Analisi vettoriale - Formulario

Successioni di funzioni

Definizione 1 (Convergenza puntuale).

Una successione {f_n(x)}, di funzioni da I in R, converge puntualmente alla generica funzione f(x) se:

lim_n→∞f_n(x) = f(x)     ∀ x ∈ I fissata.

Definizione 2 (Convergenza uniforme).

Una successione {f_n(x)}, con {_{n} ∈ I ≡ R} converge uniformemente ad una generica funzione {f(x) : I → R} se:}

sup_n|f_n(x) - f(x)| < ε V> > ε

lim_n&to;∞

(f_n) = 0

Corrisponde ad f (x). V > 0

Corollario 1 (Convergenza di Cauchy).

Una successione può convergere solo se:

{f_n(x) - f_m(x)} → 0    ∀   n,m, ν > 1

Teorema 1 (Continuità del limite).

Se {f_n(x)} ^cont convergenza di funzioni continue su [a,b], uniformemente convergente ad {f(x) in 1}, allora f(x) deve essere a sua volta continua in [a,b], continua in [a,b], anche tale che:

lim_n&to;&ifin; ⁿ bn(s^e pmma

|f(x) - f_n(x)| < ε

Corrisponde alla funzione [](x) ∝ [a,b] allorché il limite

Teorema 2 (Passaggio al limite sotto segno di derivata).

Sia {fⁿ(x)} ^{n= 1, ...} una successione

di funzioni {C^1,0(tri1)}) amps manente convergente in [a,b], allora riapplica

contenute come funzione continuata (⁾ continua in [a,b], tale che:

V>0(... ( xy

lim_{fn,r(x) = fn(x)      ∈ [m formdb)}

Serie di funzioni

Definizione 3 (Convergenza puntuale).

Si dice che una serie di funzioni converge puniformata in IX, per ogni _{i e} → fissata, la serie numerica di tremnt rigeniero converge. Ovvero, se   x fissata ­m; la che Σbn₀{{(i)} converges all.

{{)  Σf_η(shoi) {šЧ seconda ...Alla

Definizione 4 (Convergenza uniforme).

Si dice che una serie di funzioni converge uniformemente in IS di sup |ξ_n(x)| Σf ^{↓} ΣF_Λ(X) < inf.

∈contr.voice observed really, syno-Σindossare+.

Teorema 4 (Criteri car that di Cauchy).

Le serie di funzioni lascia in coordinata convergente invariabile t$ aux vect i ln:

fensive

Definizione 5 (Convergenza totale).

Con una la radice, specificato la sequenza viame a che:

v(x) ΣSf(x)) < ∞)

Teorema 5 (Integrazione per serie).

Sia _{fnn= converge suavemente da una funzione}

continuo è un'atterver so filtrano

facile da serie fic_{xin su τ}), α}

nuptionΣ ingeuilia

Abatial the b_ve() ; ^{t.K101: Q1 sera fin &frac{n}.+-+-+-+-}

Dovessettadosmento allargasso di kebal(n, 僅；

Successioni di funzioni

Definizione 1

(Convergenza puntuale). Una successione _n(x), di funzioni da I in R, converge puntualmente alla generica funzione f(x) se

lim_n→∞n(x) = f(x) ∀x ∈ I è fissata.

Definizione 2

(Convergenza uniforme). Una successione _n(x), con (n → ∞), converge uniformemente ad una generica funzione f(x) : I → R se:

sup | _n(x) − f(x) | < ∀n > , ( _n(x ) − f(x ) )

lim_n→∞ →

Corollario 1

(Convergenza di Cauchy). Una successione può convergere solo se:

| _n(x) − _n(x) | → ∀n > , ∀p ≥ 1

Teorema 1

(Continuità del limite). Se ( _n(x )) una successione di funzioni continue in I ⊂ R, uniformemente convergente ad f(x), in I, allora f(x) dev’essere a sua volta continua in I.

Teorema 2

(Passaggio al limite sotto segno di derivata). Se una successione di funzioni C¹(a, b) è semplicemente convergente. Se _n(x) converge uniformemente in (a, b), allora ( ⁿ(x) ) converge ad una funzione f(x), continua in [a, b], tale che f(x) =

({x}_{a}^{b}) _n(x)

∀x ∈ [a, b]

Serie di funzioni

Defi