Riassunto e formulario Analisi 1

OPERAZIONI CON LE DERIVATE

Derivata del prodotto di una costante per (

[ ()]

∗ = ∗ ()

una funzione

Derivata della somma di due funzioni ( (

[() ()] ()

+ = + ()

Derivata del prodotto di due funzioni ( (

[() ()] ()()

∗ = + () ()

(

1 ()

Derivata del reciproco di una funzione G H=− $

() ()

( (

()

() ∗ () − () ∗ ()

Derivata del quoziente di due funzioni I J= $

() ()

( (

[(())]

Derivata di una funzione composta = K()L ∗ ()

1

*+

[ ()]

=

Derivata della funzione inversa ()

(

!(#)

0123(!)4 -(!) ∙ 013(!)

=

-(!)

[()]

% ()

() ∙

!(#) % ()

[()] ∙ ) ∙ () + .

() 3

ALGEBRA E GEOMETRIA 1

INTEGRALI IMMEDIATI %7+

Primitiva di una potenza con ≠ −1 %

N = +

+1

1

+ *+

Primitiva di = N = || +

!

Primitiva della funzione esponenziale con ! !

N = +

base 1

Primitiva di una funzione esponenziale ! !

N = +

con base ln

Primitiva del seno N = − +

Primitiva del coseno N = +

1

+

Primitiva della funzione N = +

% $

89: ! 1

+

Primitiva della funzione N = − +

% $

:;1 ! 1

+

Primitiva della funzione N = +

%

√+*! $

√1 −

1

+

Primitiva della funzione N = +

% $

1 +

+7! 1 1

$ $ !

Primitiva della funzione √ − " "

! ! ! !

− = ∙ 0 1 + − +

! 2 2 4

ALGEBRA E GEOMETRIA 1

INTEGRALI IMMEDIATI GENERALIZZATI %7+

()

( %

()

N ∙ () = +

+1

( ()

N = |()| +

()

( 3(!) 3(!)

()

N ∙ = +

( ()

N ∙ () = () +

( ()

N ∙ () = − () +

3(!)

( 3(!)

()

N ∙ = +

METODI DI INTEGRAZIONE

- Integrazione per parti per gli integrali indefiniti:

∙

!

! ∙ = ∙ − !

- Integrazione per parti per gli integrali definiti:

" "

! " !

[

! ∙ = ∙ ] − ! ∙

#

# #

- Integrazione per sostituzione per gli integrali indefiniti: !

! () = ! (()) ∙ ()

1) Si pone = ()

2) Si calcola il differenziale

3) Si effettua la sostituzione e si calcola l’integrale per

4) Si riscrive il risultato in funzione di 5

ALGEBRA E GEOMETRIA 1

STUDIO DI FUNZIONE

1) Determinare il dominio della funzione

2) Determinare eventuali simmetrie

3) Determinare un’eventuale periodicità (se la funzione è periodica la si può studiare in un suo

intervallo di periodicità)

4) Determinare eventuali intersezioni con gli assi cartesiani

5) Studiare il segno della funzione

6) Stabilire la continuità e classificare eventuali punti di discontinuità

7) Determinare eventuali asintoti e studiare la funzione agli estremi del suo dominio

8) Calcolare derivata prima e classificare eventuali punti di non derivabilità

9) Studiare l’andamento della funzione (crescenza/decrescenza) e determinare i punti di

massimo/minimo tramite la derivata prima

10) Calcolare la derivata seconda (se possibile) e studiare la concavità

11) Determinare le immagini ed il codominio della funzione

12) Disegnare un grafico approssimato della funzione

STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE

1) Dallo studio del segno della funzione integranda si determina la crescenza/decrescenza

()

della funzione integrale:

• Se è crescente.

() > 0, ()

• Se è decrescente.

() < 0, ()

• Se cambia segno nell’intorno di un punto, tale punto è un max/min di

() ().

2) Dallo studio delle eventuali simmetrie della funzione integranda si stabilisce la simmetria

()

della funzione integrale:

• Se è pari, è dispari.

() ()

• Se è dispari, è pari.

() ()

3) Si determina il punto (se esiste) nel quale la funzione integrale si annulla, ovvero il punto per il

quale gli estremi di integrazione sono uguali. Questo punto è spesso l’intersezione con l’asse y.

!! !

