Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico, gli stessi autovalori, lo stesso determinante e la stessa traccia.

Teorema di Kronecker

Il teorema di Kronecker afferma che se una matrice quadrata ha tutte le sue minori di ordine p nulle, allora il rango della matrice è minore di p.

Matrici simmetriche

• Una matrice è simmetrica se è uguale alla sua trasposta, ossia A = A'.
• Se una matrice simmetrica è reale, allora i suoi autovalori sono reali.

Ortogonalità

Autovettori relativi a autovalori distinti di una matrice simmetrica sono ortogonali.

Decomposizione spettrale

Una matrice simmetrica può essere decomposta in una forma diagonale tramite una matrice di autovettori ortogonali. La decomposizione spettrale è rappresentata come:

A = UDU^-1

Proiezione

La proiezione di una matrice lungo una direzione è rappresentata da:

P = A per una matrice simmetrica con autovettori ortogonali.

Sistemi lineari

Il teorema di Cramer è applicabile per risolvere sistemi lineari con un numero di equazioni uguale al numero di incognite, se il determinante del sistema è diverso da zero.