Formulario analisi II

Formulario di Analisi II

Gianluca Filesi

Curve

Curva semplice

Il sostegno non ha intersezioni. La curva ha almeno una equazione iniettiva.

0 0 (1) kϕ ∨ kϕ(t) k > 0 (t) k < 0

Curva chiusa

n→ϕ : [a, b] ϕ(a) = ϕ(b) R

Curva regolare

Se è regolare è rettificabile. 0 0 (2) 1 2∈ kϕ 6 6ϕ C (I) (t) k = 0 ϕ (t) = 0

Se in un punto un’equazione non è derivabile la curva non è regolare (ma può essere regolarea tratti).

Curva biregolare

00 (3) 2 2∈ kϕ 6ϕ C (I) (t) k = 0

Curve regolari equivalenti

Esiste una funzione regolare e suriettiva con per cui 0 6g g (x) = 0◦ϕ(t) = (ψ g)(t) = ψ(g(t)).

• e hanno stesso sostegno.
• ϕ ψ
• &#bull; è strettamente monotona.
• g• −1∃g
• &#bull; Hanno stessa lunghezza.

Curva piana

Il versore binormale è costante (e quindi la torsione è nulla).

Lunghezza

bZ 0 (4)kϕL(ϕ) = (t)k dtaSe è detto rettificabile.

L(ϕ) < +∞, ϕ • Se è rettificabile. 1∈ϕ C (I) • Se è regolare è rettificabile. ϕ

Ascissa curvilinea

Per una curva regolare. tZ 0 (5)kϕ ∈s(t) = (t)k dr t [a, b]a

Una curva è parametrizzata con l’ascissa curvilinea se 0kϕ (s)k = 1.

Integrale di linea di I specie

bZ Z 0 (6)· kϕf ds = f (ϕ(t)) (t)k dtϕ a 1 • Se coincide con la lunghezza dif = 1 ϕ.

• Non dipende dalla parametrizzazione.

Lemma importante

Se allora 0ku(t)k ∈ ⊥= k u(t) u (t) R,

Triedro di Frenet

Esiste solo per curve biregolari (e quindi anche regolari).

• ϕ (t) • Versore tangente: T (t) = 0kϕ (t)k 0T (t)
• Versore normale: ×N (t) = B(t) T (t) = 0kT (t)k0 00ϕ (t)×ϕ (t)
• Versore binormale: B(t) = 0 00kϕ (t)×ϕ (t)k

Curvatura

0 00kϕ ×(t) ϕ (t)k (7)k(t) = 0 3kϕ (t)k

Torsione

0 00 000×< ϕ (t) ϕ (t), ϕ (t) > (8)−τ (t) = 0 00 2kϕ ×(t) ϕ (t)k

Piano osculatore

Piano passante per con normale il versore binormale. ϕ(s) • ρ(s) = 1/k(s) • ·C(s) = ϕ(s) + ρ(s) N (s)

Formule di Frenet

Con ascissa curvilinea.

• 0 ·T (s) = k(s) N (s)
• 0 −τ · − ·N (s) = (t) B(s) k(s) T (s)
• 0 ·B (s) = τ (s) N (s)

Piano passante per con normale

P N (9)− − −N = (i, j, k) P = (x , y , z ) i(x x ) + j(y y ) + k(z z ) = 00 0 0 0 0 0

Baricentro

bZ Z1 1 0 (10)x(ϕ(t))kϕ (t)k dtx ds =x =B L(ϕ) L(ϕ)ϕ a

Massa data la densità

bZ Z 0 (11)M = δ ds = δ(t)kϕ (t)k dtϕ a

Baricentro data la densità di massa

bZ Z1 1 0 (12)x = δ x ds = δ(t) x(t)kϕ (t)k dtB M Mϕ a

Funzioni a più variabili

Topologia

Insieme compatto - teorema di Heine-Borel

Un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Limiti

Definizione

(13)|f −⇐⇒ ∀ε ∃δ > : 0 < d(x, x ) < δ =⇒ (x) L| < εf (x) = L > 0 lim 0ε,x 0x→x 0

Restrizioni notevoli

Per il candidato limite si ottiene con le restrizioni:

• →(x, y) (0, 0), 2f (0, y) f (x, 0) y = f (x) x = f (y) y = mx y = ax per (14)
• +|f − ≤ → →(x + ρ cos ϑ, y + sin ϑ) L| g(ρ) 0 ρ 00 0