4) Si studia la derivata seconda, quindi l’andamento della concavità del grafico di

() = (),

().

5) Si determinano eventuali asintoti e si stabilisce l’andamento agli estremi del dominio studiando

la convergenza/divergenza dell’integrale improprio.

6) Se è localmente invertibile e derivabile. Il grafico della funzione inversa è il

() > 0, ()

simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

7) Da queste informazioni è possibile disegnare un grafico approssimato di ().

DIFFERENZIALE ! !

() = ( ) ∙ = ( ) ∙ ( − )

$ $ $

()

!

( ) = =

$ 6

ALGEBRA E GEOMETRIA 1

FORMULE UTILI

- Formula di Stirling: % &%

! ~ √2

- Equazione della retta tangente in un punto (dal concetto di differenziabilità):

$ !

) ( )

= ( + ∙ ( − )

$ $ $

- Gerarchia degli infiniti per le successioni: " % %

≪ ≪ ≪ ! ≪

#

- Gerarchia degli infiniti per le funzioni: " ' '

≪ ≪ ≪

#

- Uguaglianza utile nella derivazione di funzioni composte:

((') ((') ∙ -. (/('))

[()] = 0%'

=

- Periodo di una funzione goniometrica del tipo :

= ∙ ( + ) +

2

/1%2.40454%6#74 ():

= =

- Scomposizione di binomi con termini elevati al cubo:

8 8 9 9

(

− = − ) ∙ ( + + )

8 8 9 9

(

+ = + ) ∙ ( − + )

- Seno iperbolico e coseno iperbolico: ' &' ' &'

− +

ℎ = ℎ =

2 2

- Formula di Taylor con resto secondo Peano:

'' )

( ) ( )

& &

' ( ) ) )

() = ( ) + ( ) ∙ ( − ) + ∙ ( − ) + ⋯ + ∙ ( − ) + (( − )

& & & & & &

2 !

- Coefficiente binomiale esteso: ∙ ( − 1) ∙ ( − 2) ∙ … ∙ ( − + 1)

M P=

!

- Lunghezza del grafico di una funzione: " [

U1 ! 9

() = ! + ()]

# 7

ALGEBRA E GEOMETRIA 1

INTEGRALI IMPROPRI NOTEVOLI < 1

> +

∫

Se allora

> 0 *

# ! ≥ 1

< 1

> +

∫

Se allora

> 0 *

, (>*!) ≥ 1

> 1

7' +

∫

Se allora

> 0 *

, ! ≤ 1

CRITERI DI INTEGRABILITÀ (CONVERGENZA/DIVERGENZA DEGLI INTEGRALI IMPROPRI)

- Se la funzione ha segno costante (non negativa o non positiva):

• L’integrale improprio è regolare: converge o diverge.

• Criterio del confronto (semplice).

• Criterio del confronto asintotico.

- Se la funzione ha segno variabile:

• Criterio della convergenza assoluta: se l’integrale converge assolutamente, allora

converge anche semplicemente. La convergenza assoluta implica la convergenza

semplice. 8

ALGEBRA E GEOMETRIA 1

SVILUPPI DI TAYLOR DELLE FUNZIONI ELEMENTARI 9

ALGEBRA E GEOMETRIA 1

CRITERI DI CONVERGENZA/DIVERGENZA DELLE SERIE NUMERICHE

- Condizione necessaria di convergenza: se la serie converge, allora il termine generale è

infinitesimo.

- Se il termine generale della serie ha segno costante (non negativo o non positivo):

• La serie è regolare: converge o diverge. ;<

• ∑

Criterio integrale: la serie e l’integrale hanno lo stesso

() ()

∫

%:% %

! !

carattere.

• Criterio del confronto (semplice).

• Criterio del confronto asintotico. < 1 →

#

• "#$

Criterio del rapporto: lim = → = 1 → ?

#

%→;< " > 1 →

< 1 →

• "

Criterio della radice: lim U = → = 1 → ?

%

%→;< > 1 →

< 1 →

#

• "

Criterio di Raabe: lim M − 1P = → = 1 → ?

#

%→;< "#$ > 1 →

• ∑

Criterio di condensazione di Cauchy: la serie converge se e solo se converge la

%:> %

%

∑

serie condensata .

2

%:$ 9%

- Se il termine generale della serie ha segno variabile:

• ∑

Criterio della convergenza assoluta: Se la seri