Formulario: Appunti di Analisi matematica I

Z

∈

k

y=tgx 1 π 5/2π

2π

-π -π/2 π/2 3/2π

0

-π/2 -1

• Funzioni trigonometriche inverse

( ) =

f x x

i) funzione arcoseno: arcsen

− π π

= ( ) =

D f D

1, 1 , ,

[− ] 2 2

3

2 π/2

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1 -π/2

-2

-3 ( ) =

f x x

ii) funzione arcocoseno: arccos

= ( ) =

D f D

1, 1 , 0,

[− ] [ ]

π

4 y=π

π

3

2 π/2

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

-2 ( ) =

f x x

iii) funzione arcotangente: arctan

R, − π π

= ( ) =] [

D f D ,

2 2

6

5

4

3

2 y=π/2

1

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

y=-π/2 -2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

• Funzioni iperboliche −

x x

−

e e

( ) = =

f x x

i) seno iperbolico: sinh 2

R, R

= ( ) =

D f D −

x x

+

e e

( ) = =

f x x

ii) coseno iperbolico: cosh 2

R, ∞

= ( ) =] + [

D f D 1, x

sinh

( ) = =

f x x

iii) tangente iperbolica: tanh x

cosh

R, −

= ( ) =] [

D f D 1, 1

Trigonometria

π π π π

0

α 6 4 3 2

√ √

sen 0 1/2 2/2 3/2 1

α √

√

cos 1 3/2 2/2 1/2 0

α √ √ −

tg 0 3/3 1 3

α −

(− ) = (− ) =

sen sen cos cos

α α, α α

− − − −

( ) = ( ) =

sen cos cos cos

π α α, π α α

− −

( + ) = ( + ) =

sen sen cos cos

π α α, π α α

π

π − −

+ ) = ( + ) =

( cos cos sen

sen α α, α α

2 2

π π

−

( ) = ( + ) =

sen cos cos sen

α α, α α

2 2

• Formule di addizione

( + ) = +

x x x x x x

sen sen cos sen cos

2 2 2

1 1 1

− −

( ) =

x x x x x x

sen sen cos sen cos

2 2 2

1 1 1

−

( + ) =

x x x x x x

cos cos cos sen sen

2 2 2

1 1 1

−

( ) = +

x x x x x x

cos cos cos sen sen

2 2 2

1 1 1

+

x x

tg tg 2

1

( + ) =

x x

tg 2

1 − x x

1 tg tg 2

1

−

x x

tg tg 2

− 1

( ) =

x x

tg 2

1 + x x

1 tg tg 2

1

• Formule di duplicazione

( ) = x x

sen 2x 2 sen cos

2 2 2 2

− − −

( ) = = =

x x x x

cos 2x cos sen 1 2 sen 2 cos 1

x

2 tg

( ) =

tg 2x 2

− x

1 tg

• Formule di bisezione

− y

y 1 cos

2 ) =

(

sen 2 2

+

y y

1 cos

2 ( ) =

cos 2 2

−

y y

1 cos

2 ( ) =

tg + y

2 1 cos

Successioni

• Limiti notevoli ∞ √

+ >

se 0

α n

= = >

n a a

α

lim 1 se 0;

; lim

<

0 se 0

∞ ∞

→+ →+

n n

α

∞ ∞

+ > + >

a a

se 1 se 1

n = =

a n

lim ; lim log ∞

a −

< < < <

a a

0 se 0 1 se 0 1

∞ ∞

→+ →+

n n √

n

√ n! 1

∞; ∞,

n n

= + = + = =

n! n n

lim lim lim 1, lim

∞ ∞ ∞ ∞ n e

→+ →+ →+ →+

n n n n

n

α

α

=

+ e ;

lim 1

∞ n

→+

n

• Confronto tra successioni divergenti

n

log a 6

= > > =

a a

lim 0 se 0 e 0, 1;

α

∞ n α

→+

n n α = > >

a

0 se 0 e 1;

lim α

n

∞ a

→+

n n

a n! =

= >

a

lim 0 ;

0 se 1; lim n

∞ ∞

n! n

→+ →+

n n

Serie

• Serie armonica generalizzata

1 >

converge se 1

∑ α

= ≤

<

diverge se 0 1

n α α

N

∈

n

• Serie geometrica

 | | <

q

converge se 1

∞

+ 

n

∑ ≥

q

=

q diverge se 1

=

n 0 ≤ −

q

indeterminata se 1



Funzioni

• Limiti notevoli −

x x x x

x tg arcsen arctan 1 cos 1

sen = = = = =

1, lim 1, lim 1, lim 1, lim

lim 2

x x x x x 2

→ → → →

→ x x x x

x 0 0 0 0

0 x − ( + )

x

log 1

x a

a 1

1 a

ax a

=

+ = + = =

e

ax e a, e

, lim

lim 1 , lim 1 log lim log

( ) x a

∞ x x x

→+

x →

→ →

x

x x

0

0 0

α −

+ x

1 1

( ) = = >

x x

α

lim ln 0 se 0.

lim α, α

x

→ +

x →

0 x 0

• Derivate delle funzioni elementari 1

−

R; x x

1

∈ | |

α α

= = =

= Da a a; D x

Dk k Dx e

; log log

0 con log

αx a a

x

1

2

−

= = = + =

D x x; D x x; D x x

sen cos cos sen tg 1 tg 2 x

cos

1 1

1

√ √

−

= =

= D x D x

D x ; arccos ; arctan

arcsen 2

+ x

1

2 2

− −

x x

1 1 1

1

√ √

=

= = = D x

D x x; D x x; D x ; settscosh

sinh cosh cosh sinh settsinh 2 2 −

+ x x

1 1

• Regole di derivazione R

∈

( ( )) = ( )

D k f x kD f x k

con

0 0

± ±

( ( ) ( )) = ( ) ( )

D f x g x f x g x

0 0

( ( ) ( )) = ( ) ( ) + ( ) ( )

D f x g x f x g x f x g x

0 0

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x f x g x f x g x

=

D 2

( ) ( )

g x g x

0 0

( ( ( ))) = ( ( )) ( )

D g f x g f x f x

• Sviluppi di Taylor n

2 x

x

x n

= + + + + + ( )

e x o x

1 ...

– n!

2

1 1 1 + +

n

3 5 2n 1 2n 2

− + ( )

= + + + (− ) x o x

x x x x

sen ... 1

– +

2n 1 !

3! 5! ( )