Formulario analisi I

Arg z = {

      π/2 se a=0, b>0

      -π/2 se a=0 b<0

      non def. a,b = 0

      arctan(b/a) se a>0, b quals

      arctan(_b/_a)+π se a<0, b&ge;0

       arctan (_b/_a)-π se a<0, b<0

MAGGIORANTE

sono infinitiM ∈ ℝ è maggiorante di A se∀x ∈ A ⇒ x ≤ M

ESTREMO SUPERIORE

(massimo assoluto se Λ ∈ A)Λ ∈ ℝ si dice estremo superiore di A se∀x ∈ A ⇒ x ≤ Λ∀ε > 0 ∃x ∈ A / x > Λ - ε

MINORANTI

sono infinitiu ∈ ℝ si dice minorante di A se∀x ∈ A ⇒ x ≥ u

ESTREMO INFERIORE

(minimo assoluto se λ ∈ A)λ ∈ ℝ si dice estremo inferiore di A se∀x ∈ A ⇒ x ≥ λ∀ε > 0 ∃x ∈ A / x < λ + ε

ASSIOMA DI COMPLETEZZA

Ogni sottoinsieme non vuoto dei numeri reali A ∈ ℝ limitato sup e inf ammette l'estremo superiore e/o inferiore

Limiti

• lim_x→x0 f(x) = l
• lim_x→x0 f(x) = +∞
• lim_x→x0 f(x) = -∞
• lim_x→-∞ f(x) = l
• lim_x→-∞ f(x) = +∞
• lim_x→-∞ f(x) = -∞
• lim_x→+∞ f(x) = l
• lim_x→+∞ f(x) = +∞
• lim_x→+∞ f(x) = -∞

x → x₀

∀ε > 0 ∃δ > 0 / ∀x ∈ Df ∧ x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ) ⇒

• |f(x) - l| < ε

∀k > 0 ∃δ > 0 / ∀x ∈ Df ∧ x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ) ⇒

• f(x) > k

∀k > 0 ∃δ > 0 / ∀x ∈ Df ∧ x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ) ⇒

• f(x) < -k

x → -∞

∀ε > 0 ∃A > 0 / ∀x ∈ Df ∧ x < -A ⇒

• |f(x) - l| < ε

∀k > 0 ∃A > 0 / ∀x ∈ Df ∧ x < -A ⇒

• f(x) > k

∀k > 0 ∃A > 0 / ∀x ∈ Df ∧ x < -A ⇒

• f(x) < -k

x → +∞

∀ε > 0 ∃A > 0 / ∀x ∈ Df ∧ x > A ⇒

• |f(x) - l| < ε

∀k > 0 ∃A > 0 / ∀x ∈ Df ∧ x > A ⇒

• f(x) > k

∀k > 0 ∃A > 0 / ∀x ∈ Df ∧ x > A ⇒

• f(x) < -k

ANGOLI ASSOCIATI

• - Senα = Cos( ³/₂π - α)
• - tg( ³/₂π - α) = Cotgα
• * Sinα = Sin(π - α)
• * tg(π - α) = -tgα
• * Sinα = Cos( ^π/₂ - α)
• * tg( ^π/₂ - α) = cotgα
• ° - Sinα = Cos( ^π/₂ + α)
• ° tg( ^π/₂ + α) = - Cotgα
• ◊ sinα = Cos( ³/₂π + α)
• ◊ -tgα = tg( ³/₂π + α)
• * -Sinα = Sin(π + α)
• * tgα = tg(π + α)
• * Sinα = Sin(2π - α)
• * -tgα = tg(2π - α)
• * Cosα = Sin( ^π/₂ - α)
• * Cotg( ^π/₂ - α) ÷ tgα
• ° Cosα = Sin( ^π/₂ + α)
• ⧫ -Cosα = Sin( ³/₂π + α)
• ° - Cosα = Cos(π + α)
• ° Cotgα = Cotg(π + α) {π + α}
• * Cosα = Cos(2π - α) {2π - α}
• * -Cosα = Cos(2π + α) {2π + α}

