Formulario Analisi 2 Ancona

FORMULARIO ANALISI 2

ESERCIZIO 1.

1. Data la curva parametrica r(t) con t ∈ [a; b] si calcoli il versore tangente/normale e la retta/piano tangente in un suo punto.

   T(t) = r'(t)/∥r'(t)∥ N(t) = r''(t)/∥r''(t)∥ retta tang: r(t₀) + r'(t₀)

   piano tang: ∂F(P)/∂x (x – x₀) + ∂F(P)/∂y (y – y₀) + ∂F(P)/∂z (z – z₀) = 0

   Se il punto non viene specificato, trovarne uno che appartenga a r(t).

2. Si calcoli l'integrale curvilineo (di 1ª specie):

   ∫_C Fds =

   trasformo ds in dt: ds = ∥r'(t)∥dt. Poi lo sostituisco nell'integrale.

   ∫_C Fds = ∫_a^b F(r(t))∥r'(t)∥dt

3. Si consideri il campo vettoriale F(x,y), determinare se è irrotazionale.

   Se VF ≠ 0 allora F è irrotazionale. VF = ∂F_x/∂y - ∂F_y/∂x

4. Determinare se F è conservativo nel suo dominio ed in tal caso se ne calcoli un potenziale.

   Se il dominio di F è tutto ℝ, allora F è conservativo. Per calcolare un potenziale occorre tenere presente:

   ∂U/∂x = F_x, ∂U/∂y = F_y

   Quindi prendo ∫^x F_xdx = F_x + c(y), lo derivo rispetto a y e lo pongo uguale a F_x. A questo punto avremo:

   d/dy (∫^x F_x + c(y)) = F_x

   Se ∂/∂t (F) = F_x, allora ∂/∂t (y) è una costante. Si avrà quindi che un potenziale di F sarà:

   U(x,y) = ∫^x F_x + c(y)

5. Si consideri la curva γ(t) con t ∈ [a; b] e si calcoli l'integrale curvilineo (di 2ª specie).

   A questo punto si calcolano i punti A e B, dove A = γ(a) e B = γ(b), se F è conservativo si avrà:

   ∫_C F ⋅ dr = U_B - U_A

ESERCIZIO 2:

1. Scrivere una parametrizzazione della frontiera ∂D di D e tracciare un disegno qualitativo di D.

Vedere formulario parametrizzazioni

FORMULARIO ANALISI 2

ESERCIZIO 1.

i) Data la curva parametrica r(t) con t ∈ [a; b] si calcoli il versore tangente/normale e la retta/piano tangente in un suo punto.

T(t) =r'(t) / ||r'(t)|| N(t) = r''(t) / ||r''(t)|| retta tang: r(t₀) + r'(t₀)

aiano tang: ∂F(P)/∂x (x - x₀) + ∂F(P)/∂y (y - y₀) + ∂F(P)/∂z (z - z₀) = 0

Se il punto non viene specificato, trovarne uno che appartenga a r(t).

ii) Si calcoli l'integrale curvilineo (di 1^a specie):

∫ Fds = ∫ F(r(t))||r'(t)||dt

Si consideri il campo vettoriale F(x, y), determinarne se è irrotazionale.

Se VF ≠ 0 allora F è irrotazionale. VF = (∂F_y/∂x) - (∂F_x/∂y)

iii) Determinare se F è conservativo nel suo dominio ed in tal caso se ne calcoli un potenziale.

Se il dominio di F è tutto ℝ, allora F è conservativo. Per calcolare un potenziale occorre tenere presente: ∂U/∂x = F_x, ∂U/∂y = F_y

Quindi prendo F_xdx = F_x + c'(y), lo derivo rispetto a y e lo pongo uguale a F_x. A questo punto avremo:

d/dx (F_x + c'(y)) = F_x

Se (∂F/∂x) = F_x, allora c'(y) è una costante. Si avrà quindi che un potenziale per F sarà:

U(x,y) = ∫ F_x + c'(y)

iii) Si consideri la curva r(t) con t ∈ [a; b] e si calcoli l'integrale curvilineo (di 2^a specie):

∫ F ⋅ dr = U_B - U_A se F è conservativo si avrà:

ESERCIZIO 2:

i) Scrivere una parametrizzazione della frontiera ∂D di D e tracciare un disegno qualitativo di D.

Vedere formulario parametrizzazioni

ii) Determinare il versore normale uscente nei punti regolari della superficie ∂D.

Si prende la parametrizzazione di ∂D e si fanno le derivate parziali rispetto ai parametri.

