Formulario analisi II

Teorema di Weierstrass

Il teorema di Weierstrass afferma che se una funzione è continua in un insieme chiuso e limitato, allora assume massimo e minimo assoluti in quell'insieme.

Per dimostrare questo teorema, è necessario seguire i seguenti passaggi:

1. Ricerca dei punti critici (∇f = 0)
2. Ricerca dei punti di estremo vincolato (usando i moltiplicatori di Lagrange)
3. Confronto dei valori ottenuti e ricavo del massimo e del minimo assoluti

È importante notare che se la funzione assume valori positivi o negativi solo in alcune zone, limitate e con la funzione nulla sulla frontiera, allora tali zone possono essere considerate insiemi compatti.

Inoltre, per una funzione integrabile su un dominio normale rispetto all'asse, è necessario che il dominio sia limitato e misurabile, e che la funzione sia continua in tale dominio.

Infine, per determinare se una funzione è integrabile, è possibile utilizzare le condizioni (37) e (38) che coinvolgono gli intervalli [a, b] e le funzioni α(x) e β(x).

Formule di Fubini per integrali doppi

Sia un dominio normale rispetto all’asse e2⊆D xRsia 0→ ∈f : D f C (D).R, !b β(x)Z ZZZ (38)f (x, y) dx dyf (x, y) dxdy = a α(x)DCambiamento di coordinate negli integrali doppi Siano domini regolari e sia0 2⊆Ω, Ω Φ :Rbiunivoca, . Se è continua:0 0 01 → ∈ 6 ∀(u, ∈ →Ω Ω Φ C (Ω ) : det J (u, v) = 0 v) Ω f : Ω RΦZZZZ (39) |det |f Φ(u, v) J (u, v) dudvf (x, y) dxdy = Φ0ΩΩSe il determinante è in funzione di allora:x, y,ZZ ZZ −1 (40) |det |f (x, y) dxdy = f Φ(u, v) J (x, y) dudvΦ0Ω ΩCoordinate polari Non è possibile passare in coordinate cartesiane a meno di ridurre il dominio:ZZ ZZ1 1h i h i0 (41)× −Ω = , r 0, 2π =⇒ f (x, y) dxdy = f (ρ cos ϑ, ρ sin ϑ)ρ dρdϑk k 0Ω ΩCoordinate sferiche e 2Φ(ρ,

ϑ, ϕ) = (ρ sin ϕ cos ϑ, ρ sin ϑ sin ϕ, ρ cos ϕ) det J = ρ sin ϕΦZZZ ZZZ (42)2f (x, y, z) dxdydz = f Φ(ρ, ϑ, ϕ) ρ sin ϕ dρdϑdϕ0Ω ΩCoordinate cilindriche e Φ(ρ, ϑ, z) = (ρ cos ϑ, ρ sin ϑ, z) det J = ρΦZZZ ZZZ (43)f (x, y, z) dxdydz = f Φ(ρ, ϑ, z) ρ dρdϑdz0Ω ΩRiduzione per fili Sia un dominio normale rispetto al piano e sia .2 0⊆ → ∈E xy f : E f CR R,!β(x,y)ZZZ ZZ Z (44)f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dz dxdyE D α(x,y)Riduzione per strati !2hZZZ Z ZZ (45)f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dxdy dzΩ h Ω (x,y)z1Teorema di Pappo-Guldino Sia continua e sia il solido generato dalla3→ ⊆f : [a, b] ΩR Rrotazione completa attorno all’asse del grafico di Allora:∈y = f (z), z [a, b].z bZVol(Ω) (46)2= π f (z) dza7Area e baricentro RR RRx dxdy y dxdyZZ (47)Ω

Ω|Ω| = dxdy x = y =|Ω| |ΩΩVolume RRR RRRRRR y dxdy z dxdyx dxdyZZZ (48)VolΩ Ω ΩΩ y = z == dxdydz x = VolΩ VolΩ VolΩΩIntegrale della gaussiana in R +∞ √Z 2−x (49)e dx = x−∞4 Forme differenziali e campi vettorialiIntegrale di 2° specie O circuitazione. 0b ZZZ γ (t)0 (50) < F, T > ds T =a γ(t) γ (t) dtω = i i 0kγ (t)kγaγZ Z Solo se è esatta (e conservativo) (51) −ω = < F, T > ds = f γ(b) f γ(a) ω Fγ γ ∂fForma differenziale esatta ∀i, ∀x ∈ A a (x) = (x)i ∂xiCampo conservativo ∇fF (x) = (x)Teo.(caratterizzazione delle forme differenziali esatte) curve regolari equivalenti.γ, γ , γ1 2Sono equivalenti le affermazioni:• è esatta in aperto e connesso. (F è conservativo inω A A).• Se è chiusa, Rγ ω = 0γ• Se e hanno gli

