Formulario Analisi 2 Ancona

FORMULARIO ANALISI 2

ESERCIZIO 1.

I) Data la curva parametrica r(t) con t ∈ [a; b] si calcoli il versore tangente/normale e la retta/piano tangente in un suo punto.

T(t) = r'(t) / ||r'(t)||

N(t) = r''(t) / ||r''(t)||

retta tang: r(t₀) + tr'(t₀)

piano tang: (∂F/∂x)_P(x - x₀) + (∂F/∂y)_P(y - y₀) + (∂F/∂z)_P(z - z₀) = 0

Se il punto non viene specificato, trovarne uno che appartenga a r(t).

ii) Si calcoli l'integrale curvilineo (di 1ª specie):

1. ∫_C f ds =

trasformo ds in dt: ds = ||r'(t)||dt. Poi lo sostituisco nell'integrale.

1. ∫_C f ds = ∫_C f(r(t))||r'(t)||dt

i) Si consideri il campo vettoriale F(x, y), determinarne se è irrotazionale.

Se ∇F = 0 allora F è irrotazionale. ∇F = (∂F_x/∂x, ∂F_y/∂x)

ii) Determinare se F è conservativo nel suo dominio ed in tal caso se ne calcoli un potenziale.

Se il dominio di F è tutto ℝ, allora F è conservativo. Per calcolarne un potenziale occorre tenere presente:

∂U/∂x = F_x, ∂U/∂y = F_y

Quindi prendo ∫ F_xdx = ∫ F_x + C(y), lo derivo rispetto a y e lo pongo uguale a F_x. A questo punto avremo:

d/dx [∫ F_x] + C'(y) = F_x

Se d/dx (∫ F_x) = F_x, allora C'(y) = 0, quindi C(y) è una costante. Si avrà quindi che un potenziale di F sarà:

U(x,y) = ∫ F_x + K

iii) Si consideri la curva r(t) con t ∈ [a; b] e si calcoli l'integrale curvilineo (di 2ª specie).

A questo punto si calcolano i punti A e B, dove A = r(a) e B = r(b), se F è conservativo si avrà:

∫_C F · dr = U_B - U_A

ESERCIZIO 2:

I) Scrivere una parametrizzazione della frontiera ∂D di D e tracciare un disegno qualitativo di D.

Vedere formulario parametrizzazioni

ii) Determinare il versore normale uscente nei punti regolari della superficie ∂D.

Si prende la parametrizzazione di ∂D e si fanno le derivate parziali rispetto ai parametri.

Se esegue il prodotto interno tra a e b:

a × b = a_x a_y a_z b_x b_y b_z i j k = (a_xb_z - a_zb_y)i - (a_xb_z - a_zb_x)j + (a_xb_y - a_yb_x)k

Il versore normale sarà:

v = a × b / |a × b|

iii) Calcolare il volume V di D.

V = ∭ dx dy dz

A seconda delle coordinate usate nella parametrizzazione, si procede alla conversione ricordando di mantenere, nell'integrale più interno, un intervallo che comprenda come estremo un'espressione di un'incognita.

iii) Calcolare il flusso Φ del campo vettoriale F(x, y, z) uscente da ∂D.

Φ = ∯ F v d∂D = ∭ div F dV

Dove: dV = dx dy dz e div F = ∂F_x/∂x + ∂F_y/∂y + ∂F_z/∂z

(Teorema della Divergenza)

ESERCIZIO 3

i) Determinare la frontiera ∂D di D.

Vedere formulario solidi

ii) Calcolare gli estremi di f vincolati su ∂D e specificare i corrispondenti punti di massimo e minimo vincolato.

Se ∂D è in 3 variabili conviene parametrizzare fino ad arrivare ad averne 2. Si andrà allora a sostituire nella f data la parametrizzazione della frontiera, si dovrà poi derivare la funzione ottenuta e porla uguale a 0. I punti dove questa si annulla saranno punti stazionari (di max, di min o di sella) e per trovarle e coordiante basterà inserire i valori trovati nella funzione data.

iii) Calcolare gli estremi di f su Sup Ƒ e determinare la sua immagine ƒ(D).

Si dovrà a questo punto procedere con il calcolo dei massimi e minimi dell'intera funzione, l’immagine non è altro che l’intervallo tra il valore min e il valore max. Per il calcolo dei massimi e minimi segue la regola del gradiente e dell’Hessiana.

∂F = 0 ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z

si trovano i valori delle variabili che rappresentano punti stazionari.

FORMULE GONIOMETRICHE

sen 2x = 2 senx cosx

cos 2x = cos²x - sin²x = 1 - 2sin²x = 2cos²x - 1

tg 2x = 2tg x / 1 - tg²x

sin x/2 = ± √(1-cosx / 2)

cos x/2 = ± √(1+cosx / 2)

tg x/2 = ± √((1-cosx) / (1+cosx))