Algebra lineare e geometria - Formulario

Algebra lineare

Riassunto

Marco Ierani

2017 - 2018

1 Rette e Piani

2 P (x ; y )

In l'equazione parametrica passante per e di direzione parallela

R 0 0

v = (v ; v )

al vettore è:

1 2

(

x = x + v t

0 1 ∀t ∈

r : R

y = y + v t

0 2

La generica equazione cartesiana di una retta é

x v

0 1

r : ax + by + k = 0; k = y v

0 2

2

In l'equazione parametrica della retta passante per P si trova in modo

R

analogo considerando un vettore con tre valori e un sistema con tre equazioni.

3 P (x ; y ; z )

In l'equazione parametrica del piano passante per e di

R 0 0 0

u = (u ; u ; u ) w = (w ; w ; w )

direzioni parallele ai vettori è

1 2 3 1 2 3



x = x + u t + w s

0 1 1



 ∀t, ∈

r : s

y = y + u t + w s R

0 2 2



z = z + u t + w s

 0 3 3

con  

x u w

0 1 1

u w u w u w

2 2 1 1 1 1

−d −d y u w

a = d ; b = ; c = d ; d = 0 2 2

 

u w u w u w

3 3 0 2

3 3 z u w

0 3 3

tali che

π := ax + by + cz = d 1

notare che il vettore (a; b; c) ha direzione perpendicolare al piano.

r r

Due rette , sono parallele se i rispettivi vettori direzione sono pro-

1 2

3

porzionali; in due rette sono sghembe se non sono parallele e non si

R

intersecano (il sistema associato ha insieme soluzione vuoto), mentre due

rette sono complanari se non sono sghembe.

Due piani sono paralleli se non si intersecano e i propri vettori direzione sono

proporzionali.

Una retta è perpendicolare ad un piano se la retta ha direzione parallela al

vettore (a ; b; c) del piano.

dati due vettori u,v si chiama prodotto scalare il numero:

< u, v >= u v + u v + ... + u v

1 1 2 2 n n

1.1 Prodotto scalare standard

E' un operatore che dati due vettori u,v restituisce il valore

t t

< u, v >= uv = vu

.

Gode delle seguenti proprietà:

• ⊥

<u,v> = 0 allora risulta u v

2

• kx k

norma

si denisce il valore = <v,v>

• è bilineare

• < e , e >= 1

per le operazioni sulla base canonica risulta e

i i

< e , e >= 0 , a cui si associa la matrice unità

i j

1.2 Sistemi di riferimento e prodotto cartesiano

Si costrusce un nuovo sistema di riferimento operando in modo tale che

risulti:

• O' - O' = O

• B = B' - O'

• A = A' - O'

• etc. prodotto cartesiano V xW

Si denisce l'insieme :

V xW = (v, w)

. n m n+m

∗

isomorf ismo V W Z

Nota: in generale risulta esserci un tra e

2

2 Considerazioni sulle Matrici a i = 1, ...n

i) una matrice è una tabella di m*n numeri, dagli elementi per

ij

j = 1, ..., m n = m

e ; se si denisce la matrice quadrata:



 a ... a

11 1j

... ... ... 



A = 

 ... ... ... 



a ... a

n1 nm a = 0 i, j

ii)si denisce matrice nulla la matrice che ha per ogni

ij

t

A

iii) si denisce matrice trasposta di A quella ottenuta scambiando i coef-

a a

cienti con quelli

ij ji

iv) Una matrice si dice simmetrica se è uguale alla sua trasposta

6

a = 0 i = j

v) una matrice si dice diagonale se ha elementi per

ij

vi)la matrice diagonale con elementi sulla diagonale tutti 1 e altrove 0, si

I

dice matrice unità e si indica con n

∗

A B

vii) il prodotto tra due matrici è la matrice:

mn ns

1 s

 

∗ ∗

A B ... A B

1 1

... ... ...

 

AB =  

... ... ...

 

1 s

∗ ∗

A B ... A B

m m AB = BA = I

viii) A si dice invertbile se esiste una matrice B tale che ;

n

B è la matrice inversa di A

3 Gruppi, spazi e sottospazi vettoriali ?

Un insieme G forma un gruppo rispetto ad una operazione se:

• ? gode della proprietà associativa

• ?

G è chiuso rispetto a

• esiste l'elemento neutro

• esiste l'inverso di ogni elemento

3

3.1 spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale V è un insieme chiuso per somma e prodotto tale che

• gli elementi neutri 0 (per la somma) e 1 (per il prodotto) appartengono

a V

• esiste l'opposto -v di ogni elemento v in V

il prodotto per scalari è sia associativo, sia distributivo.

3.2 sottospazio vettoriale

⊆

S V S

Sia . si denisce sottospazio vettoriale se lo zero di V appartiene ad

S ed è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare rispetto al campo

V

di .

4 Riduzione di Gauss (senza il concetto di rango)

Ad ogni sistema lineare si associa la matrice formata dai coecienti delle

incognite e dei termini noti (che solitamente vengono preceduti da un trat-

teggio). Il metodo di riduzione di Gauss ha lo scopo di ottenere una nuova

matrice in cui sotto il primo termine non nullo di ogni riga si trovino tutti

0. tali termini sono detti pivot. Una volta ultimata la riduzione si risolve

il sistema. Nel trasformare il sistema sono consentite solo alcune operazioni:

• scambio di due righe (due colonne)

• sostituire una riga con un suo multiplo non nullo (una colonna)

• sostituire una riga con la sua somma con un'altra riga (una colonna

con la sua somma con un'altra colonna)

Notare che le operazioni sulle colonne inuenzeranno il calcolo del determi-

nante.

le soluzioni di un sistema formano uno spazio vettoriale se e solo se il sistema

è omogeneo.

Inltre le colonne pivot originali danno origine ad un insieme minimale che

parametrizzano l'insieme delle soluzioni.

4.1 Indipendenza lineare senza il concetto di rango

n vettori sono linearmente indipendenti se

→

x v + x v + ...x v = 0 x = x = ... = x = 0

1 1 2 2 n n 1 2 n

in caso contrario sono detti linearmente dipendenti, ovvero w è combinazione

lineare di n vettori se ∈

x v + x v + ...x v = w x = x = ... = x R

1 1 2 2 n n 1 2 n

4

5 Rango: Rouché-Capelli, dimensioni, basi di spazi

vettoriali

5.1 Rango

Il rango si calcola tramite alcune proprietà:

• il rango corrisponde al numero dei pivot, una volta ridotta a scala

• il rango è uguale al numero di righe/colonne linearmente indipendenti

≤

A min{n, m}

Come conseguenza si ha che una matrice ha rg(A)

n×m

5.2 Rouché-Capelli

Ax = b

un sistema di equazioni ammette soluzioni se e solo se il rango di A

è uguale al rango della matrice completa:

rg(A) = r(A|b)

Inoltre il