formulario analisi 2

LIMITI A 2 VARIABILI MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI

′

= 0

− 0 = ( − )

1) Si usa {

1) ′

=0

= =

2) Si usa e 2) Vedere se appartiene al dominio

3) Trovare i punti di frontiera con le curve:

CONTINUITA IN P(XO,Y0) = 0 +

• {

Circonferenza: = 0 +

lim (, ) = (0, 0)

1) (,)→(0,0) =

• {

Ellisse: =

• Quadrato: sono 4 curve dove variano x

DERIVABILITA e la y in base a t che è compreso tra 2

(ℎ,0)−(0,0) valori (= per il rettangolo e per il

(0,0) = lim

1) ℎ

ℎ→0 triangolo [solo ha tre curve])

2) Fare lo stesso procedimento per fy 4) una volta fatte tutte le curve sostituiamo

3) Se i 2 limiti sono finiti è derivabile la x e la y della curva alla funzione

iniziale trovando una F in funzione di t

DIFFEREZIABILITA 5) Derivare la F di t ,e porla =0 => t=k

6) Poi sostituiamo la k alla t a tutte le curve

1)P0 punto,P(x,y) e troviamo i punti (sostituire anche i

′ ′

()−(0)− (0)(−0) (0)(−0)

lim

2) valori a<t<b a, b solo alla curva che

2 2

+(−0)

√(−0)

→0 (0+∆,0)−(0) stiamo esaminando)

′ = ′ = lim

3) ∆

∆→0 7) Poi fare il bilancio cioè sostituiamo i

0

4)Se il lim è≠ non è differenziabile punti trovati, alla funzione iniziale e

prendiamo come punto di minimo il

DERIVATE PARZIALI punto dove la funzione è più piccola e

viceversa per il punto di massimo

• Derivate parziali 1°= prima x (poi y)const

′ ′

• Derivate parziali 2°= = INTEGRALE CURVILINEO 1 SPECIE

= ((), ()) ∈ [, ]

1)

MASSIMI E MINIMI RELATIVI ′2 ′2

()+ ()

(, ) + (±√ )

2) ∫

′

= 0 3) Se è orientata y crescenti + alla radice

{

1) ′

=0 senno –

′ ′

′′

, ′′,

2) Derivate parziali =

FORME DIFFERENZIALI

′

′′

= [ ]

3) nei punti 1) DIFFERENZIABILE:

′

′′ 1) Studiare A e vedere se è aperto per

4) Se H ha un valore positivo ha punti max verificarlo studiare il dominio

′′

>0

min se è un punto di minimo

2) = per n=2

5) Se H è negativo è un punto di sella

6) Se H è nullo bisogna studiare il 3) = ; = ; = Per n=3

comportamento vicino al punto

(, 0), (, ), (0, ), (−, −)

2) PRIMITIVA n=2 DOMINI PER INTEGRALI DOPPI

) )

1) =(, =(,

1) PARABOLA SIMMETRICA ALL’ASSE y:

(, ) = (, ) +

2) ∫ • 2

= + +

•

{(, ) + ′

3) = > 0 concavità verso l’alto

∆

•

= ( − ; − )

= (, ) − {∫ (, )

4) ∫ ∫ 2 4

2) PARABOLA SIMMETRICA ALL’ASSE X:

(, )

5) Poi si sostituisce a • 2

= + +

3) PRIMITIVA n=3 ∆

• = ( − ; − )

4 2

, ) , ) , )

1) =(, =(, =(, 3) CERCHIO NOTI CENTRO E RAGGIO:

(, , ) = (, , ) + (, )

2) ∫ • 2 2 2

( + ) + ( + ) =

(,,)

= 4) CERCHIO EQUAZIONE CANONICA:

{

3) sostituiamo da 1) • 2 2

+ + + + =0

(,,)

=

•

= (− ; − )

4) Poi scegliamo uno dei 2 e integriamo 2 2

5) ELLISSE:

rispetto y o z rispetto quello scelto 2 2

•

+ = 1

= +

5) ∫ 2 2

• 2 2

Se > orizzontale

= {(, ) + ′

6) • 2 2

Se < verticale

•

= {(, )

7) ( 3 ) -

∫ ∫ (0, ±)

1,2 = 2,4 = (0, ±)

