Formulario Analisi 2 Ancona

Esercizio 3

1. Determinare la frontiera ∂D di D. Vedere formulario solidi

2. Calcolare gli estremi di f vincolati su ∂D e specificare i corrispondenti punti di massimo e minimo vincolato.

   Se ∂D è in 3 variabili conviene parametrizzare fino ad arrivare ad averne 2. Si andrà allora a sostituire nella f data la parametrizzazione della frontiera, si dovrà poi derivare la funzione ottenuta e porla uguale a 0. I punti dove questa si annulla saranno punti stazionari (di max, di min o di sella) e per trovarne le coordinate basterà inserire i valori trovati nella funzione data.

3. Calcolare gli estremi di f : D → ℝ e determinare la sua immagine f(D).

   Si dovrà a questo punto procedere con il calcolo dei massimi e minimi dell'intera funzione, l'immagine non è altro che l'intervallo tra il valore min e il valore max. Per il calcolo dei massimi e minimi seguire la regola del gradiente e dell'Hessiana.

   ∂f—∂x = 0, ∂f—∂y = 0, ∂f—∂z = 0 e si trovano i valori delle variabili che rappresentano punti stazionari.

   Matrice Hessiana: dopo aver trovato i valori tramite il metodo del gradiente si valuta l'Hessiana nei punti.

   Si calcolano gli autovalori dell'Hessiana (det(H - λI) = 0) nei singoli punti trovati:

   • Se l'Hessiana è definita positiva: punto di MIN
   • Se l'Hessiana è definita negativa: punto di MAX
   • Se l'Hessiana è indefinita: punto di SELLA
   • Oppure: metodo Mattia. Pongo uguale a 0 il determinante della matrice ottenuta mettendo sulle righe i rotori dei vincoli del dominio e quello della funzione.

   Attenzione che i valori ottenuti rispettino le condizioni del dominio!

   det | ∂D₁/∂x ∂D₁/∂y ∂D₁/∂z | = 0

Esercizio 4

Si consideri un’equazione differenziale lineare.

1. Determinare l'integrale generale (l’insieme delle soluzioni)

   Data l’equazione lineare omogenea ay'' + by' + cy = 0, si procede sostituendo a y un'incognita ausiliaria λ e risolvendo l'equazione di seconda grado associata. A seconda delle soluzioni λ trovate si otterrà un’integrale generale:

   • Due soluzioni λ₁ e λ₂ distinte: φ(C₁,C₂,x) = C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x
   • Due soluzioni coincidenti λ₁ = λ₂: φ(C₁,C₂,x) = C₁e^λx + xC₂e^λx
   • Due soluzioni complesse α ± iβ: φ(C₁,C₂,x) = C₁e^αxcos(βx) + C₂e^αxsin(βx)

   Data l’equazione lineare non omogenea ay'' + by' + cy = f(x), si procede come sopra per trovare l’integrale generale dell’omogenea associata. Si antepongono allora alle due parti in C₁ e C₂ due variabili ausiliarie A e B ottenendo una funzione W. Si deriva W ottenendo W' e W'', si inseriscono le W nell’equazione non omogenea di partenza al posto delle y, si opera un raccoglimento e si cerca di isolare A e B. Trovati i valori di A e B li si sostituisce nella w e la soluzione dell'equazione non omogenea sarà data dalla somma tra la soluzione dell’omogenea associata e la w così ottenuta.

2. Determinare la soluzione φ del problema di Cauchy.

   Partendo dalla soluzione trovata al punto precedente si trovano C₁ e C₂ seguendo i vincoli imposti dal problema.

