Formulario Elettrotecnica

I = ^dq/_dt

ΔV= ^Wa-Wb/_q

∑_N I_i = 0

∑_M V_i = 0

BIPOLO

RESISTIVO (OHMMISTA)

LINEARE

Dinamico

GRAFO (RAPPRESENTAZIONE DI UN CIRCUITO)

G(L, N)

BIPOLI LINEARI: mV + nI + C = 0

• C = 0

V = RII = G⋅V

n = 0

V = ^C/_m = V_s

GENERATORE DI TENSIONE

• M = 0

I = ^C/_n = I_s

GENERATORE DI CORRENTE

• n = 0, V = 0
• C = 0
• m ≠0, C ≠0, I = 0

I = _dQ/_dT

ΔV = _Wa-Wb/_q

∑_NI_i = 0

∑_MV_i = 0

Bipolo

• Resistivo (Ohmico) - se il legame è algebrico
• Lineare - la caratteristica del bipolo è una linea retta
• Dinamico - se il legame è con integrali e derivate

Grafo (rappresentazione di un circuito) → G(L, N)

Bipoli lineari: mV+nI+C=0

• C=0
  • V=RI
  • I=GV

Resistenza

• Controllati in tensione
• Controllati in corrente
• Bipolo simmetrico

• n=0
  • V= - V_S
  • Generatore di tensione

m=0

• I= _C/_n = I_S
• Generatore di corrente

1. n≠0, V≠0
2. n=0, C≠0
3. m≠0, V=0
4. C=0, I=0

Generatori reali:

V = _h/^m I + _C/^m = RI + V_s I = _m/ⁿ V + _e/ⁿ = GV + I_s

R = _ϕ/^ξ

Potenza

ρ ≜ _ΔW/^Δt = V _Δq/^Δt = V·I

Un bipolo passivo è un bipolo la cui potenza è non negativa P > 0.

Partitori:

Tensione:

V₀ = V_{s R2}/^R₁+R₂V₁ = V_{s R1}/^R₁+R₂

I₀ = I_{s R2}/^R₁+R₂I₂ = I_{s R2}/^R₁+R₂

Teorema di Tellengen

2 circuiti diversi, ma con lo stesso grafo e le stesse convenzioni hanno le stesse leggi.

Errori commessi dagli strumenti di misura non ideali

E_V = I_{S GS}/^{G(Ḡ + G_S)}

R_S: resistenza amperometro G_S: costante voltmetro

MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA

Generatori pilotati

• Vi = Rm Is (CCVS)
• Io = Gm Vs (CCCS)
• Vo = βm Vs (VCVS)
• Ic = αm Is (CCCS)

z: Lato comandatos: Lato col comandom: Coefficiente di trasferimento

THEVENIN E NORTON

Come trovare l'equivalente Thevenin e Norton ai morsetti AB:

Thevenin:

• VT ➔ Calcolo la tensione ai morsetti AB
• RT ➔ Sorgo generatore, inietto una corrente Is, calcolo la tensione che produce Vt (RT=VT/Is)

Norton:

• IN ➔ Calcolo la corrente ai morsetti AB
• GN ➔ GN=1/RN , RN la calcolo nello stesso modo di RT

DOPPIA BILATO

Rappresentazione

Serie: RParallelo: GB1DAD 1: ZB1DAD 2: YTrasmissione 1: HTrasmissione 2: T

• VAR IND.
• u1
• u2
• u2
• u1
• VAR DIP.
• i1
• i2
• i2
• i1

Amplificatore Operazionale:

Considerazioni sull'approssimazione al comportamento ideale sui quadrupoli.

Nullatore

Noratore

Trasformatore Ideale

Giratore - tipo speciale di trasformatore

Pi = V1I1 = V2I2

Trasparente alla potenza

Componenti Dinamici (Reattivi) - con memoria

Condensatori:

C = Q/V ( = εS/d)

i = dq/dt = C dV/dt

χ = C·R

u(t) = e^(-t/χ) (U(0) - U(∞)) + U(∞)

Induttori:

L = ψ/I ( = Nφ/I)

n = dφ/dt = L di/dt

χ = L/R

i(t) = (I(0) - I(∞)) e^(-t/χ) + I(∞)

L'energia viene 50% assorbita e 50% dissipata in calore

RIASSUNTO:

X(t₂) = (X(t₀) - X(t_∞)) e^_(t0-t1) + X(t_∞)

Y(t) = K ⋅ dX(t)/dt

L'INSTABILITÀ SI HA QUANDO LA VARIABILE DI STATO SI COMPORTA DA ESPONENZIALE POSITIVA, CIOÒ PUÒ SUCCEDERE SE DIPENDE DA GENERATORI PILOTATI

RISOLUZIONE CIRCUITI DEL I° ORDINE:

