Formulario e Appunti completi per l'esame di Analisi II e Analisi Vettoriale

INSIEMI: CONTINUITA':

Dato un insieme , si ha che esso è: è continua in se il limite in quel punto vale

A f (x, y) (x , y )

0 0

LIMITATO: Se ha una sezione nita, ovvero se

• lim f (x, y) = f (x , y )

0 0

. ∃ ∀P ∈ |P |

R > 0; A < R (x,y)→(x ,y )

0 0

Vericare se il limite in un punto esiste:

CONNESSO: Se non è l'unione di 2 insiemi separati tra loro,

• . ovvero se 6 ∃ ∩ ∅ ∪

A , A ; A A = A A = A 1. Fai la restrizione per rette ( )

1 2 1 2 1 2 − − ∈

y y = m(x x ) m R

0 0

e risolvi il limite in una sola variabile. Se il limite dipende

Se ogni punto è un punto interno;

APERTO:

• da , il limite non esiste. Se non dipende da (viene un

m m

CHIUSO: Se ha anche punti di frontiera.

• numero ), procedere al passo 2.

`

COMPATTO: Se è chiuso e limitato.

• 2. Il limite potrebbe esistere: maggiora la funzione |f −

(x, y) `|

con una funzione che, se va a 0, costringe ad arrivare a .

f `

CURVE: Se e se

|f −

(x, y) `| < h(x, y) lim h(x, y) = 0

→P

P 0

Una curva è una gura unidimensionale

r(t) = x(t), y(t)

denita in di lunghezza : ⇒ lim f (x, y) = `

∈

t [a, b] ` →P

P 0

Oppure usa le coordinate polari e falla diventare :

b f (ρ, θ)

Z Z p

0 0 0

2 2

||r dovrai sempre maggiorare con una funzione che

x (t) + y (t) dt

` = (t)||dt = |f −

(ρ, θ) `|

a dipenda solo dal raggio .

h(ρ)

b

Z (se è un graco di funzione )

p 0 2

` = 1 + [f (x)] dx r f (x) Se e se

|f −

(ρ, θ) `| < h(ρ) lim h(ρ) = 0

a ρ→0

θ

Z 2 (se è della forma )

p 02

2

ρ (θ) + ρ (θ) dθ r ρ = f (θ)

` = ⇒ lim f (x, y) = `

θ 1 →P

P 0

Data una curva , si ha che essa è:

r(t) Relazioni utili:

REGOLARE: Se ;

1

• ∈

r C 2

x

2 2

Se ;

CHIUSA: ≤ ≤

sin θ + ρ cos θ = ρ sin θ, cos θ 1 1

Bρ B B

• r(a) = r(b) 2 2

x + y

SEMPLICE: Se ;

• ⇐⇒

r(t ) = r(t ) t = t Maggiora in modo tale da avere il numeratore più grande

1 2 1 2 possibile e il denominatore più piccolo possibile:

RETTIFICABILE: Se

• ∞

sup `(r) <

t∈[a,b] 2

2 2

−y x

x 2 2 − −

− − − e 1 0

e 1 (x y ) ≤ ·

cos x 1

ES.

DOMINIO IN 2 VARIABILI: 2 2 2 2 2

− −

x + y sin(x + y ) x + 0 1

Se devo disegnare il dominio di , sarà l'area di una gura se la restrizione per rette è tediosa,

f (x, y) ATTENZIONE:

geometrica o di una conica nel piano cartesiano x-y. sfrutta la restrizione per gli assi ( o ), rendendo

x = 0 y = 0

il limite a una variabile sola.

1. se 2

{(x, ∈

f = ln(g(x, y)) D := y) ; g(x, y) > 0}

R

2. se DERIVABILITA':

p 2

{(x, ∈ ≥

f = g(x, y) D := y) ; g(x, y) 0}

R Parziale: si ottiene derivando in una sola delle variabili di ,

1 • f

3. se 2

{(x, ∈ 6

f = D := y) ; g(x, y) = 0}

R trattando le altre come costanti.

g(x, y)

Se le condizioni del dominio portano a scrivere y > h(x) −

∂f f (x + h, y ) f (x , y )

0 0 0 0

o , dovrò disegnare la funzione e prendere l'area = lim

y < h(x) h ∂x h

h→0

sopra o sotto ad .

h

Se le condizioni del dominio portano a scrivere −

∂f f (x , y + h) f (x , y )

0 0 0 0

= lim

conica o conica dovrò disegnare la gura

> 0 < 0 ∂y h

h→0

(circonferenza, ellisse, ecc..) e prendere l'area esterna o interna Direzionale: si ottiene derivando lungo una direzione indica-

•

alla gura. ta dal vettore :

~v = (v , v )

normalizzato 1 2

−

∂f f (x + hv , y + hv ) f (x , y )

0 1 0 2 0 0

= lim

∂~v h

h→0

Proprietà: ~v

1. Normalizza sempre , usando poi il vettore

~v û = ||~v ||

2. Le derivate parziali sono derivate direzionali lungo le

direzioni (1,0) e (0,1)

3. Se è dierenziabile, allora la derivata direzionata vale:

f

la curva (frontiera del dominio) va

ATTENZIONE:

disegnata continua se le disequazioni sono o (insieme ∂f

≤ ≥ ~

∇f ·

= ~v = f v + f v

chiuso). Se c'è o va disegnata tratteggiata (aperto). x 1 y 2

∂~v

> < Il Dominio di è l'intersezione dei Dominii di .

~

DIFFERENZIABILITA': • F F , F , F

1 2 3

Un campo Vettoriale è conservativo se esiste una funzione

è dierenziabile in se esistono le derivate . scalare , detta potenziale

potenziale, le cui derivate parziali

∀~v

f (x, y) (x , y ) U (x, y, z)

0 0

Per vericare se è dierenziabile ci sono due modi: sono le componenti di .

~

F

1. Verica che e esistono in e sono continue (devi

f f (x , y ) ∂U ∂U

∂U

x y 0 0 ~ ~

∇U ⇒

fare i limiti e vedere che valgono e ) = F = F = F

F = 1 2 3

f (x , y ) f (x , y ) ∂x ∂y ∂z

x 0 0 y 0 0

2. Verica che e esistono, che valgono e e che: Vedere se un campo è conservativo:

f f a b

x y 1. il Dominio è semplicemente connesso (senza buchi);

− − −

f (x + h, y + k) f (x , y ) ah bk

0 0 0 0

√ =0

lim 2 2 2. il campo è irrotazionale ( ), ovvero:

h + k

(h,k)→(0,0) ~ ~ ~

∇ × F = 0

Se è dierenziabile, è possibile scrivere l'equazione del

f ∂F

∂F j

i ∀ 6

piano tangente a in : = i = j

f (x , y ) ∂x ∂x

0 0 j i

− −

z = f (x ,