Formulario Analisi 1

Serie telescopiche

0 ≤ a ≤ b definitivamente

Intervallo in cui la funzione è n ≥ 1 positiva: ∑(n+ a) convergen(n)

3 intersezioni: ( ) <0f xse b converge a

Intervallo in cui la funzione è se a diverge b divergen n negativaa 1 ( )=0∑ f x=lim S

Calcolo dei limiti in tutti ien n Limiti valori di x esclusi daln →∞ n=1 dominio (±∞ compresi):Criterio del confronto ( )=llim f x4Serie armonizzate asintotico asintoti x→∞∞

Asintoto orizzontale1 >0 >0a e b definitivamente∑ ( )=±lim f x ∞nan 5

Studio segno della derivatapriman=1 x → ∞a priman =1{ ' ( )>f x 0converge se a>1 b derivatan

Intervallo in cui la funzionediverge se a ≤1 ¿lim crescen→+ ∞ ' ( )<f x 0=b ¿an n

Intervallo in cui la funzioneSegno∞ ' ( )=01 f xdecresce∑ Stesso carattere per a e bn n Punto stazionarioa b(n)n lnn=1 In base al segno delladerivata intorno al

punto{ stazionario si ha:

a>1 converge se Criterio dell’assoluta ++¿−−¿a=1 e b>1 convergenza

Punto di massimoa≤ 1 −−¿++¿∑diverge se a converge assolutamente sea=1 e b ≤1 Punto di minimon ++¿++¿∑ | |a converge Flesso ascendenten −−¿−−¿∑∞ n Flesso discendente(−1 ) 1 Se a converge assolutamente∑ nann=1 allora converge∑Se a non converge assolutamenten' ( )f x indeterminata0Punto di non derivabilità. Inbase ai limiti nell’intorno delvalore si ha:−¿ ' ( )=±x → x f x ∞0+¿ ' ( )=lim ¿x → x f x0 ¿¿lim¿Flesso a tangente verticale−¿ ( ) =±x → x f ' x ∞0+¿ ' ( )=lim ¿x → x f x0 ¿−lim ¿¿CuspideIn presenza di valoreassoluto, che origina duefunzioni distinte per

cui: −¿ ( )x → x f ' x0+¿ ( ) ¿x → x f ' x ≠ lim0 ¿¿lim¿Punto angolosoStudio segno della derivataderivata seconda' ' ( ) >0f xIntervallo in cui la funzioneSegno6 rivolge la concavità versol’alto' ' ( ) <0f xseconda Intervallo in cui la funzionerivolge la concavità verso ilOrdini di infinito:( )a b n n< ¿ <a <n! <nn n ( ))<log ¿log( log nForme indeterminate: Cotan è speculare rispetto0 ∞ all’asse y∞ 0 0 −∞; ; 0∗∞; 1 ; 0 ; ∞ ;+∞ Arctan è speculare rispetto y=x0 ∞Proprietà dei logaritmi:log(x) xe x x)log(e −∞(0)log (1) 0log ( )+ ( )( log x log ⁡ ylog ⁡ xy)x( )log ⁡ ( )−log (log x ⁡ y)yq (x )a∗log( )log ⁡ x 1 =−log (x )(log ⁡ x) 1( )log ex ex (¿)( )log x logb a (b)log a¿