∂(∂D)—∂p

∂(∂D)—∂q

Si esegue il prodotto interno tra a e b:

a ∧ b = |i j k ||ax ay az | = ( i(aybz — azby) — j(axbz — azbx) + k(axby — aybx) )|bx by bz |

Il versore normale sarà:

v = a ∧ b——||a ∧ b||

iii) Calcolare il volume V di D.

V = ∭dxdydz

A seconda delle coordinate usate nella parametrizzazione, si procede alla conversione ricordando di mantenere, nell'integrale più interno, un intervallo che comprenda come estremo un'espressione di un'incognita.

iii) Calcolare il flusso Φ del campo vettoriale F(x, y, z) uscente da ∂D.

Φ = ∬ F ∧ d∂D = ∭ divF dV

Dove: dV = dxdydz e divF = ∂Fx + ∂Fy + ∂Fz—— —— ——∂x ∂y ∂z

(Teorema della Divergenza)

ESERCIZIO 3

i) Determinare la frontiera ∂D di D.

Vedere formulario solidi

ii) Calcolare gli estremi di f vincolati su ∂D e specificare i corrispondenti punti di massimo e minimo vincolato.

Se ∂D è in 3 variabili conviene parametrizzare fino ad arrivare ad averne 2. Si andrà allora a sostituire nella f data la parametrizzazione della frontiera, si dovrà poi derivare la funzione ottenuta e porla uguale a 0. I punti dove questa si annulla saranno punti stazionari (di max, di min o di sella) e per trovarne le coordinate basterà inserire i valori trovati nella funzione data.

iii) Calcolare gli estremi di f : D → ℝ e determinare la sua immagine f(D).

Si dovrà a questo punto procedere con il calcolo dei massimi e minimi dell'intera funzione, l'immagine non è altro che l'intervallo tra il valore min e il valore max. Per il calcolo dei massimi e minimi seguire la regola del gradiente e dell'Hessiana.

∂f—— = 0,∂x∂f—— = 0∂y∂f—— = 0 e si trovano i valori delle variabili che rappresentano punti stazionari.∂z

Matrice Hessiana:

dopo aver trovato i valori tramite il metodo del gradiente si valuta l'Hessiana nei punti.

Si calcolano gli autovalori dell'Hessiana (det(H − λI) = 0) nei singoli punti trovati:

• Se l'Hessiana è definita positiva: punto di MIN
• Se l'Hessiana è definita negativa: punto di MAX
• Se l'Hessiana è indefinita: punto di SELLA

Oppure: metodo Mattia. Pongo uguale a 0 il determinante della matrice ottenuta mettendo sulle righe i rotori dei vincoli del dominio e quello della funzione.

Attenzione che i valori ottenuti rispettino le condizioni del dominio!

det | ∂D₁/∂x ∂D₁/∂y ∂D₁/∂z | = 0

ESERCIZIO 4:

Si consideri un’equazione differenziale lineare.

1. Determinare l'integrale generale (l’insieme delle soluzioni)

Data l’equazione lineare omogenea ay'' + by' + cy = 0, si procede sostituendo a y un'incognita ausiliaria λ e risolvendo l'equazione di seconda grado associata. A seconda delle soluzioni λ trovate si otterrà un’integrale generale:

Due soluzioni λ₁ e λ₂ distinte: φ(C₁,C₂,x) = C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x

Due soluzioni coincidenti λ₁ = λ₂: φ(C₁,C₂,x) = C₁e^λx + xC₂e^λx

Due soluzioni complesse α ± iβ: φ(C₁,C₂,x) = C₁e^αxcos(βx) + C₂e^αxsin(βx)

Data l’equazione lineare non omogenea ay'' + by' + cy = f(x), si procede come sopra per trovare l’integrale generale dell’omogenea associata. Si antepongono allora alle due parti in C₁ e C₂ due variabili ausiliarie A e B ottenendo una funzione W. Si deriva W ottenendo W’ e W'', si inseriscono le W nell’equazione non omogenea di partenza al posto delle y, si opera un raccoglimento e si cerca di isolare A e B. Trovati i valori di A e B li si sostituisce nella w e la soluzione dell'equazione non omogenea sarà data dalla somma tra la soluzione dell’omogenea associata e la w così ottenuta.

3. Determinare la soluzione φ del problema di Cauchy.

Partendo dalla soluzione trovata al punto precedente si trovano C₁ e C₂ seguendo i vincoli imposti dal problema.