• CALCOLO CONDIZIONI INIZIALI SOSTITUO AI CONDENSATORI DEI CIRCUITI APERTI E AGLI INDUTTORI DEI CORTO CIRCUITI
• CALCOLO LE CONDIZIONI FINALI NELLO STESSO MODO DELLE OPERAZIONI INIZIALI
• CALCOLO LA RESISTENZA VISTA DAL COMPONENTE REATTIVO NELLO STESSO MODO IN CUI VENGONO CONSIDERATE GENERATORI DI TENSIONE ED INDUTTORI E GENERATORI DI CORRENTE

RISOLUZIONE CIRCUITI DEL II° ORDINE:

• CALCOLO LE CONDIZIONI INIZIALI COME PER I CIRCUITI DI I° ORDINE
• TROVO LE RELAZIONI (SOSTITUENDO I COMPONENTI REATTIVI A GENERATORI):

C { V_C = i_C α₁V_c + α₂i_L} L { i_L = V_c α₁V_c + α₂i_L}

• TROVO L'EQUAZIONE CARATTERISTICA DI 2°ORDINE: z_α = tr(A) ω₀ = det(A) x''(t) + 2αx'(t) + ω₀² x(t) = 0
• TROVO LE EQUAZIONI PER i_c(t) e v_c(t) ( X(t) = K₁ e^_-α-t + K₂ e^_α-t + X(t_∞) )
• CALCOLO LE CONDIZIONI FINALI TROVINO LE X(t_∞)
• DETERMINO K₁ E K₂ IMPONENDO LE CONDIZIONI INIZIALI ( RICORDANDO CHE i_c(t_O) = i_c(t_s), i_L(t_O) = i_L(t_s) v_L(t_o) = v_L(t_s) v(t_c(t_tT), e v(t_c(t_s))

TIPI DI SOLUZIONE PER UN CIRCUITO DEL II ORDINE:

x(t) + 2αx^′(t) + w₀²x(t) = 0

• λ_1,2 = -α ± √(α² - w₀²)(Frequenze naturali)

x(t) = (k₁ + t k₂) e^λ₁t λ_1,2 = -α ± jβx(t) = e^-α(k₁cos(βt) + k₂sin(βt))d/dt x(t) = x(t0)

REGIME SINUSOIDALE (AC)

F(t) = A_Mcos(wt+φ)F(t) = F(t+T)T = 2π/w

METODO DEI FASORI:

F_M∴A_Me^jφProprietà:K - ω²≒K À(d/dt)<∇>u(t) - j(t)

Impedenze e Ammettenze:

Z_R = R , Y_R = ¹⁄_R

Z_C = ¹⁄_jωC , Y_C = jωC

Z_L = jωL , Y_L = ¹⁄_jωL

• Le leggi di Kirchhoff sono valide anche in regime sinusoidale.
• Teoremi e metodi possono applicare anche in regime sinusoidale.
• Si può usare il metodo della sovrapposizione degli effetti.

Z̅ = Re(Z̅) + j Im(Z̅) ⇒ R + j x

Y̅ = Re(Y̅) + j Im(Y̅) ⇒ G + j B

Resistenza, Reattanza, Suscettanza, Conduttanza

Funzione di Trasferimento:

X(t) ⇒ X̅

Y(t) ⇒ Y̅

F(jω) = ^Y̅⁄_X̅

φ_F = arctan(^Im(F̅)⁄_Re(F̅))

Filtri:

Passa Basso:

(i diagrammi rappresentano circuiti RC e LR, con la rappresentazione della banda passante e del taglio)

Passa Alto:

(diagrammi dei filtri passa alto)

Passa Banda:

(diagrammi e indicazione della frequenza centrale ω₀)

Arresta Banda:

(diagrammi dei filtri arresta banda)

POTENZA:

S ∴ \(\frac{1}{2}\) V I^*. Re(S) + i Im(S). P + i Q

P = \(\frac{1}{2}\) |V| |I| cos(φ_v - φ_i)

Q = \(\frac{1}{2}\) |V| |I| sin(φ_v - φ_i)

Massimo trasferimento di potenza: Z_s = Z_*l

Rifasamento: Riportare la Z solo resistiva (nulla Re(Q))

Valore efficace: È il valore in continua per ottenere la stessa potenza di quella alternata (es. I = Im/\(\sqrt{2}\))

Teorema di Boucherot: ΣP_i = 0   ΣQ_i = 0   "vincolando la sovrapposizione degli effetti"

• Se ω₁ = ω₂ sommo i fasori (F, V), ma non le potenze
• Se ω₁ ≠ ω₂ non posso sommare i fasori, ma posso le potenze medie.

Circuiti Magnetici:

Legenda di Hopkinson: Σ Ə.i = 0   Σ VA.i = 0 (Sono le leggi di Kirchhoff per i circuiti magnetici.)

Coefficiente di accoppiamento: K ≡ |M| / \(\sqrt{L_1 \cdot L_2}\)