ASINTOTI

• Sia x₀ ∈ D_F: la retta di equazione x = x₀ si dice ASINTOTO VERTICALE se lim_{x → x0^-} f(x) = ±∞ oppure lim_{x → x0⁺} f(x) = ±∞
• Sia D_F illimitato superiormente: la retta di equazione y = l si dice ASINTOTO ORIZZONTALE DX se lim_{x → +∞} f(x) = l la retta di equazione y = u si dice asintoto orizzontale SX se lim_{x → -∞} f(x) = u
• Sia D_F illimitato inferiormente e lim_{x → +∞} f(x) = ±∞: la retta di equazione y = ux + q si dice ASINTOTO OBLIQUO DX se
  1. lim_{x → +∞} f(x) / x = u ∈ ℜ
  2. lim_{x → +∞} (f(x) - u·x) = q ∈ ℜ

Teorema di Weierstrass

Sia f continua in [a, b]

Allora f ammette massimo e minimo assoluti

Estremo inferiore

Derivate

• Rapporto Incrementale

  \[\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = L \in \mathbb{R}\]

  \[L=f'(x_0)\]

  f in A è derivabile un A ⊆ Df se è derivabile in ogni punto di A

  Si dice insieme di derivabilità di f l'insieme Df' ⊆ Df dei punti in cui f risulta derivabile

• Funzione Costante

  f: \[\mathbb{R} \to \{k\}\]

  x → y = f(x) = k

  \[\phi_f = D_f = \mathbb{R}\]

  ∀ x ∈ Df, → f'(x) = 0

• Funzione Potenza

  f(x) = x^n

  f'(x) = n . x^{n-1}

  Df' = \[\mathbb{R}\]

  f(x) = x^n

  f'(x) = 0 . x^{n-1}

  Df' = \[\mathbb{R} - \{0\}\]

Derivata Funzione Potenza (razionali / irrazionali)

α ∈ ℝ⁺ ∖ ℕ, α > 1

f(x) = x^α

D_f = [0, +∞)

D_f' = D_f

∀ x > 0, f'(x) = α ⋅ x^α-1

α ∈ ℝ⁺ ∖ ℕ, 0 < α < 1

f(x) = x^α

D_f = [0, +∞)

D_f' = (0, +∞)

∀ x > 0, f'(x) = α ⋅ x^α-1

α ∈ ℝ ∖ ℤ

y = f(x) = x^α

D_f = (0, +∞)

D_f' = (0, +∞)

∀ x > 0, f'(x) = α ⋅ x^α-1

D{[f(x)]^-α} = f'(x) ⋅ α ⋅ [f(x)]^α-1

• TEOREMA DELLA CRESCENZA e DECRESCENZA

Sia f derivabile in un intervallo I

• Se f'(x) > 0 in I ⇒ f↑ in I
• Se f'(x) < 0 in I ⇒ f↓ in I
• Se f'(x) ≧ 0 in I e l'insieme dei punti di I in cui f' = 0 non è raro in I (ad es. sono punti densi), allora f è costante in I

• MASSIMO RELATIVO o MINIMO RELATIVO

Sia f continua nell'intervallo I_δ(x₀) e derivabile in I_δ(x₀) = [x₀, x₀]. Allora se f'(x) > 0 in (x₀ - δ, x₀) e f'(x) < 0 in (x₀, x₀ + δ) ⇒ x₀ è MAX RELATIVO.

Se f'(x) < 0 in (x₀ - δ, x₀) e f'(x) > 0 in (x₀, x₀ + δ) ⇒ x₀ minimo RELATIVO.

• CONCAVITÀ E CONVESSITÀ: DEFINIZIONE

f si dice convessa (concava) in un intervallo I se:

1. f derivabile in I
2. ∀x₀, x ∈ I si ha

   f(x) ≧ f(x₀) + f'(x₀)·(x - x₀) (convessa)

   f(x) ≤ f(x₀) + f'(x₀)·(x - x₀) (concava)