Formulario Analisi 1

Sviluppi asintotici

Sviluppi asintotici per x→0

sinx = x - ^x3/₆ + o(x⁵)

cosx = 1 - ^x2/₂ + o(x⁴)

tanx = x + ^x3/₃ + o(x⁵)

e^x = 1 + x + ^x2/₂ + o(x³)

log(1+x) = x - ^x2/₂ + o(x³)

arctan(x) = x - ^x3/₃ + o(x⁵)

arcsen(x) = x + ^x3/₆ + o(x⁵)

sinh(x) = x + ^x3/₆ + o(x⁵)

cosh(x) = 1 + ^x2/₂ + o(x⁴)

(1+x)^α = 1 + αx + ^α(α-1)x2/₂ + o(x²), α∈ℝ

Serie numeriche fondamentali

Serie geometrica

Di ragione q∈ℝ, qⁿ

• Serie convergente e fa p.n. ^q/_1-q
• Serie divergente q≥1

Serie armonica generalizzata

• Serie convergente se α>1
• Serie divergente se α≤1

Serie armonica modificata

• Convergente se α>1
• Divergente se α≤1

Serie di Mengoli

ε_n = 0 convergente

Serie diverge

Limiti notevoli

• lim ^senx/_x = 0
• lim ^senx/_sinx = 1
• lim ^tanx/_x = 1
• lim ^{1 - cosx}/_x = 0
• lim (1+x)^α_x = ^eαα
• lim log_a(x) = 0
• lim ^{log_α(1 + x)}
• lim ^{ax - 1}/_x log_a
• lim (1 + ¹/_x)^xn = K
• lim log_{1 + x}(1 - ^2π/₃)

Serie numeriche criteri

Termini non negativi:

• Confronto limite
• Somma
• Criterio del confronto
• Serie → 0 convergente, altrimenti divergente
• Criteri asintotici
• Rapporto:
• Radice:

Derivate elementari

D(xⁿ) = nx^n-1, x∈ℝ

D(e^ax) = ae^ax

D(a^x) = a^x loga

D(senx) = cosx

D(cosx) = -senx

Derivate: formule principali

• D(g(x) o f(x)) = g'(x) + f'(x) g '(x) o f'(x)
• D(g(x)^z(x)g(x)n)

Sviluppi asintotici per x→0

sin(x) ~ x - x³/6

cos(x) ~ 1 - x²/2

tan(x) ~ x + x³/3

e^x ~ 1 + x + x²/2

log(1+x) ~ x - x²/2

arctan(x) ~ x - x³/3

sin_h(x) ~ x + x³/6

cos_h(x) ~ 1 + x²/2

(1+x)^a ~ 1 + ax + a(a-1)x²/2

Serie numeriche fondamentali

Serie geometrica di ragione q∈ℝΣ q^mc.v. se q∈(-1,1)c.v. se q = 1

Serie armonica generalizzata Σ 1/m^ac.v. se a > 1

Serie armonica modificata Σ (-1)^m1/mc.v. se

Limiti notevoli

Lim sinx/x = 1

Lim sinx/x = 0

Serie numeriche criteri

Termini non negativi

Criteri asintotici

• Derivate Elementari
• D(xⁿ) = nx^n-1
• D(e^x) = e^x
• D(log(x)) = 1/x
• D(sin(x)) = cos(x)
• D(cos(x)) = -sin(x)
• D(tan(x)) = 1/cos²(x)

Derivate: Formule principali

• D(g(x) ± h(x)) = g'(x) ± h'(x)
• D(g(x)h(x)) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
• D(g(x)/h(x)) = (g'(x)h(x) - g(x)h'(x))/h(x)²