Formulario analisi 1

Numeri Complessi

z = a+ib = ρ cos θ + i sin θ = ρ e^iθ

• ρ = |z| = √(a²+b²)     ->     modulo
• θ = arctg ^b⁄_a   se   a > 0
• θ = π + arctg ^b⁄_a   se   a < 0
• θ = ^π⁄₂   se   a = 0, b > 0
• θ = - ^π⁄₂   se   a = 0, b < 0

    u = ^a⁄_|z|       e       v = ^b⁄_|z|

Re{z} = ρ cos θ       ->   p reale

Im{z} = ρ sin θ       ->   p immaginario

z = a - ib = ρ(cos(-θ) + i sin(-θ))      ->   coniugato

Propietà:

• z * z = |z|²
• z + z = 2 Re{z}
• z - z = 2 Im{z}

z + w = (a+ib) + (c+id) = (a+c) + (ib+id)     ->   somma

z - w = (a+ib) - (c+id) = (a-c) + (ib-id)     ->   differenza

z w = [(ac-bd) + i(ad+cb)]         ->   prodotto

z : w = ^ρ⁄_ρ2(cos(θ1 - θ₂)+ isin(θ1 - θ₂))

       =  ^a+ib⁄_c+id   =   ^(ac+bd)⁄_c²+d² + i^(bc-ad)⁄_c²+d²

zⁿ = ρⁿ[cos(nθ)+isin(nθ)]

(z)^μ⁄n =   ^μ√ρ(cos ^θ+2πk⁄_u + i sin ^θ+2kπ⁄_u)

• NUMERI COMPLESSI: l = a+ib = ρ cosθ + i sinθ = ρ e^iθ

ρ = |z| = √(a² + b²)

→ modulo

θ = arctg ^b⁄_a

θ = π + arctg ^b⁄_a

→ argomento

cosθ = ^a⁄_|z| e sinθ = ^b⁄_|z|

Re{z} = ρ cosθ → ρ reale

Im{z} = ρ sinθ → ρ immaginaria

z̅ = a - i = ρ[cos(-θ) + i sin (-θ)]

→ conjugato

proprietà: z·z̅ = |z|² z + z̅ = 2 Re{z}, z - z̅ = 2 Im (z)

z + w = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + (ib + id) → somma

z - w = (a - ib) - (c - id) = (a - c) + (ib - id) → differenza

z·w = [(ac - bd) + i(ad - cb)] → prodotto

z : w = (ρ₁ / ρ₂) [cos (θ₁ - θ₂) + i sin (θ₁ - θ₂)]

→ quoziente

zⁿ = ρⁿ [cos (nθ) + i sin (nθ)]

→ potenza

^ⁿ√_z = √^ρ cos ^{θ₁ + 2πk}⁄_n + i sin ^{θ₁ + 2πk}⁄_n

√z = z₁ = √ΔcosΦ/2 + i sinΦ/2

z₂ = − z = √Δcos(Φ + π)/2 + i sin(Φ + π)/2

Re (z) Im (z)

0 0

0 0

0 0

→ 0 → 0

• LIMITI lim_x→x0 f(x) = ℓ = ∞ oppure lim_x→x0^- f(x) = ℓ = ∞

lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)

lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x)

lim f(x) / g(x) = lim f(x) / lim g(x)

lim [f(x)]^g(x) = lim f(x) lim g(x)

lim g(x)^√f(x) = lim g(x)^{√lim f(x)}

NoBe +∞ 0−∞

(0 - ∞) 0 - ∞ 0 - ∞ 0 - ∞ 0 - ∞

c > 0 + c > 0

c < 0 - c < 0

0⁺ 0^{+ +}

x₀ a - x → 0

ΔuK x K, tgK x K, 1-cosK x = K²/2

e^{K x} - 1, a^{K x}- 1, ln(1 + x) x, ln(1 + K x)/x = K se lim x→0

(1 + 1/x)^x = e se lim x→∞

x/1/x K

tgK x K, 1-cosK x ≃ x²K²/2

ln(1 + K x) K x, e^{K x} K^x-1, K x ln(a)

x/ln(1 + K x)

se ho moltiplico N e D per razionaletto

posso sostituire parametri per semplificare

[0/0] lim f(x)/g(x) = 0 f(x) ordine >

g(x) ordine >

[∞/∞] lim f(x)/g(x) = 0 f(x) ordine >

∞ f(x) ordine >

coda infinitesimi

F³x, x, sinx, e^K, ln(K t), arcsin x, sin ux,

x F³x²sin²X, 1-cosX

x³ x-sinx x⁴

coda infinitesimi

FORME D'INDECISIONE 0/0, ∞/∞, 1^∞, 0^∞, ∞⁰, 0⁰

Limiti Successioni

(lim a_n = L ≠ ∞)

• lim (a_n ± b_n) = a ± b
• lim (a_n · b_n) = a · b
• lim (a_n/b_n) = a/b

operazioni

• s_n/a_n = 1
• (e^a_n - 1)/a_n = 1
• (a_n^a_n - 1)/a_n = ln(1)}
• (1 - cos(a_n))/a_n² = 1
• (1 + 1/a_n) 0 la funzione ^∪

  se d'' < 0 la funzione ^∩

  e^x = x + ^x4/_u³ + σ(x⁴)

  e^-kuln(x+1) = x - ^x4/_u + σ(x⁴)

  (x+1)ⁿ = 1 + 20

• log Q(x+1)
• trigonometriche sin D = DQ(x1)
• cos D = DQ(x1)
• tg D = DQ(x)

F(x) = 0 e F'(x) > 0

segno (dove è positiva e dove negativa)

lim x →_x0 F(x) = ∞lim x →_x0 F(x) = -∞

limiti

F(x) = F(-x) = F(x) pari

F(x) = -F(x) dispari

simmetrie

lim x→∞ = z

y = z asintoto orizzontale

lim x →_x0 = ∞

x = x₀ asintoto verticale

lim x→∞

= lim F(x)

x→∞

x

→ y = mx + q asintoto obliquo

q = lim (f(x) - mx)

x→∞

f'(x)

verifico il dominio

se f'(x) > 0

se f'(x) < 0

derivata prima

f''(x)

verifico il dominio

se f''(x) > 0

se f''(x) < 0

derivata seconda

y = F(x ± a) destra (¬) sinistra (±)

y = F(x) ± a abbasso (¬) alzo (±)

y = f(kx) k > 1 schi. → 0 < k < 1 ↑

y = F(kx) k > 1 schi. ← 0 < k < 1 ↑

y = F(|x|) ueg → par (y)

y = -f(x) ribalto

y = f(-x) ueg → par (x)

Integrali

∫[f(x)±g(x)] = ∫f(x) ± ∫g(x)

M = 1 b-a ∫(a to b) f(x)dx

• ∫x = x^1/2, S∫ = 2x S∫ 1/x = log(x)
• ∫sinx = –cosx
• ∫cosx = sinx, S∫ 1/cos²x = tgx
• ∫e^x = e^x
• ∫x, a = x + 1 = logx^{a = tgx}
• ∫1/x² = –1/x
• 1/a² = arctgx
• (+1) √1-x² = arcsenx
• log a = S∫√mx,* = x_u+1/x^u
• ∫u^x = x (∫u^x – 1)
• ∫4/x²

arcsenx = √1-x²* arcsenuc

arccos x = arccosx - √1-x²

tabella integrali

∫f(x) g(x) dx = f(x) g(x) - ∫f'(x) g(x) dx

b∫(a to b) f(x) g(x) dx = {f(x) g(x)^b_a - ∫f'(x) g(x) dx

NB: le primitive le scelgo in base alla semplicità di integrazione

∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(t) dt → 1 forma

(con g(x)=t e dt=g'(x)dx )

∫f(x) dx = ∫f(g(t)) g'(t) dt → 2 forma

(con x=g(t) e dx=g'(t)dt)

Comportamento limiti a zero e a infinito

lim_x→0⁺ x^c→0 = ∞

lim_x→0⁻ x^c→0 = ∞

lim_x→0⁺ c_x→0 = 0⁺

lim_x→0⁻ c_x→0 = 0⁻

lim_x→∞ x^c→0 = 0

lim_x→∞ c_x→0 = ∞

lim_x→0⁺ x^{c_x→0 < 0} = 0

lim_x→∞ a^x = 0 0<a<1

lim_x→∞ a^x = ∞ a>1

lim_x→0⁺ a^x = ∞ 0<a<1

lim_x→0⁺ a^x = 0 a>1

lim_x→∞ x^1/n = ∞ n pari

lim_x→∞ x^1/n = ∞ n dispari

lim_x→∞ log_a(x) = ∞ a>1

lim_x→0⁺ log_a(x) = −∞ a>1

lim_x→0⁺ log_a(x) = ∞ 0 < a < 1

lim_x→∞ log_a(x) = −∞ 0 < a < 1

grafico

lim_x→∞ e^x = ∞ 0⁺

grafico

lim_x→∞ |x| = +∞

grafico

lim_x→∞ sin x = ↯

lim_x→0⁺ sin x = 0

grafico

lim_x→∞ cos x = ↯

lim_x→0⁺ cos x = 1

grafico

lim_x→∞ tg x = ↯

lim_x→0⁺ tg x = 0

grafico

lim_x→π/2⁻ tg(x) = ±∞

lim_x→∞ arcsin x = ↯

lim_x→0⁺ arcsin x = 0

grafico

lim_x→0⁺ arcsin x = π/2

lim arcos x = π

x→0⁻

lim arcos x = π/2

x→0⁺

lim arcos x = 0

x→∞

grafico

lim arctg x = ±π/2

x→±∞

lim arctg x = 0

x→0

grafico

lim arctg x = ±π/4

x→±1

asintotici

se x→0 ln(1+x) ~ x

eˣ ~ 1+x

tg x ~ x

eˣ ~ x

1-cos x ~ x²/2

arcsin x ~ x

arctg x ~ x

aⁿ - 1 ~ aⁿln a

(1+x)ⁿ - 1 ~ nx

lim successivi

criterio rapporto

lim a_n+1/b_n+1 = L

n→∞ a_n/b_n

se 0<< L <1 a_n→0

b_n

L>0 a_n →0

criterio radice

lim ⁿ√a_n = L

n→∞ a_n

se 0<<L <1 a_n→0

L>0

Sviluppi di Taylor

e^x = 1 + x + _x²/² + _x³/⁶ + _x⁴/²⁴ + σ(x⁴)

e^u±x = x ± _x²/² + _x³/³ ± _x⁴/⁴ + σ(x⁴)

(1+x)^d = 1 + dx + _d(d-1)/_u!x² + _d(d-1)(d-2)/_u!x³ + ... + σ(x⁴)

sin x = x - _x³/⁶ + _x⁵/_5! + σ(x⁶)

cos x = 1 - _x²/² + _x⁴/⁴ + σ(x⁵)

tg x = x + _x³/³ + ₂/₁₅x⁵ + σ(x⁶)

arcsin x = x + _x³/₆ + ₃/₄₀x⁵ + σ(x⁶)

arccos x = π/2 - x - _x³/₆ - ₃/₄₀x⁵ + σ(x⁶)

arctg x = x - _x³/₃ + _x⁵/₅ + σ(x⁶)

1/1-x = 1 + x + x² + x³ + x³ + σ(x³)

1/1+x² = 1 - x² + x⁴ - x⁶ + σ(x⁶)

Metodi in base alla forma indeterminata

0⁰ ∞⁰ → metodi infinitesimi notevoli

1^∞ → notevoli

0/0 → metodi infinitesimi Taylor

∞/∞ → metodi infinitesimi

0·∞ → metodi infinitesimi, razionalizzazione

∞ - ∞ → metodi di ordine

MATRICI

A = [...] ∈ ℝ^m,n m righe e n colonne

• A + B = [...] (n° m e n e A_B)
• A - B = A + (-B) (-B è l’opposto di B)

A^-1 = 1/det A [A₁₁ A₁₂]

[A₂₁ A₂₂]

• (con A₁₁ = det [A₃₁ A₁₃]
• [A₃₁ A₃₃]
• (A A^-1 = I)

A A = [A₁₁ ...] A B [1 R2C 1R2C] (A_m,n B)

A _m,n B] [2 R1C 1R2C]

[2 R1C 2 R2C]

A _m,n B] [2 R1C 2R2C]

[... ... ...] (HEG pro per essere scambio righe scambio u g)

det A = [a b] = ad - cb

         [c d]

det A = [3 3 3] = regola sarrus

• rK ≤ min(m,n), det ≠ 0 (condizioni)
• → rK = n° pivot matrice ridotta
• → rK = 1 se le righe sono proporzionali
• → rK = 1 se il det delle sottamatrice è ≠ 0

No.8. [a₁₁ a₁₃]

        [a₂₁ a₂₁ a₂₃]

        [a₂₁ a₂₃] = [x]

                                 [y]

{ax + by = c

a b x {a b} = A

ax' + by' = c' a' b' y

detA ≠ 0 imporsamble

detA ≠ 0 → det b c = detA x = x 0

b' c' D

det a c = detA y = y b

a' c' D

........ A x y z......... B x y z ........ TN

riduco a scala [A B] e caltolo Rk [A B]

se ulttmo pivot è nell'ultima colonna - soluzione

se ultltma colonna non ha pivot - tutte le derete lo morma Rk [A B] = Rk [A] sr

se una colonna non ha pivot no soluzioni

risolto x, y , z della matrice ridotta a scala

APPLICAZIONI LINEAR

μ (f+u) = a(f) + (u) |→ condizioni applicazioni lineari

A [a(u) ] | a (u)

NB: derivata e integrale sono lineari, modulo non lo e

dimKer = dim (V) - dim Im = dim (V) - rKA

bKer - matrice ridotto a sedo |→ nulco

1)

m ≥ u

gdx1 = g n(x)

∆ > 0

2)

• A/(x-x_l) + B/(x-x_l)² grado 2
• A/(x-x_i) + Bx + C/(x-x_l) grado 3
• pongo = ∫ N(x) / D(x)

se ∆ < 0

pongo = ∫ N(x1) / D(x)

e ricavo A e B

∆ > 0

b² e a² sono e sottraggo

di D(x)

∫ N(x1) / nuovo D(x)

ricavo 2 num (a dx1 dei Den)

0 a ∞ ∫ dx1 dx

studio il dominio di f(x1) e lo vedico in in base agli estremi di integrazione

 studio ∫₀^∞ dx1 dx  quindi per x → 0⁺

x → 0⁺        f(x1) ~ g(l.x1)