8) Poi si sostituisce a 5) INTEGRALI DOPPI

9) Poi si sostituisce a 2) 1) DOMINIO NORMALE RISPETTO ASSE X:

FORZE • ]

avente base[, e relativo a 2 funzioni

• ≤ ≤

FORZE RISPETTO 2 PUNTI (A, B)

• (, ) = (, )

∬ ∫ ∫

∇ =

1) - =0 2) DOMINIO NORMALE RISPETTO ASSE Y :

•

2) Verificare se è conservativo cioè ]

avente base[, e relativo a 2 funzioni

escludere i domini e dividere in ≤ ≤

insiemi semplicemente connessi

• (, ) = (, )

∬ ∫ ∫

3) Fare la primitiva VB(x1,y1)-VA (x2,y2) 3) DOMINIO NORMALE RISPETTO ASSE X/Y

• •

FORZE RISPETTO UNA CURVA ]

avente base[, e relativo a 2 funzioni

≤ ≤ / ≤ ≤

∇ =

1) - =0

• (, ) = (, )

∫ ∫ ∫ ∫

2) Verificare se è conservativo (fare 4) DOMINIO NON NORMALE X/Y

come forze rispetto 2 punti) • Si divide il dominio in diversi domini

= ((), (), ())

3) Avendo dove • (, ) = (, ) + (, )

∬ ∬ ∬

1 2

∈ [, ]

= () = () SIMMETRIE

= () = ()

= { = {

4) B

= () = () 1)FUNZIONE INTEGRANDA

•

5) Fare la primitiva VB(x1,y1)-VA (x2,y2) f si dice pari(x) se f(-x,y)=f(x,y)

• f si dice dispari(x) se f(-x,y)=-f(x,y) EQUAZIONI DIFFERZIALI 1°

• f si dice pari(y) se f(-x,y)=f(x,y)

• 1) VARIABILI SEPARABILI

f si dice dispari(y) se f(-x,y)=-f(x,y) • Fxy si può scrivere come fx*gy

2) DOMINIO

• • =

Se f è pari rispetto x è simmetrico ∫ ∫

(, )

rispetto y => 2

∬ 2) OMEGENEE DI GRADO

•

• ′

Se f è pari rispetto y è simmetrico = ( )

(, )

rispetto x => 2

∬ • ′ ′

= + ( ) =

• Se f è dispari rispetto x è simmetrico 3) NON OMOGENEE

• ′

(, ) =0

rispetto y => ∬ + ∗ =

• •

∫

Se f è dispari rispetto y è simmetrico

Moltiplichiamo i membri

•

∫ ∫

[ ] = ∗

(, ) =0

rispetto x => ∬

•

∫ ∫

= *

∫

∫

∗

∫

CAMBIAMENTO DI VARIABILE 2 • =

∫

1) COORDINATE POLARI EQUAZIONI DIFFERZIALI 2°

= 0 +

• = 0 + ′ ′′ )

(, , , = 0

1)

• (, ) (, )

∬ ∬

= • 2

λ + 1 + 0 = 0

Si trasforma in

−1±√Δ

• Δ > 0 (1,2) = integrale

)

INTEGRALI TRIPLI 2

1 2

generale =1 + 2

−1

•

1) DOMINIO NORMALE RISPETTO XY Δ = 0 0 = integrale

) 2

• (, ) < < ()

Sia 0 0

generale =1 + 2

• () ()

=

∭ ∬ ∫ −1 √−Δ

• Δ < 0 = = integrale

) ,

2 2

2) DOMINIO NORMALE RISPETTO 1 ASSE

=1 + 2 x

• () < < () [, ]

• () =

∭ ∫ ∫ ∫ ′ ′′ )

(, , , =

2)

• Prima si trova lintegrale generale

3) METODO PER FILI

• = 0

considerando solo trovando

(, ) < < ()

Sia cosi y1 y2

• () = [∫ () ]

∭ ∬ •

= 11 + 22

4) INTEGRAZIONI PER STRATI ′ ′

1 1 + 2 2 = 0

•

• {

< <

Sia 1′1′ + 2′2′ =

• Tz intersezione del dom con i piani // 1 2

• = | |

• () = [∬ () ]

∭ ∫ 1′ 2′

0