FORMULARIO DERIVATE

d/dx (x) = 1

d/dx (|x|) = x/|x|

d/dx (1/x) = -1/x²

d/dx (√x) = 1/2√x

d/dx (xⁿ) = n x^n-1

d/dx log_ax = 1/x log_ea = 1/x lna

d/dx lnx = 1/x

d/dx a^x = a^x lna

d/dx e^x = e^x

d/dx sinx = cosx

d/dx cosx = -sinx

d/dx tgx = 1/cos²x = 1 + tg²x

d/dx cotgx = -1/sin²x

d/dx arcsinx = 1/√1-x²

d/dx arccosx = -1/√1-x²

d/dx arctgx = 1/1+x²

d/dx arcotgx = -1/1+x²

d/dx (f(x)/g(x)) = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))²

d/dx (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

d/dx (f(g(x))) = f'(g(x)) · g'(x)

d/dx (f(x))ⁿ = n f(x)^n-1 f'(x)

d/dx a^f(x) = a^f(x)lna · f'(x)

d/dx e^f(x) = e^f(x)f'(x)

d/dx lnf(x) = f'(x)/f(x)

d/dx (f(x))^g(x) = (f(x))^g(x) ( (g(x))'ln(f(x)) + g(x) · f'(x)/f(x) )

FORMULARIO INTEGRALI

∫ a dx = ax + c

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / n+1 + c

∫ 1/x dx = ln |x| + c

∫ sen x dx = -cos x + c

∫ cos x dx = sen x + c

∫ t^{tg x} dx = tg x + c

∫ t^{cotg x} dx = -cotg x + c

∫ e^x dx = e^x + c

∫ e^ax dx = e^ax / a + c

∫ a^x dx = e^a / ln a + c

∫ 1/sin² x dx = - cotg x + c

∫ 1/cos x dx = ln |tg x + π/2| + c

∫ 1/a² - x² dx = arcosen x/c + c

∫ 1/√(a² - x²) dx = arcosen x/c + c

∫ 1/1 + x² dx = arc tg x + c

∫ 1/x - x² dx = 1/2 ln |(x+1)/(x-1)| + c

∫ 1/√(x² - a²) dx = ln |x + √(x² - a²)| + c

∫ 1/x² + 1 dx = ln(x + √(1+x²)) + c

∫ 1/√(x² + a) dx = ln |x + √(x² + a)| + c

∫ √x² + a dx = x/2 √x² + a ± a²/2 ln(x + √x² + a²) + c

∫ √a² - x² dx = 1/2 (x arc sen x/a + x √a² - x²) + c

∫ sen² x dx = 1/2 (x - sen x cos x) + c

∫ cos² dx = 1/2 (x + sen x cos x) + c

∫ g(x) f'(x) dx = g(x)ⁿ⁺¹ / n+1 + c

∫ f'(x)/ß(x) dx = log |f(x)| + c

f'(x) ⋅ cos(ß(x)) dx = sin(ß(x)) + c

f'(x) sin(f(x)) dx = -cos(f(x)) + c

e^g(x) g'(x) dx = e^g(x) + c

∫ a^g(x) g'(x) dx = a^{log e} / log e + c

∫ f'(x)/√(1-f(x)²) dx = arc sen(f(x)) + c

∫ f'(x)/1+f(x)² dx = arc tg(f(x)) + c

f'(x) ⋅ g(x) dx = f(x) ⋅ g(x) - ∫ f(x) g'(x) dx

∫ √(x⁴ + 10 - y²) dx = ∫ √(x² + a) dx con a = 10 - y²

FORMULE GONIOMETRICHE

sen 2x = 2 senx cosx

cos 2x = cos²x - sin²x = 1 - 2sin²x = 2cos²x - 1

tg 2x = ^2tgx/_{1 - tg²x}

sin ^x/₂ = ± ^√1-cosx/₂

cos ^x/₂ = ± ^√1+cosx/₂

tg ^x/₂ = ^1-cosx/_1+cosx

EQUAZIONI SOLIDI E PARAMETRIZZAZIONI

SFERA

x² + y² + z² = ρ²

Calotta sferica

Si limita φ

• x = ρ cos θ cos φ
• y = ρ sin θ cos φ
• z = ρ sin φ

ELLISSOIDE

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1

• x = a cos θ cos φ
• y = b sin θ cos φ
• z = c sin φ

PARABOLOIDE IPERBOLICO

x²/a² - y²/b² = 2ez

• x = x
• y = y
• z = (x²/a² + y²/b²)/2e

PARABOLOIDE ELLITTICO

x²/a² + y²/b² = 2ez

• x = x
• y = y
• z = (x²/a² + y²/b²)/2e

x²y²z = d

• x = ρ cos θ
• y = ρ sin θ
• z = d - e