Formulario Analisi 2

Serie di Fourier

1. Vedo se posso disegnare
2. È pari o dispari?
3. Trovo a₀ in _[0,2π]
4. Trovo a_n
5. Trovo b_k = ¹/_π ∫ f(x)sin kx dx

• Scritto simmetria (eventualmente) di f(x)

6. Scrivo la seria di Fourier

1/2 a₀ + ∑ (a_kcoskx + b_ksinkx)

7. Deduce una seria sottorando una f^* e se:

• f_∗ si sviluppabile → La seria dedotta converge nella quarta (f∗ (x))
• f(x) non si sviluppabile → La serie converge e mostra ancora f_L(x) = f_∗(x) + f_L(x)
• f(x) è un punto di disco...

Osservazioni durante il calcolo di a₀, a_n, b_k

• attuo dove possible FORMULE TRIGONOMETRICHE
• cos(A±B)= cosA = sin( – α) = sin( – )
• se trovo numerato e segno alternato poi studiare dove “vincono” le potie, se vincono pari

K=2K e K parte da 1; Se sì uno dispari K=2K+1 K=K0

• se mi trovo in un intorno come un intersin sin(K−1) e 1K+1) MOSTRA Sì SIN(K+1)

Poi posso lascia K1 K2 e trovo il Termine o a o b_k con sinto formula

cosKπx = (−1)^^K

CURVE

CONTINUE → se le componenti sono continue nell'intervalloREGOLARI1) ^p ε C¹(I) se le componenti sono ε C¹(I)2) ^p è semplice se disegna un vedo che si incontra in tutti quei punti t ε I (si incrociano)3) ^p è srotolato se xm'(t) ≠ 0 ∀ t ε I (non si deve annullare nei punti interni)

LUNGHEZZA DI UNA CURVA (deve essere regolare)_L(^p) = ∫_a^b ||^p'(t)|| dt

TIPOLOGIA DI CURVE

CURVE POLARI^p = g(θ)       θ ε I

A) Per la regolarità cambia 3) ||r(θ)||=∫||g(θ) + g(θ)'||≠0       { ^γ(θ)=0 }1) Disegno in un grafico θg → γ , il grafico di g(θ) in I2) Calcolo varie quote in g(θ)^γ per capire l'andamento3) Riporto ^p srotolato su un altro grafico basandomi su θ e ^p

CURVE PARAMETRICHE^p(t) = (k(t); y(t))       t ε I

1. Faccio 2 grafici relativi a componente x e y su piano k e l
2. mi sposto sul grafico complessivo x - y e faccio questo per capire andamento
3. Se il grafico delle componenti multiple complicato cosa max è min studiando x(t) e y(t)

CURVE CARTESIANE       F(x, y) = 0

1. Posso sempre alla polari quale componente F riunire (x²+y²)
2. Se riesco → rimastando F ottengo il problema in funzione dell’altra → passo alla pizza
3. Riesco con rimastando → proseguo
4. Osservo sempre le eventuali condizioni di esistenza → rappresento le nozioni nel piano
5. Dopo essensa passiamo alle polari torno con funzione di θ, solitamente posso g(θ)≥0
6. Annotazioni periodicità ^χ(t) con usando suddivisione di intervalli da a k : 0       e k = 1 → ^t tra 0 gli intervalli

MAX e MIN LIBERI

1. Dominio o rappresenti il grafico
2. Candidati
   • (carte/legge)
   • GA
     • f' primo/secondo v.sommità
     • x E Df
   • f c est f critica => in A esistono altrui punti j prossimi le derivate = 0
   • se f' ha legge il valore in A; nelle altre zone
   • nel sullano ho o esemino E!');
3. Con f' primi tutti posso applicato o non applicare, esistono in P0
   • APPL. HESSIANO
     • fxx(P0) > 0 -> MIN REL
     • fxx(P0) < 0 -> MAX REL
   • fxx(P0) = 0 -> punto di sella

H(P0,3) -> 1° proviamo a finire la quieta/diag (se soprattutto) 2° se sumetro samparato faccio ~ all° lo nelle maille//nelle assi (x,y) allora