Formulario Derivate

• d/dx (x) = 1
• d/dx (|x|) = x/|x|
• d/dx (1/x) = -1/x²
• d/dx (√x) = 1/2√x
• d/dx (xⁿ) = n x^n-1
• d/dx log_ax = 1/x log_ea = 1/x lna
• d/dx lnx = 1/x
• d/dx a^x = a^x lna
• d/dx e^x = e^x
• d/dx sinx = cosx
• d/dx cosx = -sinx
• d/dx tgx = 1/cos²x = 1 + tg²x
• d/dx cotgx = -1/sin²x
• d/dx arcsinx = 1/√1-x²
• d/dx arccosx = -1/√1-x²
• d/dx arctgx = 1/1+x²
• d/dx arcotgx = -1/1+x²
• d/dx (f(x)/g(x)) = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))²
• d/dx (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• d/dx (f(g(x))) = f'(g(x)) · g'(x)
• d/dx (f(x))ⁿ = n f(x)^n-1 f'(x)
• d/dx a^f(x) = a^f(x)lna · f'(x)
• d/dx e^f(x) = e^f(x)f'(x)
• d/dx lnf(x) = f'(x)/f(x)
• d/dx (f(x))^g(x) = (f(x))^g(x) ( (g(x))'ln(f(x)) + g(x) · f'(x)/f(x) )

Formulario Integrali

• ∫ a dx = ax + c
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / n+1 + c
• ∫ 1/x dx = ln |x| + c
• ∫ sin x dx = -cos x + c
• ∫ cos x dx = sin x + c
• ∫ tg x dx = ln |sin x| + c
• ∫ cotg x dx = -ln |cos x| + c
• ∫ e^x dx = e^x + c
• ∫ e^ax dx = e^ax / a + c
• ∫ a^x dx = a^x / ln a + c
• ∫ 1/sin² x dx = -cotg x + c
• ∫ 1/cos x dx = ln |tg x + π/2| + c
• ∫ 1/a² - x² dx = arcsen x/a + c
• ∫ 1/√a² - x² dx = arcsen x/a + c
• ∫ 1/1 + x² dx = arctg x + c
• ∫ 1/√x² - a² dx = ln |x + √(x² - a²)| + c
• ∫ 1/x² + 1 dx = ln(x + √(1+x²)) + c
• ∫ 1/√(x² + a) dx = ln |x + √(x² + a)| + c
• ∫ √x² + a dx = x/2 √x² + a ± a²/2 ln(x + √x² + a²) + c
• ∫ √a² - x² dx = 1/2 (x arcsen x/a + x √a² - x²) + c
• ∫ sin² x dx = 1/2 (x - sin x cos x) + c
• ∫ cos² x dx = 1/2 (x + sin x cos x) + c
• ∫ g(x) f'(x) dx = g(x)ⁿ⁺¹ / n+1 + c
• ∫ f'(x)/β(x) dx = log |f(x)| + c
• f'(x) cos(β(x)) dx = sin(β(x)) + c
• f'(x) sin(f(x)) dx = -cos(f(x)) + c
• ∫ e^g(x) g'(x) dx = e^g(x) + c
• ∫ a^g(x) g'(x) dx = a^{log e} / log e + c
• ∫ f'(x)/√(1-f(x)²) dx = arcsen(f(x)) + c
• ∫ f'(x)/1-f(x)² dx = arctg(f(x)) + c
• ∫ f'(x) · g(x) dx = f(x) · g(x) - ∫ f(x) g'(x) dx
• ∫ √(x⁴ + 10 - y²) dx = ∫ √(x² + a) dx con a = 10 - y²

Formule Goniometriche

• sen 2x = 2 senx cosx
• cos 2x = cos²x - sin²x = 1 - 2sin²x = 2cos²x - 1
• tg 2x = ^2tgx/_{1 - tg²x}
• sin ^x/₂ = ± ^√1-cosx/₂
• cos ^x/₂ = ± ^√1+cosx/₂
• tg ^x/₂ = ^1-cosx/_1+cosx

Equazioni Solidi e Parametrizzazioni

• Sfera

  x² + y² + z² = ρ²

• Calotta sferica

  Si limita φ

  x = ρ cos θ cos φ

  y = ρ sin θ cos φ

  z = ρ sin φ

• Ellissoide

  x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1

  x = a cos θ cos φ

  y = b sin θ cos φ

  z = c sin φ

• Paraboloide Iperbolico

  x²/a² - y²/b² = 2ez

  x = x

  y = y

  z = (x²/a² + y²/b²)/2e

• Paraboloide Ellittico

  x²/a² + y²/b² = 2ez

  x = x

  y = y

  z = (x²/a² + y²/b²)/2e

• x²y²z = d

  x = ρ cos θ

  y = ρ sin θ

  z = d - e