Algoritmo

1. Cercare il candidato limite attraverso le restrizioni (di solito è se diverso probabilmente0,non esiste);
2. Se numeratore e denominatore hanno gradi diversi, uguagliare i gradi e cambiare disegno per prova;
3. Se e hanno gradi diversi, uguagliare i gradi e cambiare di segno per prova; x y
4. Se hanno stesso grado, se il limite dipende da non esiste poiché non y = mx: munivoco;
5. Se le varie restrizioni portano a risultati univoci (soprattutto se verificare il limite0), maggiorandolo con g(ρ).
6. Disuguaglianze notevoli;
7. Se il denominatore è una somma, rimuovere un termine sempre positivo maggiora la frazione;
8. Se il numeratore è una somma, rimuovere un termine sempre negativo maggiora la frazione;

Disuguaglianze notevoli

• Cauchy-Schwarz: |< ≤ kvkkwkv, w >|
• Triangolare: ||x| − |y|| ≤ |x ≤ |x| |y|+ y| +
• Notevole: 12 2 2|xy| ≤ (x + y )
• Goniometriche (15): |sin ≤ |x| → |sin ≤ |cos ≤x| x 0 ϑ| 1 ϑ| 1

Logaritmo ed esponenziale

con (16) ≤ |ln ≤ ≥ln (1 + x) x (1 + x)| c|x| c > 1 exp (x) 1 + x

Pitagora

p p (17)2 2 2 2|x| ≤ |y| ≤x + y x + y3

Derivazione e differenziabilità

Derivazione - definizione

−(x + he ) f (x)∂f i (18)(x) := lim∂x hh→0i

Gradiente

12 2· · · ∇f∇f ∇(f= + + f =(x) )∂x ∂xn1

Derivabilità

Una funzione è derivabile se finito∀i ∃ (x).∂x inuità in funzione con più di una variabile.

Derivata direzionale

−∂f f (x + hv) f (x) (19)(x) := lim∂v hh→0

Funzioni composte

0 0 00 (20) ∇fF (t) = f x(t) F (t) =< x(t) , x (t) > F (t) =< H (x + th)h, h >f

Differenziabilità - definizione

Una funzione si dice differenziabile se:

− −f (x) f (x )− < l, x x >0 0 (21)lim =0kx − kxx→x 0 0

Se è differenziabile in

allora:

• &#bull; è continua; f
• &#bull; è derivabile e ∇f f (x ) = L; 0
• &#bull; è derivabile in in ogni direzione. f x 0

In due dimensioni e in

si ha che: (x, y) = (0, 0) − ∇f f (h, k) f (0, 0)− < (0, 0), (h, k) > (22)

√ =0lim 2 2 h + k(h,k)→(0,0)

Formula del gradiente

∂f (23)∇f< (x ), v >=0 ∂v

Piano tangente differenziabile in

È definito il piano tangente in al grafico2∈f (x , y ) (x , y )R0 0 0 0

della funzione. (24)∇f − −z = f (x , y )+ < (x , y ), (x x , y y ) >0 0 0 0 0 0

Massima e minima crescita

∇f ∇f(x (x0 0 (25)−v −v = v = =mM Mk∇f k∇f(x )k (x )k0 0

Teorema del differenziale totale

è differenziabile in ∈f x Ase:

• &#bull; derivabile inf A
• &#bull; continue inf xx 0i

Differenziale

(26)∇fdf (x )(h) =< (x ), h >0 0

Derivate seconde

2∂ f ∂ (27)f (x) = (x) = f (x)x x xj i i∂x ∂x ∂xj i j

Matrice Hessiana

 (x) . . . f (x)f x xx x n11 1.. .... (28).. .H (x) = f  (x)(x) . . . ff x xx x n nn 1

Teorema di Schwarz

Se e sono continue in , allora sono uguali e la matrice f (x ) f (x ) xx x 0 x x 0 0i j j i è simmetrica.

Formula di Taylor con resto di Lagrange

1 (29)∇ff (x + h) = f (x )+ < (x ), h > + < H (x + ϑh)h, h >0 0 0 0f2

Formula di Taylor con resto di Peano

1 per (30)2∇f →f (x + h) = f (x )+ < (x ), h > + < H (x )h, h > +o(khk ) h 00 0 0 0f2

Piano tangente data formula di Taylor con resto di Peano

dove so-z = T (x, y) T (x, y)o o1 1 no solo i termini di primo grado dello sviluppo di Taylor.

Funzioni vettoriali

Matrice Jacobiana

∂f∂f  11 (x ) ... (x )0 0∂x ∂xn1 . ...... (31). .J (x ) = 0f  ∂f∂f mm (x ) . . . (x )0 0∂x ∂xn1

Jacobiana di funzioni composte

(32)◦ ·F (t) = (f g)(t) J (t) = J (g(t)) J (t)gF f