stessi estremi e lo stesso verso, R Rγ γ ω = ω1 2 γ γ1 2Forma differenziale chiusa ∂a∂a ji (52)(x) = (x)∂x ∂xj iCampo vettoriale irrotazionale ∂F∂F ji (53)∇ ×(x) = (x) F (x) = 0∂x ∂xj i• Se è esatta, allora è chiusa inω A.• Se è conservativo, allora è irrotazionale inF A.• Lemma di Poincaré: Se è semplicemente connesso, ogni forma differenziale chiusan⊆A Rin è esatta in (campo irrotazionale è conservativo).A A −→è esatta è chiusaω ω←−è semplicemente connessoAè conservativa è irrotazionaleF F−→84.1 Formule di Gauss-Green (54)2 1∈ ⊆ ∈ω(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy (x, y) D P, Q C (D)RDominio normale regolare rispetto all’asse xZZ Z (55)−P (x, y) dxdy = P (x, y) dxy +D ∂ DDominio normale regolare

ellittico: zx − − =12 2 2a b c5.2 SuperficiSuperficie semplice Se è iniettiva in .◦ϕ DSuperficie regolare dominio connesso (chiusura di un aperto connesso). è regolare se:D ϕ• è iniettiva (e suriettiva in ;◦× 6ϕ ϕ = 0) Du v 9• La matrice ha rango massimo 2 in ◦J Dϕ  ∂ ϕ ∂ ϕu 1 v 1 (61)∂ ϕ ∂ ϕJ (u, v) = u 2 v 2ϕ  ∂ ϕ ∂ ϕu 3 v 3Una superficie regolare è una superficie semplice, di classe e tutti i suoi punti sono regolari.1CVersore normale ×ϕ ϕu v (62)N = kϕ × kϕu vPiano tangente alla superficie regolare in SiaP = (x , y , z ) N (u , v ) = (a, b, c).0 0 0 0 0 0 (63)−ax −π = ax + by + cz + d d = + by cz0 0 0 (64)− − −π : < (a, b, c), (x x , y y , z z ) > = 00 0 0Area ZZ (65)kϕ × kϕ dudvA(ϕ) := u vDIntegrale di superficie ZZ ZZ (66) kϕ × kϕ(u, v) ϕ dudvf dσ := f u vS DSuperficie orientabile Ha

sempre due facce.Flusso di un campo vettoriale 0∈F C (S) ZZ (67)Φ(F) = < F, N > dσSCircuitazione lungo i bordi di una superficie 1∈F C (A)ZZ (68)< F, T > ds+∂ STeorema di Stokes ZZ ZZ (69)Φ(rot F) = < rot F, N > dσ = < F, T > ds+S ∂ SNDivergenza del campo vettoriale Pdiv F = ∂ Fx ∑i=1 iTeorema della divergenza di GaussZZZ ZZ (70)div F dxdydz = < F, N > dσeΩ ∂ΩIntegrazione per parti ∇g,F = gV div F =< V > +g(div V )ZZZ ZZ ZZZ (71)− ∇g,g(div V ) dxdydz = g < V, N > dσ < V > dxdydzΩ ∂ΩLaplaciano ∇fV = ∆f = div VDivergenza nel piano ZZ Z (72)div F dxdy = < F, N > ds+D ∂Area di superfici di rotazione ∈x = f (z), z [a, b]bZ (73)p 0 2A(S) = 2π f (z) 1 + f (z) dz106 Successioni e serie di funzioniConvergenza uniforme |f −sup (x) f (x)| = 0kx∈ITeorema dell’inversione dei limiti Se converge uniformemente a

in{f } f I = [a, b].k k∈N (74)lim lim f (x) = lim lim f (x) = lim f (x)k kx→x x→x x→xk→∞ k→∞0 00

Corollario al teorema uniformemente è continua.{f } → f =⇒ fk k∈N

Se la serie di funzioni continue converge puntualmente in a , ma non è continua,{f } I f fk k∈Nallora non converge uniformemente.{f }k k∈N

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale Se converge uniformemente{f }ka inf I = [a, b]. bbb ZZZ (75)f (x) dxlim f (x) dx =f (x) dx =lim kk k→∞k→∞ aaa

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata Se converge uniformemente{f }ka inf I = [a, b]. 0 00 (76)= f (x)lim f (x) dx = lim f (x)