formulario analisi 1

FUNZIONI ELEMENTARI

  ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D ∧ f(x) = f(-x)    D è simmetrico rispetto all'origine        y è pari se è simmetrico rispetto all'asse y

  ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D ∧ f(x) = -f(-x)    D è simmetrico rispetto all'origine        y è dispari se è simmetrico rispetto all'origine

FUNZIONI MONOTONE

  x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

  x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

  x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

  x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

  ∃ τ > 0 / ∀x ∈ D ⇒ x + τ ∈ D ∧ f(x + τ) = f(x)      a = 0 ⇒ y = b   D = R, Im{f} = {b}    a ≠ 0 ⇒ y = ax + b   D = R, Im{f} = R

  f(x) = ax²    a > 0 ⇒ D = R, Im{f} = R_0⁺    a < 0 ⇒ D = R, Im {f} = R_0^-

  f(x) = ax³   D = R, Im{f} = R

  f(x) = x^α      α = 0   D = R_0⁺, Im{f} = 1      α > 0   D = R_0⁺, Im{f} = R_0⁺      α < 0   D = R_0⁺, Im{f} = R⁺

  f(x) = (x²)^α = |x|^2α

  f(x) = ^q/&sub>x   D = R \ {0}, Im{f} = R \ {0}

  f(x) = a^x   a > 1 ⇒ D = R, Im{f} = R⁺, crescente   0 < a < 1 ⇒ D = R, Im{f} = R⁺, decrescente

FUNZIONI ELEMENTARI

∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D ∧ f(x) = f(-x)

∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D ∧ f(-x) = -f(x)

FUNZIONI MONOTONE

x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

∃ T > 0 / ∀ x ∈ D ⇒ x + T ∈ D ∧ f(x + T) = f(x)

y = a x + b

• a = 0 ⇒ y = b D = R, Im (y) = {b}
• a ≠ 0 ⇒ y = a x + b D = R, Im (y) = R

f(x) = a x²

• a > 0 ⇒ D = R, Im (f) = R⁺₀
• a < 0 ⇒ D = R, Im (f) = R¯

f(x) = a x³ D = R, Im(f) = R

f(x) = x^α

• α = 0 D = R⁺, Im (f) = 1
• α > 0 D = R⁺₀, Im (f) = R⁺₀
• α < 0 D = R⁺, Im (f) = R⁺

f(x) = (x²)^α = |x|^2α

f(x) = ^a/_x D = R \ {0}, Im (f) = R \ {0}

• a > 1 ⇒ D = R, Im (f) = R⁺, crescente
• 0 < a < 1 ⇒ D = R, Im (f) = R⁺, decrescente

f(x) = log_a(x) a > 0 ^ a ≠ 1

• a > 1 ⇒ D = ℝ⁺; Im(f) = ℝ, crescente
• 0 < a < 1 ⇒ D = ℝ⁺; Im(f) = ℝ, decrescente

f(x) = |x| = { x se x ≥ 0 -x se x < 0 D = ℝ , Im(f) = ℝ⁺

f(x) = sen x ⇒ D = ℝ , Im(f) = [-1,1] , PERIODO : 2π

f(x) = cos x ⇒ D = ℝ , Im(f) = [-1,1] , PERIODO : 2π

f(x) = tg x = ^{sen x}/_{cos x} D = ℝ \ {π/2 + kπ} , Im(f) = ℝ , PERIODO : π

f(x) = cotg x = ^{cos x}/_{sen x} D = ℝ \ {kπ} , Im(f) = ℝ , PERIODO : π

f(x) = sigm (x) = { 1 se x > 0 0 se x = 0 -1 se x < 0 D = ℝ , Im(f) = {-1,0,1}

f(x) = [ x ] D = ℝ , Im(f) = ℤ

APPLICAZIONE ALLE FUNZIONI DELLE PROPRIETÀ DEI NUMERI REALI

• se L(f) è limitato superiormente
• se L(f) è limitato inferiormente
• se L(f) è limitato, cioè se ∃ k ∈ ℝ⁺ : |f(x)| ≤ k

estremo superiore di L(f)

estremo inferiore di L(f)

• 1 ∈ L(f)
• 2 ∈ L(f)

Composizione di funzioni (funzioni composte)

Date y = g(x) ; f: A → B = L(f) e

u = g(y) : C → R, se B ⊆ C ⇒ u = g(f(x)) ∀ x ∈ A

• Se B ∩ C ≠ ∅ = C' ⇒ si seleziona un insieme A' = {x ∈ A : y = f(x) ∈ C'}

Funzione particolare: y = x^fg(x)

• f(x)^g(x) = f(x)^{log g(x)}
• = e^{g(x)log f(x)}
• ⇒ dom {f, g}(x) > 0 ∪ {f(x) > 0 e g(x) > 0 }

Criterio di iniettività: Se f₁: A → L(f) è strettamente monotona ⇒ f(x) è iniettiva

Successioni

f: N → R

m → a_m = f(m)

i scrivo {a_m, m