Formulario Analisi 1

LIMITI NOTEVOLI

_sin(x)/_x → 1 se x → 0 log_a(1+x)/x → 1/ln(a) se x → 0 a_x-1/x → ln(a) se x → 0 (1 + x)^1/x → e se x → 0 tan(x)/x → 1 x → 0 arctg(x)/x → 1 x → 0 cosh(x)-1/x² → 1/2 se x → 0 ln(1+x)/x → 1 se x → 0 e_x-1/x → 1 x → 0 (1 + 1/x)^x → e x → +∞ 1-cos(x)/x² → 1/2 se x → 0 arcsin(x)/x → 1 se x → 0 sinh_x/x → 1 x → 0 tanh(x)/x → 1 x → 0

ASINTOTICI e "O PICCOLI"

sin x ~ x 1 - cos x ~ 1/2 x² arctg x ~ x arcsin x ~ x e_x-1 ~ x a_x-1 ~ (log a)x log(1+x) ~ x log_a(1+x) ~ x/ln a (1+x)^x - 1 ~ xax cosh x - 1 ~ 1/2 x² sinh x ~ x

DOMINIO FUNZIONI

1. f_x : [0, π/2] → ℝ
2. arctg y: [ℝ] → [-π/2, π/2]
3. arcsin x: [-1, 1] → [-π/2, π/2]
4. arccos x: [-1, 1] → [0, π]

NOTA lim_x→0 (a)^b = lim_x→0 e^{b log a}

FORMULARIO 1

SVILUPPI IN SERIE di TAYLOR-McLAURIN

e^x = 1 + x + ^x2⁄_2! + ^x3⁄_3! + ... + ^xn⁄_n! + o(xⁿ)

sin x = x - ^x3⁄_3! + ^x5⁄_5! - ... + (-1)^{n x2n+1}⁄_(2n+1)! + o(x²ⁿ⁺¹)

cos x = 1 - ^x2⁄_2! + ^x4⁄_4! - ^x6⁄_6! + ... + (-1)^{n x2n}⁄_(2n)! + o(x²ⁿ)

(1 + x)^α = 1 + αx + ^α(α-1)⁄_2! x² + ^{α(α-1)(α-2)}⁄_3! x³ + ... + ^{α(α-1)...(α-n+1)}⁄_n! xⁿ + o(xⁿ)

log(1 + x) = x - ^x2⁄₂ + ^x3⁄₃ + ... + (-1)^{n+1 xn}⁄_n + o(xⁿ)

tan x = x + ^x3⁄₃ + ^2x5⁄₁₅ + o(x⁶)

arctg x = x - ^x3⁄₃ + ^x5⁄₅ + ... + (-1)^{n x2n+1}⁄_2n+1 + o(x²ⁿ⁺¹)

sinh x = x + ^x3⁄_3! + ^x5⁄_5! + ^x7⁄_7! + ... + ^x2n+1⁄_(2n+1)! + o(x²ⁿ⁺¹)

cosh x = 1 + ^x2⁄_2! + ^x4⁄_4! + ^x6⁄_6! + ... + ^x2n⁄_(2n)! + o(x²ⁿ)

FORMA COMPATTA

e^x = _n=0^{∞ xn}⁄_n!

(1 + x)^α = _n=0^{∞ α(α-1)...(α-n+1)}⁄_n! xⁿ

sin x = _n=0^∞ (-1)^{n x2n+1}⁄_(2n+1)!

cos x = _n=0^∞ (-1)^{n x2n}⁄_(2n)!

sinh x = _n=0^{∞ x2n+1}⁄_(2n+1)!

cosh x = _n=0^{∞ x2n}⁄_(2n)!

arctg x = _n=0^∞ (-1)^{n x2n+1}⁄_2n+1

log(1 + x) = _n=1^∞ (-1)^{n+1 xn}⁄_n

1/1−x = _n=0^∞ xⁿ

-log(1−x) = _n=0^{∞ xn+1}⁄_n+1

SERIE

∑ n = 0 ∞ a n

una serie a segno costante si dice:

• a termini positivi se an > 0
• a termini negativi se an < 0

• una serie a termini positivi o converge o diverge positivamente;
• una serie a termini negativi o converge o diverge negativamente.

CONDIZIONE NECESSARIA DI CONVERGENZA

se limn→∞ an ≠ 0 ⇒ la serie NON converge.

• Se 3serie a3 segno costante:
• Serie a termini POSITIVI: se limn→∞ an ≠ 0 ⇒ serie DIVERGE POSITIVAMENTE
• Serie a termini NEGATIVI: se limn→∞ an ≠ 0 ⇒ serie DIVERGE NEGATIVAMENTE

SERIE GEOMETRICA

• se -1 < q < 1 ⇒ converge ed ha per somma 1/1-q
• se q ≤ -1 ⇒ irregolare
• se q ≥ 1 ⇒ diverge positivamente

NOTA:

se la serie non comincia da 0, la somma della serie non e 1/1−q ma 1/1−q − (...) Ovvero la somma della serie e:

SERIE TELESCOPICA

∑ n = 1 ∞ ( a n - a n+n )

la serie converge se limn→∞an e finito.

Serie di Mengoli:

⇒

→

a n ⇒ es e CONVERGE ed ef per somma © n 1

SERIE

soria

.