formulario analisi 1

FUNZIONI ELEMENTARI

∀ x ∈ D → -x ∈ D ∧ f(x) = f(-x)

∀ x ∈ D → -x ∈ D ∧ f(-x) = -f(x)

FUNZIONI MONOTONE

x₁ ≤ x₂ → f(x₁) ≥ f(x₂)

∃ τ > 0 / ∀ x ∈ D → x + τ ∈ D ∧ f(x + τ) = f(x)

f(x) = ax²

a > 0 → D = ℝ, Im (f) = ℝ⁺

a < 0 → D = ℝ, Im (f) = ℝ^-

f(x) = ax³ D = ℝ, Im (f) = ℝ

f(x) = x^α

x > 0 D = ℝ⁺, Im (f) = ℝ^±

f(x) = ^a/_x D = ℝ \ {0}, Im (f) = ℝ \ {0}

f(x) = log_a(x) a > 0 ∧ a ≠ 1

• a > 1 -> D=ℝ⁺, Im{f} = ℝ, crescente
• 0 < a < 1 -> D = ℝ⁺, Im{f} = ℝ, decrescente

f(x) = |x| = { x se x ≥ 0 -x se x < 0 D = ℝ, Im{f} = ℝ₀⁺

f(x) = sen x D = ℝ, Im{f} = [-1, 1], PERIODO: 2π

f(x) = cos x D = ℝ, Im{f} = [-1, 1], PERIODO: 2π

f(x) = tg x = ^{sen x}/_{cos x} D = ℝ \ {π/2 + kπ}; Im{f} = ℝ, PERIODO: π

f(x) = cotg x = ^{cos x}/_{sen x} D = ℝ \ {kπ}; Im{f} = ℝ, PERIODO: π

f(x) = sigm(x) = { 1 se x > 0 0 se x = 0 -1 se x < 0 D = ℝ, Im{f} = -1, 0, 1

f(x) = [ x ] D = ℝ, Im {f} = ℤ

APPLICAZIONE ALLE FUNZIONI DELLE PROPRIETÀ DEI NUMERI REALI

→ se L(f) è LIMITATO SUPERIORMENTE

→ se L(f) è LIMITATO INFERIORMENTE

→ se L(f) è LIMITATO, cioè ∃ k ∈ ℝ⁺ : |f(x)| ≤ k

estremo superiore di L(f)

estremo inferiore di L(f)

⊃ e L(f)

⊂ e L(f)

Ordine di infinitesimo

A_n → 0, diciamo che A_n è un infinitesimo di ordine α se ∃ l ∈ ℝ⁺:

lim_{n → +∞} |A_n|/|m|^α = l ≠ 0

Ordine di infinito

A_n → +∞, A_n ha ordine di infinito α ∃ l ∈ ℝ⁺:

lim_{n → +∞} |A_n|/|m|^α = l ≠ 0

(Insieme di ogni altra potenza)

A^α (infinito di ordine comunque elevato)

Principio di sostituzione degli infiniti

A_n → +∞, b_n → +∞,

A_n = a_n⁺A^m, lim_{n → +∞} a^m/a_m^m = 0; b_n = b_n⁺b^m, lim_{n → +∞} bⁿ/b^m = 0

⇒ lim_{m → ∞} a_m/b_n = lim_{m → +∞} a^im/b^im (Conto l'infinito di ordine maggiore)

Principio di sostituzione degli infinitesimi

{a_n}, {b_n}, a_n → 0,

b_n > 0, A_n = a_n⁺A_n^m, lim_{n → +∞} a^m/a_m^m = 0; b_n = b_n⁺b^m, lim_{n → +∞} b^m/b_mⁿ = 0

⇒ lim_{m → +∞} a_m/b_m = lim_{m → +∞} a_p^m/b_p^m (Conto l'infinitesimo di ordine inferiore)

b)

_m=1^∞a_m = a_x+1 + a_x+2 + ...

S_x+m = a₁ + a₂ + ... + a_r + a_x+1 + ... + a_x+m-1

S_r = a₁ + a₂ + ... + a_r

t_m = a_x+1 + a_x+2 + ... + a_x+m = S_x+m - S_r

Se la serie di partenza converge, converge la serie resto e viceversa

a) _m=1^∞(-1)^m+1 converg...

serie che converge o diverge

se i suoi termini hanno segno costante (a_m < 0 oppure a_m > 0)

_m=1^∞a_m è t.s.c

TEOREMA SULLE SERIE T.S.C

_m=1^∞a_m t.s.c ⇒ La serie è regolare

CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA DI UNA SERIE

se _m=1^∞a_m è convergente, allora NECESSARIAMENTE il termine generico tende a zero

