Formulario Analisi II

Formulario analisi matematica II

Gradiente :

Una funzione è derivabile se esiste il gradiente.

: le derivate parziali del gradiente devono essere continue .

La continuità del gradiente è una condizione sufficiente ma non necessaria per la differenziabilità. Vuol dire che la funzione è C¹.

Prodotto scalare vettori :

Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz :

Una funzione è continua se

Derivata direzionale :

Teorema della funzione composta :

Equazione piano tangente al grafico :

Derivate di ordine superiore :

Le derivate miste (fxy,fyx) non sono sempre uguali.

: se la funzione è C², allora le derivate miste coincidono .

Formulario analisi matematica II

Gradiente :

Una funzione è derivabile se esiste il gradiente.

Teorema del differenziale totale : le derivate parziali del gradiente devono essere continue.

La continuità del gradiente è una condizione sufficiente ma non necessaria per la differenziabilità. Vuol dire che la funzione è C¹.

Prodotto scalare vettori :

Diseguaglianza di Cauchy-Schwartz :

Una funzione è continua se

Derivata direzionale :

Teorema della funzione composta :

Equazione piano tangente al grafico :

Derivate di ordine superiore :

Le derivate miste (fxy,fyx) non sono sempre uguali.

Matrice hessiana :

_{xx xyyx yy}

Punto critico (stazionario) :

_(x0) = 0

Teorema della formula di Taylor :

(x) - (x₀) = < ∇(x₀), x - x₀ > + ¹/₂ + R_x,x0

lim _{|x - x0| 0} = 0

La condizione necessaria per avere un minimo locale è < _(x0),v > >0La condizione necessaria per avere un massimo locale è < _(x0),v > sia definita positivaLa condizione sufficiente per avere un massimo locale è che < _(x0),v > sia definita negativa

La forma < ^∇_v,v> 0 è semidefinita positivaLa forma < ^∇_v,v> è definita positivaLa forma < ^∇_{v,v 0}> è semidefinita negativaLa forma < ^∇_{v,v 0}> è definita negativa

Il teorema che dice se la funzione assume un massimo o un minimo su un K chiuso e limitato si chiama Teorema di Weierstrass

Facendo la matrice hessiana abbiamo 3 casi :

1. det _g(x0) < 0 → sella
2. det _g(x0) > 0 → tr _g(x0) > 0 → min.locale→ tr _g(x0) < 0 → max.locale
3. det _g(x0) = 0

Per trovare i massimi, i minimi e i punti di sella bisogna studiare la matrice hessiana nei punti critici. Se viene fornito anche un dominio, bisogna calcolare i punti di massimo e minimo sulla frontiera del dominio.

Gli integrali in due o tre variabili possono esser ridotti secondo il Teorema di Fubini:

Si possono invertire anche l'ordine di integrazione e quindi integrare per colonne o per sezioni, per agevolarsi con lo svolgimento dell'integrale.

Oppure possono esser risolti secondo dei cambi di variabile particolari dove ad ogni integrale va moltiplicato il valore assoluto del determinante della matrice Jacobiana J:

1. Coordinate polari:

x = ρ cos σ

y = ρ sin σ

|det J| = ρ

2. Coordinate cilindriche:

x = ρ cos σ

y = ρ sin σ

z = z

|det J| = ρ

3. Coordinate sferiche:

x = ρ sin σ cos ϕ

y = ρ sin σ sin ϕ

z = ρ cos σ

|det J| = ρ² sin σ

σ ∈ [0, π]

ϕ ∈ [0, 2π]

Retta tangente alla curva in un punto:

γ(t₀) = (X(t₀), ..., Xₘ(t₀))

X(t) = X(t₀) + Ṫ(t₀) ∙ (t-t₀)

Y(t) = Y(t₀) + Ẏ(t₀) ∙ (t-t₀)

γ[t₀] [x - X(t₀)] = Ṫx(t₀) [y-Ṫy(t₀)]

Equazioni dei Grafici:

z² = x² + y² → cono

x² + y² + z² = 0 → piano

x² + y² + z² = v² → sfera

z² = x²/9 + y²/9 → paraboloide

x² + y² = v² → cilindro

x² + y² = r² → circonferenza

x²/a² + y²/b² = 1 → ellisse

ρ = 0.1 (a + cos σ) → cardioide

Le curve possono avere lo stesso sostegno (immagine) ma con diversi versi di percorrenza e diversa velocità.

Vettore velocità:

Versore tangente alla curva :

Il versore tangente coincide tra le due curve se stesso verso

Invece se verso opposto

Lunghezza della curva :

Quando in un integrale abbiamo , possiamo utilizzare il coseno iperbolico e seno iperbolico per svolgere l'integrale:

Campo vettoriale:

Operatore gradiente: Divergenza:

Prodotto vettoriale :

Rotore :

Superficie :

ϕ(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

Versore normale del piano tangente alla superficie:

η =

∂ϕ ∧ ∂ϕ / ||∂ϕ / ∂u ∧ ∂ϕ / ∂v||

∂u ∂v

Area superficie :

∬_K || ∂ϕ ∧ ∂ϕ || du dv

∂u ∂v

Area superfici di rotazione :

x = β(z) cosσ

y = β(z) senσ ⎧ a ≤ z ≤ b

z = z ⎩ σ ∈ [0,2π]

2 π ⌠^b β(z) √1+β'² dz

⌡_a

Integrali di superficie:

∬_Σ δ(x,y,z) dσ = ∬_K δ(ϕ(u,v)) || ∂ϕ ∧ ∂ϕ || du dv

∂u ∂v

Integrali curvilinei:

∫_a^b g(ξ(t)) || ξ'(t) || dt

Lavoro di un campo vettoriale:

F(M(x,y), N(x,y))

L ≡ ∫_Γ H dx + N dy = ∫_a^b [H(ξ(t)) x' + N(ξ(t)) y'] dt

I campi possono essere conservativi se esiste una funzione che ∇ = F

L(Γ) = ( b ) - ( a )

Se un campo è conservativo, il lavoro per andare da un punto ad un altro non dipende dalla curva,quindi possiamo tranquillamente scegliere curve più comode da usare.

= Potenziale F = Campo conservativo

La condizione necessaria per un campo conservativo è

∂H = ∂N

∂y ∂x

Un campo è irrotazionale quando ∂F_C = ∂F_J

∂x₃

F = (F_i, ……, F_n)

Non è detto che un campo irrotazionale sia per forza conservativo.

Una funzione è orientata positivamente, se percorrendola, l'insieme E si trova alla sinistra.

Teorema di Gauss-Green :

Un campo è conservativo se

Una curva è semplicemente connessa se il sostegno della curva è la frontiera di un insieme definito. Ovvero che è possibile deformare la curva fino a rappresentare un punto.

Se la curva è semplicemente connessa, e il campo irrotazionale, allora il campo è conservativo su quella curva.

Teorema della divergenza: