Formulario e Appunti completi per l'esame di Analisi II e Analisi Vettoriale

F1. Verifica che e esistono in e sono continue (devif f (x , y ) ∂U ∂U∂Ux y 0 0 ~ ~∇U ⇒fare i limiti e vedere che valgono e ) = F = F = FF = 1 2 3f (x , y ) f (x , y ) ∂x ∂y ∂zx 0 0 y 0 0

2. Verifica che e esistono, che valgono e che: Vedere se un campo è conservativo:f f a bx y 1. il Dominio è semplicemente connesso (senza buchi);− − −f (x + h, y + k) f (x , y ) ah bk0 0 0 0√ =0lim 2 2 2. il campo è irrotazionale ( ), ovvero:h + k(h,k)→(0,0) ~ ~ ~∇ × F = 0Se è dierenziabile, è possibile scrivere l'equazione delf ∂F∂F ji ∀ 6piano tangente a in : = i = jf (x , y ) ∂x ∂x0 0 j i− −z = f (x , y ) + f (x , y )(x x ) + f (x , y )(y y )0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 TROVARE IL POTENZIALE:TAYLOR IN DUE VARIABILI: 2 variabili: dato un campo ~• F = (F , F )1 2Una qualsiasi funzione continua in può Zf (x, y) (x , y ) 1. integra una delle

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variabili:0 0 F dx = U (x, y) + c(y)essere scritta, nell'intorno di quel punto, come un polinomio. 1Lo sviluppo di Taylor no al secondo ordine è: Z )(oppure F dy = U (x, y) + c(x)22. trova sfruttando l'irrotazionalità:− −f (x, y) = f (x , y ) + f (x , y )(x x ) + f (x , y )(y y ) c(x)/c(y)0 0 x 0 0 0 y 0 0 01 2 2− −f (x , y )(x x ) + f (x , y )(y y )+ d(U + c) U (x, y)xx 0 0 0 yy 0 0 0 0⇒ −= F c (y) = F (x, y)2 2 2dy dy− −+2f (x , y )(x x )(y y )xy 0 0 0 0 Z 0⇒ c(y) = c (y)dy 2 2− −+o (x x ) + (y y )o 0 3. Unisci i pezzi e trovi :UIn forma più compatta: Z1 U (x, y) = F (x, y)dx + c(y) + k~ T≈ ∇f · − − − 1f (~r ) f (~r ) + (~r ) (~r ~r ) + (~r ~r ) H (~r ~r )20 0 0 0 0R2 3 variabili: dato un campo ~TEOREMA DI DINI: • F = (F , F , F )1 2 32 variabili: Data una funzione , continua in un punto Z• f (x, y) 1. integra una delle variabili: F dx = U (x,

y, z) + c(y, z), se si verifica che e che , 16(x , y ) f (x , y ) = 0 f (x , y ) = 00 0 0 0 y 0 0allora è possibile scrivere, nell'intorno di , una fun- Z(x , y ) (oppure )0 0 F dy = U (x, y, z) + c(x, z)zione di una sola variabile . 2y(x)Di questa funzione non sappiamo la formula esplicita, ma Z(oppure )F dz = U (x, y, z) + c(x, y)3sappiamo che: 2. trova sfruttando l'irrotazionalità:f (x , y ) c(x)/c(y)/c(z)x 0 00 -y(x ) = y y (x ) =B B0 0 0 f (x , y )y 0 0 ∂c(y, z) dU (x, y, z)d(U + c) → - = F = F (x, y, z)Applicazioni: 2 2dy ∂y dy22 - 2f f f + f ff f Z ∂c(y, z)a xx xy x y yy1. Derivata : xy00 -2 y (x ) = → c(y) = dy + c(x)0 3f ∂yy1 3. trova sfruttando l'irrotazionalità:2. Taylor: 0 00 2 c(x, y)/c(y, z)/c(x, z)≈ - -y(x) y + y (x )(x x ) + y (x )(x x )0 00 0 0 2 d(U + c + k)3. Retta tangente a : = F0- -y y y = y (x )(x x ) 10 0 0 dx3 variabili: Data una funzione ,

