Formulario analisi 1

Numeri Complessi:

= +

• = || = √² + ² → modulo
• = arctg / se > 0
• = π + arctg / se < 0
• = π/2 se = 0, > 0
• = -π/2 se = 0, < 0

argomento

cos = /_|| e sin = /_||

• Re = cos → reale
• Im = sin → immaginario

= -

= [cos() + i sin()]

̅ → coniugato

* ̅ = ||² = Re()² + ()²

+ = [ + ] + [ + ] = ( + ) + ( + ) → somma

- = [ + ] - [ + ] = ( - ) + ( - )

· = [( - ) + ( + )] → prodotto

: = (₂/₁) [cos(₁ - ₂) + i sin(₁ - ₂)] → quoziente

= [ cos() + i sin() ] → potenza

√ = √ [ cos ( + 2kπ/u) + i sin ( + 2kπ/u) ]

zE = z1 - √2 [cos /2 + i sin /2]

z2 - z3 = - √2 [ cos ( + π)/2 + i sin ( + π)/2 ]

N.B. cos =

⇨

Re(z†) | Im(z†)

• 0 0 0
• → → →
• < 0 < 0 < 0

◦ LIMITI ◦

lim [x→∞] f(x) ∑ f(x) = L = ∞

oppure lim [x→x0] di x = ∞ ±

lim f(x) g(x) = lim f(x) X lim g(x)

lim f(x)/g(x) = lim f(x) / _{lim g(x)}

lim f(x)^g(x) = (lim g(x) lim f(x)

lim g(x)/f(x) = lim^g(x) X lim f(x)

N.B. ±∞ ∙ ±∞ = ±∞

e^x = x + x² + x⁴ + σ(x⁴)

ln(1+x) = x - ^x2/₂ + σ(x²)

(1+x)^u = 1 + ux + ^u(u-1)/₂x² + ^u(u-1)(u-2)/₆x³ + σ(x³)

sin x = x - ^x3/₆ + ^x5/₁₂₀ + σ(x⁷)

cos x = 1 - ^x2/₂ + ^x4/₂₄ + σ(x⁶)

tg x = x + ^x3/₃ + ^2x5/₁₅ + ^17x7/₃₁₅ + ^62x9/₂₈₃₅ + σ(x¹¹)

arcsin x = x + ^x3/₆ + ^3x5/₄₀ + σ(x⁷)

arccos x = x - ^x2/₂ + ^(x4)/₂₄ + σ(x⁶)

arctg x = x - ^x3/₃ + ^3x5/₅ - ^17x7/₇ + σ(x⁹)

¹/_1-x = 1*x⁴ + σ(x⁵)

1/^1+x2 = (-1)⁴x²⁴ + σ(x²⁴)

STUDIO DI FUNZIONE

• razionale intere D = ℝ
• fratte D = ℝ\{x≠0}
• irrazionali pari D = sotto √⟹ >0
• dispari D = dominio sotto √
• esponenziali D = dominio esponente
• logaritmiche D = ℝ\{x|x > 0}
• trigonometriche sin D = ℝ\x\{-1,0,1}
• cos D = ℝ\x\{-1,0,1}
• tan D = ℝ\x{\frac{π}{2} + 2πk} (D = ℝ\x)

lim x→0 arcosx = π/2

lim x→0⁺ arcosx = 0

lim x→+∞ arctgx = +π/2

lim x→0 arctgx = 0

lim x→±1 arctgx = ± π/4

se x → 0 arctgx ~ x

Bilanciato

• ln(1+x) ~ x
• tgx ~ x
• e^x - 1 ~ x
• 1 - cosx ~ x²/2
• arcsinx ~ x
• arctgx ~ x
• a^x - 1 ~ x ln(a)
• (1+x)ⁿ - 1 ~ nx

Sulle successioni

• Criterio rapporto
• lim n→∞ an+1/an = L
• se 0