• - tratto hxx(x,y) in mi punto sveda che è sui di MAX MIN e non è manite
• - faccio punti per vedere; si one/m o = 7massm

• Faccio quote e delex
• Pos studio le quiete sul 2°/esist/entrare faccio quote e diletto
• Faccio regialup

INTEGRALI DOPPI - R²

f ∈ L(Ω)

1° caso di controllare sempre f continua → a compatto

→ f ∈ R-int

- Prendo sempre integro (dopo eliminazione di entrambi variabili)

CAMBIO DI COORDINATE ⟹ risultato lo stesso lume!!!!

r = aluta il cerchio

• x = p cos θ
• y = p sin θ

151 = p λ = 2π

→ Im questo caso per trovare θ devo per f (massa di punti o r caso)

• x = a cos θ + x₀
• y = b sin θ + y₀

151 = ab p

→ in ogni caso per trovare θ devo per pezzo sostituire e anche per trovare β

CASO PARTICOLARE:

Quando numeri complessi, fuori "f(x)" e ho delle limitazioni con elementi della stessa natura(metodica σ tale che g({x₀}) e {y zero}) posso fare un cambio di coordinate;

- Uso gli estremi in disegnano o dimostrato per le variabile

- Uso le variabile per creare u e v → ottengo somma + semplice

- Devo trovare la variabile u

- Testo 151!!!

⟹ ogni ƒnione delle nuove ⟹ imposto sistema e risolvo x e y

• x
• y

- sostituisco nelle ƒlessione integrabile f(x+y) e integro rispetto a u e v

INTEGRALI IMPROPRI

Lo riconosco quando nelle variabile ho problema in punti che danno problem di ε presenti nell'"insime

E oppuro quando lo stesso R non e' compatto o illimitato

• 1°- quando ∫a f(x) ed a segno contrario e o
• 2°- se lo segno σε leplo se lo uso un numero conosciuta
• 3°- se lo segno attraverso a negli intervalli f + intervalli ε o

FORMULE DI GAUSS GREEN

f ∈ L(Ω) d determinare nel contesto e una caso generale:

1. ∫∬ O^2/∂x (f(x,y)) dx dy = -∮O{O^f(x,y) dx dominio pescarca rispetto a X → -*
2. ∫∬ O^2/3x (f(x,y) dxdy = ∮O{f(x,y) dy *** " ** Y

TH. DELLA DIVERGENZA (O GAUSS)

Controllo Fe(n); t′ su superfice. Lo applico quando non si chiede il "FLUSSO USCENTE” ma quanto Σ o quando il flusso è constante, uscente; se non intero è costante cambio segno all'integrale!!

< F , dA > = ∫∫∫ < ∇, F > dx dy dz

< ∇, F > è la divergenza

1. Dato segno
2. Calcolo la divergenza
3. Applico la formula

Se ho 0 non vedo corrente scelgo che su USCENTE o ENTRANTE vedendo se riceve o esce dalla figura

EQUAZIONI DIFFERENZIALI - 1º ORDINE

Pr 1 Teo Cauchy

y′ = f(x,y)

y(x₀)=y₀

P₀=(x₀, y₀)

Th esistenza C.-U.

• Pe c.e.b
• P₀ € D: ∃ f € C(D)

1. Variabili separabili

Pusso dar y′ = f(x,y) ===> y′ = α(x)·β(y) se ho somma, no!

1. Trovo dominio = inducivo Po: e vedo se!!
2. Per dire che ho soluzione v=0:
3. Sost &γ; am
4. Int(litt &gk Im da)
5. ∫_dy/_B(y)=∫_dx/_α(x) = amir pe B(x)
6. Se trovo separo rispetto x y

X - (ng dx*) fm plugin!!!

— Se scritturo tra 2 soluzioni picture quella che passa per P₀ .... .. 3!! Firm forma si non precision cxn b)

OMO-GENEE DI MANFREDI

Le mensogne usuali in forma semper y’=f(x,y) sono ralatura si trovato quando per verificane f(ds uno.G. ω nel da f(x/c^μ®, μ/c^κ).

ω —- i)) ottaison

• Subssoffemu
• We f & ⊗ β & :x —> <₆ (x ⊕ z); awst keri di..