continua in un pun-• f (x, y, z) d(U (x, y, z) + c(x, y))0to , se si verica che e che ⇒ −k (x) = F (x, y, z)(x , y , z ) f (x , y , z ) = 0 10 0 0 0 0 0 dx, allora è possibile scrivere, nell'intorno di6f (x , y , z ) = 0z 0 0 0 Z, una funzione di 2 variabili . 0(x , y , z ) z(x, y) ⇒ k(x) = k (x)dx0 0 0Di questa funzione non sappiamo la formula esplicita, masappiamo che: 4. Unisci i pezzi e trovi :U, y ) = zBz(x 0 0 0 Zf (x , y , y ) f (x , y , y ) U (x, y) = F (x, y)dx + c(y) + k(x) + hx 0 0 0 y 0 0 0 1− −(x , y ) = (x , y ) =Bz Bzx 0 0 y 0 0f (x , y ) f (x , y )z 0 0 z 0 0 INTEGRALI CURVILINEI:CAMPI VETTORIALI:Un campo vettoriale è un vettore le cui componenti sono Sono integrali svolti lungo una curva regolare ,• n 2∈r Rfunzioni di variabili. parametrizzata nella variabile .n tPrima Specie: per funzioni~ ~ •≡ F (x, y, z), F (x, y, z), F (x, y, z)F F (x, y, z) = 1 2 3bZ Z p 02 02x (t) + y (t) dtf d~s = f (x(t),

y(t)) Se , il metodo dell'Hessiano è inconcludente e siγ a • det(H) = 0prosegue col seguente metodo:

1. Trova l'equazione della curva ;r = (x(t), y(t), z(t))
2. Calcolo di ≡f (x , y ) c0 0
3. Calcola le derivate parziali
4. Studio del segno di e disegno in un¯ ≡ -f (x, y) f (x, y) c
5. Calcola la norma del vettore dato dalle derivate. graco x-y
6. Se è totalmente in una regione in cui è positiva, èSeconda Specie (detto lavoro ): per campi vettoriali ¯(x , y ) f• L 0 0ab un punto di . Se è negativa, è un punto di .minimo massimoSe è esattamente sulla frontiera, a metà tra area positiva ebZ Z ~ 0 0•F d~s = F (x(t), y(t))x (t) + F (x(t), y(t))y (t) dt negativa, è un punto di .1 2 sellaγ aSe il campo è conservativo:Z1. denita in~ • ∀γL = F d~s = U (a) U (b) [a, b]ab γI chiusa2. ~~ • ∀γF d~s = 0Γ(F

^{) = γSe non è conservativo ma è chiusa, ovvero è frontieraF γ ∂Ddi un dominio , usa Gauss-Green:D Z Z ZZ ∂F ∂F2 1~ · ≡ −F d~s F dx + F dy = dxdy1 2 ∂x ∂y∂D ∂D D OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA:Data una funzione , per calcolarne i massimi e minimila curva deve essere percorsa in verso fγATTENZIONE: vincolati (cioè lungo un dominio ) si procede conantiorario. Se è percorsa in verso orario, metti il segno . 2⊂− D Rquesti 2 passaggi (in ordine):OTTIMIZZAZIONE LIBERA: 1. Calcola gli estremi liberi di e vedi quali .∈f DData una funzione , per calcolarne i massimi e minimi liberi• f(cioè lungo tutto il suo dominio) si procede con 2 passaggi: 2. Studia gli estremi lungo la frontiera . Puoi farlo con:∂D.1. Trova gli estremi ponendo ~∇f = 0Svolgi il sistema e trovi i punti Parametrizzazione:(x , y ), (x , y )... •0 0 1 1 Se il Dominio ricorda una forma}

geometrica semplice, posso2. Classica gli estremi calcolando .det(H) rendere la funzione dipendente da un sola variabile o da unGli elementi della matrice H (Hessiano) sono derivate calco- parametro.late nei punti trovati in 1. Per ogni punto trovato, quindi,va calcolato il suo Hessiano.2 variabili: 3 variabili:

 f = 0( xf = 0 Gradiente x~ ~∇f ∇f= = f = 0yf = 0y  f = 0 z f f fxx xy xz f fHessiano xx xy f f fH = H =2 3 yx yy yz R Rf fyx yy f f fzx zy zzminimo f > 0, H > 0 f > 0, H > 0, H > 02 2 3xx xxR R Rmassimo f < 0, H > 0 f < 0, H > 0, H < 02 2 3xx xxR R Rsella tutti gli altri casiH < 02RGrazie al teorema di Schwarz, ,f = fATTENZIONE: x x x xi j j iquindi basta calcolare le derivate miste una sola volta.1. Rettangolo: Se ({x ∈ ∈∂D := (x , x ) ; y (y , y )} ∈ ∞)x = x + aρ cos θ ρ [0,1 2 1 2 Coordinate Ellittiche: 0• ∈y = y + bρ sin θ θ [0, 2π]0,

