Formulario analisi I

Revisionato il 27/06/2026

di ele.galv

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Formulario riassuntivo dei principali argomenti riguardanti l'esame di analisi matematica uno elaborato dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni del professore …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Natalini Pierpaolo

Università Università degli Studi Roma Tre

A.A. 2020-2021

51 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Argomento di z

Arg z = {π/2 se a = 0, b > 0; -π/2 se a = 0, b < 0; non definito se a, b = 0; arctan(b/a) se a > 0, b qualsiasi; arctan(b/a) + π se a < 0, b ≥ 0; arctan(b/a) - π se a < 0, b < 0}

Maggiorante e estremo superiore

- Maggiorante: sono infiniti. Un numero M ∈ ℝ è un maggiorante di A se ∀x ∈ A ⇒ x ≤ M.

- Estremo superiore: (massimo assoluto se ∈ A) ∈ ℝ si dice estremo superiore di A se ∀x ∈ A ⇒ x ≤ M e ∀ε > 0 ∃x ∈ A / x > M - ε.

Minorante e estremo inferiore

- Minorante: sono infiniti. Un numero m ∈ ℝ è un minorante di A se ∀x ∈ A ⇒ x ≥ m.

- Estremo inferiore: (minimo assoluto se ∈ A) ∈ ℝ si dice estremo inferiore di A se ∀x ∈ A ⇒ x ≥ m e ∀ε > 0 ∃x ∈ A / x < m + ε.

Assioma di completezza

Ogni sottoinsieme non vuoto dei numeri reali A ∈ ℝ limitato superiormente o inferiormente ammette l'estremo superiore e/o inferiore.

Intorno di x₀

I_δ(x₀) = (x₀ - δ, x₀ + δ)

Intorno = intervallo molto piccolo.

Punto interno

x₀ ∈ A ∈ ℝ si dice punto interno di A se ∃ δ > 0 / I_δ(x₀) ⊆ A.

Punto di accumulazione

A ⊆ ℝ

x₀ ∈ ℝ si dice punto di accumulazione di A (x₀ ∉ A) se ∀ δ > 0 ⇒ (I_δ(x₀) - {x₀}) ∩ A ≠ ∅.

Punto isolato

Appartiene all'insieme ma non è un punto di accumulazione.

Principio di induzione

Si usa per dimostrare qualsiasi proprietà che vale ∀n in due passaggi.

P(n₀) con n₀ ∈ ℤ è vera.
Se P(n) è vera per una particolare n ∈ ℤ e n > n₀ ⇒ P(n+1) è vera.

Allora P(n) è vera ∀ n ∈ ℤ (n ≥ n₀).

Funzione suriettiva

Tutte le immagini hanno almeno una controimmagine.

Funzione iniettiva

Ad ogni coppia di elementi del dominio corrisponde una coppia di elementi distinti nel codominio.

Funzioni monotone crescenti

Strettamente crescente ∀x₁, x₂ ∈ Dƒ con x₁ < x₂ ⇒ ƒ(x₁) < ƒ(x₂).

Debolmente crescente ∀x₁, x₂ ∈ Dƒ con x₁ < x₂ ⇒ ƒ(x₁) ≤ ƒ(x₂).

Se è strettamente monotona allora è invertibile.

Funzioni monotone decrescenti

Strettamente decrescente ∀x₁, x₂ ∈ Df con x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Debolmente decrescente ∀x₁, x₂ ∈ Df con x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂).

Se è strettamente monotona è invertibile.

Funzione pari e dispari

Pari: ∀x ∈ Df ⇒ f(-x) = f(x) ⇢ non è invertibile.

Dispari: ∀x ∈ Df ⇒ f(-x) = -f(x) ⇢ non è invertibile.

Limite

lim_x→x₀lim_x→x₀lim_x→+∞lim_x→-∞x→+∞lim_x→+∞ f(x) = l ∀ε>0 ∃K>0 ∀x∈D_f (x>K ⇒ |f(x)-l| < ε).

lim_x→+∞ f(x) = +∞ ∀k>0 ∃K>0 ∀x∈D_f (x>K ⇒ f(x) > k).

lim_x→+∞ f(x) = -∞ ∀k>0 ∃K>0 ∀x∈D_f (x>K ⇒ f(x) < k).

x→-∞lim_x→-∞ f(x) = l ∀ε>0 ∃K>0 ∀x∈D_f (x<-K ⇒ |f(x)-l| < ε).

lim_x→-∞ f(x) = +∞ ∀k>0 ∃K>0 ∀x∈D_f (x<-K ⇒ f(x) > k).

lim_x→-∞ f(x) = -∞ ∀k>0 ∃K>0 ∀x∈D_f (x<-K ⇒ f(x) < -k).

lim_x→x₀^- f(x) = l iff ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D_f (x₀-δ < x < x₀ ⇒ |f(x)-l| < ε).

lim_x→x₀⁺ f(x) = l iff ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D_f (x₀ < x < x₀+δ ⇒ |f(x)-l| < ε).

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