CRITERI SULLE T.S.C

➤CONFRONTO _m=1^∞a_m, _m=1^∞b_m b.s.c, ∃ c > 0: a_m ≤ c⋅b_m, se _m=1^∞b_m converge ⇒ _m=1^∞a_m converge, se _m=1^∞b_m diverge ⇒ diverge _m=1^∞a_m

➤ASINTOTICITÀ _m=1^∞a_m, _m=1^∞b_m, 0 < a_m <~ b_m <~ c_m, a_{m m=1}^∞b_m, quando n → +∞

se due serie hanno stesso comportamento

_m=1^∞(-1)^m+1c_m, c_m > 0

TEOREMA DI LEIBNIZ

_m=1^∞(-1)^m+1c_m, f_m ↘ e = 0, c_m ≤ c_m-1, c_m > 0

⇒ la serie è convergente

LIMITI NOTEVOLI

lim_x→0 cos x = cos x₀

lim_x→0 1-cos x/x² = 1/2

lim_x→0 sin x/x = 1

lim_x→0 g(x) = f'(x₀) g'(x)

lim_x→0 sin x/x = 1

lim_x→0 tg x/x = 1

lim_f(x)→0 tg (f(x))/f(x) = 1

lim_x→0 ln(1 + x)/x = 1

lim_f(x)→0 ln (1 + f(x))/f(x) = 1

lim_f(x)→0 log_a(1 + f(x))/f(x) = 1/ln(a)

lim_x→0 e^x-1/x = 1

lim_f(x)→0 e^f(x)-1/f(x) = 1

lim_x→0 a^x-1/x = ln(a)

lim_f(x)→0 a^f(x)-1/f(x) = ln(a)

lim_x→±∞ (1 + 1/x)^x = e

lim_f(x)→±∞ (1 + 1/f(x))^f(x) = e

lim_x→0 (1 + x)^c-1/x = C

lim_f(x)→0 (1 + f(x))^c-1/f(x) = C

lim_x→0 arcsen(x)/x = 1

lim_f(x)→0 arcsen (f(x))/f(x) = 1

lim_x→0 arctg(x)/x = 1

lim_f(x)→0 arctg (f(x))/f(x) = 1

lim_x→0⁺ x ln(x) = 0

TEOREMA

Se f ∈ C²(a,b) ed x₀ ∈ (a,b), se f'(x₀) = 0 e f''(x₀) < 0 ⇒ x₀ è punto di massimo relativo ; se f''(x₀) > 0 ⇒ x₀ è punto di minimo relativo

TEOREMA

Se f ammette tutte le derivate in un intorno di x₀, allora vale il seguente schema :

• f⁽²ⁿ⁾(x₀) = 0
  • f⁽²ⁿ⁺¹⁾(x₀) > 0 → x₀ è p.to di min. rel.
  • f⁽²ⁿ⁺¹⁾(x₀) < 0 → x₀ è p.to di max. rel
• con f'(x₀) = 0
  • f''(x₀) > 0 → x₀ è p.to di flesso ascendente
  • f''(x₀) < 0 → x₀ è p.to di flesso discendente
• f⁽²ⁿ⁾(x₀) = 0
  • f⁽²ⁿ⁺¹⁾(x₀) > 0 → x₀ è p.to min. rel.
  • f⁽²ⁿ⁺¹⁾(x₀) < 0 → x₀ è p.to max rel
  • f⁽²ⁿ⁺¹⁾(x₀) = 0 → f⁽²ⁿ⁺²⁾ . . .

ALCUNE FUNZIONI NON DERIVABILI

• f(x) = | x | → punto di non derivabilità in 0
• f(x) = √x → M discontinua e tangente verticale nell' origine
• f(x) = ³√x → M pari e punto a tangente verticale nell' origine
• f(x) = arccos x f(x) = arccos x → tg verticali agli estremi del dominio

ASINTOTO VERTICALE

Data f(x) definita in A privato di uno o più punti, sia x₀ uno di questi punti, diciamo che la retta x = x₀ è ASINTOTO VERTICALE per il grafico di f(x) se verifica una delle seguenti condizioni :

1. lim_x→x0 f(x) = ±∞
2. lim_x→x0⁺ f(x) = ±∞

ASINTOTO ORIZZONTALE

Sia f definita in A illimitata, diciamo che la retta y = c è ASINTOTO ORIZZONTALE per x → ±∞ se lim f(x) = c (analogamente a -∞)

ASINTOTO OBLIQUO

Sia g(x) divergente a +∞, diciamo che y = mx + q è ASINTOTO OBLIQUO a +∞ se lim_x→+∞ (f(x) - mx - q) = 0 (analogamente a -∞)

• m = lim_x→+∞ f(x)/x (∞,∞,mux e divisxa da o)
• q = lim_x→+∞ (f(x) - mx) (finito)