y) f (x, y ) f (x) 0 (x , y )1 i 1, studi e ottieni gli0→ ≥f (x, y) f (x, y ) f (x) 0 (x , y ) θρ2 i 2 ZZ ZZ 22, studi e ottieni gli0 ·abρ f (ρ, θ)dρdθf (x, y)dxdy =→ ≥f (x, y) f (x , y) f (y) 0 (x , y )1 1 i, studi e ottieni gli0 θE(x ,y ) ρ→ ≥f (x, y) f (x , y) f (y) 0 (x , y ) 10 0 12 2 i Per qualsiasi altro cambio di coordinate , scri-• →(x, y) (u, v)Calcola la funzione nei punti trovati. Il punto che ti da vi le vecchie variabili in funzione delle nuove e poi calcola loil valore più basso è il , chi ti da il piùminimo assoluto Jacobiano.grande è il .massimo assoluto2. Triangolo: Se  ∂x ∂x{x ∈∂D := (x , x ) ; y = mx + q}1 2(e se i lati sono obliqui rispetto agli assi x-y) ( ∂u ∂vx = x(u, v)  |det(J)| det=  y = y(u, v) ∂y ∂y, studi e ottieni gli  0→ ≥f (x, y) f (x, y ) f (x) 0 (x , y )1 i 1, studi e ottieni gli0→ ≥f (x, y) f (x, y ) f (x) 0 (x , y ) θρ2 i 2 ZZ ZZ 22, studi e ottieni gli0 ·abρ f (ρ, θ)dρdθf (x, y)dxdy =→ ≥f (x, y) f (x , y) f (y) 0 (x , y )1 1 i, studi e ottieni gli0 θE(x ,y ) ρ→ ≥f (x, y) f (x , y) f (y) 0 (x , y ) 10 0 12 2 i Per qualsiasi altro cambio di coordinate , scri-• →(x, y) (u, v)Calcola la funzione nei punti trovati. Il punto che ti da vi le vecchie variabili in funzione delle nuove e poi calcola loil valore più basso è il , chi ti da il piùminimo assoluto Jacobiano.grande è il .massimo assoluto2. Triangolo: Se  ∂x ∂x{x ∈∂D := (x , x ) ; y = mx + q}1 2(e se i lati sono obliqui rispetto agli assi x-y) ( ∂u ∂vx = x(u, v)  |det(J)| det=  y = y(u, v) ∂y ∂y

y) f (x) f (x) 0 (x , y )i i ∂u ∂v

Calcola la funzione nei punti trovati. Il punto che ti da vuZ ZZ 22il valore più basso è il , chi ti da il più |det(J)| · f (u, v)dudvf dΩ =minimo assolutogrande è il . vΩ umassimo assoluto 113.

Circonferenza: Se 2 2 2 INTEGRALI TRIPLI:{(x − − }∂D := x ) + (y y ) = R0 0( ZZZx = x + R cos θCambio variabili: 0 f (x, y, z)dxdydz∈θ [0, 2π]y = y + R sin θ Ω0 Integrazione per Fili:, studi e ottieni i •0→ ≥ ⇒f (x, y) f (θ) f (θ) 0 θ (x , y )i i i Se svolgi2{g ≤ ≤ ∈ ⊂ }Ω := (x, y) z g (x, y) , (x, y) D R1 2prima l'integrale in e poi fai l'integrale doppio in .

Calcola la funzione nei punti trovati. Il punto che ti da dz Dil valore più basso è il , chi ti da il piùminimo assoluto !g (x,y)ZZZ ZZ Zgrande è il . 2massimo assoluto f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz dxdyΩ D g

(x,y)Moltiplicatori di Lagrange: 1• Se {g ≤ ≤ ≤D := (x, y, z) 0 ; g (x, y, z) 0 ; . . . g (x, y, z) 0} Integrazione per Strati:1 2 n •.Costruisco la funzione Lagrangiana e pongoL ~ Se svolgi prima∇L = 0 2{a ≤ ≤ ∈